特征根求數(shù)列

1、淺談特征根法在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的運(yùn)用高三數(shù)學(xué)組徐朝生以往浙江每年高考理科數(shù)學(xué)都會(huì)考數(shù)列，而且往往以壓軸題出現(xiàn)，難度都 比較大，09年浙江高考理科沒(méi)有考數(shù)列大題，文科考了等差數(shù)列，題目相對(duì) 簡(jiǎn)單，但在全國(guó)其它省市中(如安徽、山東、廣東、寧夏、海南、天津、江西 等)經(jīng)?？紨?shù)列大題，題目有難有易，比如廣東和江西的較難。而各種數(shù)列問(wèn) 題在很多情形下，就是對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的 數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問(wèn)題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。如：(08年廣東高考)設(shè)p、q為實(shí)數(shù)，a、B是方程x(1 an)(1 am)(1 ap)(1 aq) 41) 當(dāng)a= ,b=時(shí)，求通項(xiàng)an。

2、5n像上述兩道題，如果不能順利求出數(shù)列的通項(xiàng)公式， 就不能繼續(xù)做后面的題, 想得高分就難，對(duì)于那些有可能上重點(diǎn)大學(xué)的績(jī)優(yōu)學(xué)生來(lái)說(shuō)重點(diǎn)大學(xué)之夢(mèng)就可 能是兩個(gè)字一一遺憾。本文就一、兩種題型進(jìn)行探討，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)求解數(shù)列通項(xiàng) 公式的方法之一一一特征根法的運(yùn)用，希望能對(duì)部分同學(xué)有幫助。類(lèi)型一、遞推公式為anpan 1 qan (其中p，q均為非零常數(shù))-px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 數(shù)列x n滿足 Xl=P，X 2=p2-q,x n = pxn-1-qx n-2(n= 3,4,5 )1 )2) 求數(shù)列Xn的通項(xiàng)公式。3) 若p =1，q =丄，求數(shù)列x n的前n項(xiàng)的和Sn4(09年江西高考)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)

3、列匕鳥(niǎo)中印=a, 0 =b,且對(duì)滿足m n p q的正整數(shù)m,n, p,q都有，an +amap + aq先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an 2 -XQ 1 =X2(an 1 -Xian),其中Xi,X2滿足X1 X2 P，顯然Xi ,X2是方程x2-px-q = 0的兩個(gè)非零根。X X2 = -q1) 如果a?-花耳工。，則a.2-Xiani=0, a.成等比，很容易求通項(xiàng)公式。2) 如果a? -XiQ =0，則 an 2-Xian.i成等比。公比為X2，所以a. 1 - xn =2 -為耳“:心，轉(zhuǎn)化成：an 1X1ann AX2X2n _2X2=(a2 - X1a1 )(I )又如果xx2，則a專

4、等差，公差為(a2 - g)，X2所以 二爭(zhēng) (n -1)(a2 - X1aJ， x21即：an 1 二(n -1)2 -“1)區(qū)2a2(a2 - X1a1 )n 4an 二一 (n -2)-X2x2x2可以整理成通式：an = (A Bn )x；°Ii)如果 X1 =X2，則令旦沽=bn-1，彳1二 A，2-“1)= B ,就有X2X2bn 1 - Abn二B，利用待定系數(shù)法可以求出bn的通項(xiàng)公式廠a1X2(1 X2)、n4(a2 X1ajx2bn()片一x2 x2片 _x2所以an =恥2(1-卷)(魚(yú)嚴(yán)_(a2 -“卷區(qū)心，化簡(jiǎn)整理得: x1 x2x2% x2an =十竺竺X；

5、,% _x2n 1Xi為_(kāi)x2小結(jié)特征根法：對(duì)于由遞推公式a* .； = pan i qan , ai -a；-給出的 數(shù)列a，方程x2 -px-q = 0，叫做數(shù)列 a ?的特征方程。若Xi,x；是特征方 程的兩個(gè)根，當(dāng)Xi = X2時(shí)，數(shù)列：an *的通項(xiàng)為an二Ax：' - Bx；，其中A，B由印-a；二：決定(即把 ai,a2,xi,x2 和 n =i,2，代入 an 二 Ax；"1 Bx2,，得到關(guān) 于A、B的方程組)；當(dāng) =x2時(shí)，數(shù)列 玄的通項(xiàng)為an = (A Bn)x；，其中A，B 由印 -a2 = 決定(即把,a2, xi, x2 和 n = i,2，代入

6、a (A Bn)x2'，得到關(guān)于A、B的方程組)。簡(jiǎn)例應(yīng)用(特征根法)：數(shù)列"anf： 3an 2-5an i 2an =0(n _ 0, n N)，2 2ai = a, a2 = b 的特征方程是：3x 5x 2 = 0 ； xi = i, x2,3 an"XiBx；6AB(2嚴(yán)。又由 aryb，于是a二 A B；A = 3b - 2aP =3(ab)故an”2a 3(a噸嚴(yán)下面再看特征根法在08年廣東高考題中的應(yīng)用：設(shè)p、q為實(shí)數(shù)，a、B是方程x2-px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，數(shù)列xn滿足2Xi=p,X2=p-q,x n=pxn-i-qxn-2(n=3,4,5 )

7、i )2)求數(shù)列Xn的通項(xiàng)公式i3) 若p = i，q = -，求數(shù)列x n的前n項(xiàng)的和sn4解：2)顯然 xn=pxn-i-qx n-2( n=3,4,5 )的特征根方程就是 x -px+q=0，而 a、B是方程x2-px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以可以直接假設(shè)：5 當(dāng) a = B 時(shí)，設(shè) Xn = (A Bn)n'，因?yàn)?xi=p,x2=p-q，所以2a/'Pp q解得彳aP -q - ：pB axn2： P -p2q (P2 - q - p)n:-#當(dāng)、:.-汕時(shí)，設(shè) xn =2 B 一： 2 ,因?yàn)?xi=p,X2=p2-q，所以A + B = pA + BP = p2

