中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一驗證羅爾中值定理、拉格朗日中值定理的條件及結(jié)論是否成立x 1在0,2 1上滿足拉氏定理的條件，并求出定理結(jié)論中要牢記三個中值定理成立的條件及其結(jié)論。關(guān)于這個知識點，往往會出驗證題例1 驗證：f x二的點匚三0,2 .解：(一)1由f 1 -0二f 1 0二f 1 =1,知f x在x =1處連續(xù)，從而在 0,21上連續(xù);/ /2.按左、右導(dǎo)數(shù)的定義不難求出f 1i；二f . 1 - -1,從而f X在0,2內(nèi)可導(dǎo)，且f (x )= <x,0 ： x 乞 1,1 ： x ： 2因此，f x在0,2上滿足拉氏定理的條件.(二)由拉氏定理的結(jié)論：匚三|：0,2，使二空

2、工二一丄.不難算得：.=1或二、2 0,2 .2-0 2 2注意：中值定理中結(jié)論只保證中間值I三0,2的存在性，至于是否唯一，不唯一時有幾 個，如何求 J定理本身并未指出二.利用拉格朗日中值定理證明不等式(尤其是雙向不等式)利用拉格朗日中值定理證明不等式的一般方法是；先根據(jù)所要證明的不等式的特點作一輔助函數(shù)，并恰當(dāng)選擇相應(yīng)的閉區(qū)間；然后利用拉格朗日中值定理，得到一個含中值'的等式，最后適當(dāng)放大或縮小不等式即可.x例 2證明：對-X 0,ln(1 x) : x .1 + x證明：設(shè)ft =1 nt, t 0，則f t J 在1,1 x】上由拉氏定理知，t/ 乂1ln(1 x) -ln1

3、= f 1 x 一 f 1 = f 匚xx(5)1 11即：x ： ln(1 x) X ： X = x.( I：1,1 x )1 x1例 3證明：對-x 0,ex 1 x.例 4.證明：對 一x . O,ln 1 x : x.大家自己證明，這兩個結(jié)論要記住.三.利用中值定理證明等式成立（或方程有無根）例5 .設(shè)f X在0,1上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導(dǎo)，且f 1 =0,證明：三0,1使f / f =0.證明：（分析 尋找合適的輔助函數(shù)應(yīng)用羅爾中值定理，采用倒推的方法分析。命題只須證7:-三 10,1，使二=°,或者'xf x L =°.故令 F x二xf x。顯然，F(xiàn)0二

4、F1 =0且Fx在0,1上連續(xù)，在 0,1內(nèi)可導(dǎo),/ /從而由羅爾定理知，二-|：0,1 ,使F i J f f =0.例6.設(shè)f xi；hx-1 x-2 x-3 x-4，證明方程x=0有三個實根，并且它們分別位于區(qū)間1,2 , 2,3 , 3,4 .（見書第105頁）例7.證明方程x5 x -0只有一個正根.（反證）.拉氏定理有兩個重要的的推論，也要會記會用一 /推論1 :若對任意xl,f x三0 ,則fx三C, 一 xl.例 8.證明：arcs in x arccosx 二一，x 1,1 2證明：設(shè) f x 二 arcsinx arccosx,x 1,11,/則，f x =O,X-1,1,

5、JI 所以，由推論1, f x三f 0.2/ /推論2:若對于-X If X=g x，則-x l,fxgx=C.四洛必達(dá)法則0DO我們在第一章曾注意到，考試時考察得最多的求極限問題要么是型，要么是 。對付000這種問題，我們根據(jù)具體情形曾給出了因式分解約零因子、根式有理化約零因子、等價無 窮小替換、湊重要極限等方法?，F(xiàn)在有一個著名的法則一一洛必達(dá)法則，可用一招統(tǒng)一解0 O0決大部分的Y或 的極限問題。0 旳現(xiàn)在先回顧一下洛必大達(dá)法則的條件及結(jié)論:第一種：0型的洛必達(dá)法則0設(shè)函數(shù)f x , F x滿足:(1)lim fx-x。(2)f x,F x在X。的某個去心鄰域UX。，'：內(nèi)，f x

6、，F(xiàn) X 都存在 F x - 0 ；(3)/f x ”存在（或為：）.lim /x X0F x/則，lim °limx X0F Xx X0f XA存在(或為:).F xC3O第二種一型的洛必達(dá)法則O0設(shè)函數(shù)f x ,F x滿足:(1)lim fX=xoXo pim F X 二:：；(2)f x,F x在X。的某個去心鄰域 UAX。, /. /, /.，:內(nèi)，f x,f x 都存在，f x=0；(3)/f x汀存在（或為）.lim /x X0 f xmX Tm求 lim x 1 X 一1門Pm02x_1 X sin x xcosx求 lim"x 0 xsin x2xJ+Xli

7、mxt sin x xcosx但有時它可能并不是最簡單的 再使用洛必達(dá)法則，則效果可能會更好!2X二 lim 2X 10 x.x越來越麻煩，說明洛必達(dá)法則雖在大多數(shù)情況下可簡化運算, 做法。如能