8、_ q解得A =p2 - t -qP -CL2p Yp-qP -aXnn -1_ap q :n -1-a-a3)1p=1，q蔦時(shí),1=-，由第2)小題的項(xiàng)可以直接得到#xn=(n1)*，可以用錯(cuò)位相減法求和順利拿下第3)小題本題是08年廣東高考真題，開(kāi)始前兩問(wèn)均以字母的形式出現(xiàn)，給考生設(shè)置 了接題障礙，如果在考前曾經(jīng)學(xué)過(guò) 特征根法，記住公式，那本題對(duì)這同學(xué)來(lái)說(shuō)無(wú)疑是幾分種的事情，或?qū)μ卣鞲ㄓ幸欢ǖ牧私?，也許是多花點(diǎn)時(shí)間的問(wèn)題， 至少是接題思路和方向明確，絕不會(huì)象無(wú)頭蒼蠅一樣亂撞。知道特征根法的來(lái)龍去脈、公式、以及運(yùn)用也是學(xué)生能力拓展的一種表現(xiàn)。特征根法還能應(yīng)用于F面一種數(shù)列題型的解答:類(lèi)型二

9、、anpan q ran +h解法：如果數(shù)列an滿足下列條件：已知ai的值且對(duì)于n N，都有a*_q （其中 p、q、r、h 均為常數(shù)，且qr, 0,）,那么，ran +hr可作特征方程x=px q ,當(dāng)特征方程有且僅有一根xo時(shí),如果a xo則 rx +hf 11axo ；如果ai = xo則1.是等差數(shù)列。當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根 xi、J an - x0 .1估-X 1X2時(shí)，貝U 歸生 是等比數(shù)列。（證明方法如同類(lèi)型一，從略）an -X2a +4例：已知數(shù)列an滿足性質(zhì)：對(duì)于N,an=n ,且a =3,求an的通項(xiàng) 2an +3公式x + 4解：數(shù)列an的特征方程為X =,變形得2X2

10、 2x - 4 = 0,其根為2x +3i = 1,_ -2.故特征方程有兩個(gè)相異的根，則有3-i3 2nJ,n N.Cn/ P ir、n4( )P 一 2-22()n-155Cn -1討汁1,nN.an(-5)n -42 (-5),n N.例：已知數(shù)列an滿足：對(duì)于都有a"13；n：5.（1）若 ar求a"；（2）若ai =3,求a.; （3）若a6,求a.; （4）當(dāng)ai取哪些值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列 何不存 在？13x 25c解：作特征方程x二.變形得x TOx 25 = 0,x +3特征方程有兩個(gè)相同的特征根'=5.（1） a1 =5r a.對(duì)于 n N,都有 an

11、= ' =5;1 r 1 1 T a1 =3,. du./. bn(n -1)(n -1)a,丸pr 丸 3513 151 n 1= 一,令bn =0，得n =5.故數(shù)列an從第5項(xiàng)開(kāi)始都不存在,2 815 n -17當(dāng) n < 4, n N 時(shí)，an.bnn 5 t aj = 6, = 5,a/.二bn-(n -1)-1n_1,n N.a1 丸p hr8令bn =0, 貝U n- -7 , n. 二 對(duì) 于 nN,bn=0.11 l 5n 43=+丸=+ 5 bn n 一1n 78、顯然當(dāng)a1 - -3時(shí)，數(shù)列從第2項(xiàng)開(kāi)始便不存在.由本題的第（1）小題的 解答過(guò)程知，a=5時(shí)，

12、數(shù)列an是存在的，當(dāng)a1 - = 5時(shí)，則有 bn 二 1 （n-1） r = 1 “一1,n N. 令 b 0, 貝U 得a1 人p 打 a _ 58a1, n N 且 n >2.n T5n _13當(dāng)a1二 3 （其中nN且NA2）時(shí)，數(shù)列務(wù)從第n項(xiàng)開(kāi)始便不存在。n T于是知：當(dāng)a1在集合-3或也衛(wèi)：nN,且n >2上取值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列a.n T都不存在。變式：（2005,重慶,文,22,本小題滿分12分）數(shù)列1an滿足 a1 =1 且 8an1an-16an1 2an 5=0（ n-1）.記 bn彳（n -1）.an -2（I）求4、b2、b3、b4的值；（U）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公

13、式及數(shù)列0的前n項(xiàng)和Sn.擊解之得,X-或 X22解:由已知,得an/至 5,其特征方程為x16 8an116(an - 刀務(wù)1-2 -216 - 8an,an 1512(an )416 8an1an 1 - 亍5an 1 -41b =丄 2nbn 3 211 a22嚴(yán),4(n _1)31 1ana1 -n 21 2 (1嚴(yán)4a55 ,(2)n anS印_42n52n - 41 1由 bn得 an bnbn 1,1 2an -2故Sn = a1b1 - a2b2 a- Hanbn3(2)51 n=-(b 代2y+bn)+n =+_n = _(2n +5n_1)/21-233F面再欣賞用特征根法解決09年江西高考真題各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列"an 1a1 =a，b = b,且對(duì)滿足 m n =p q的正整數(shù)m,n, p,q都有,an amap - aq(1 an)(1 am)(1 ap)(1 aq)1) 當(dāng)=5時(shí)，求通項(xiàng)an解：由anam(1 an)(1 am)ap aq=: 得an y(1 ap)(1 aq)(1 an )(1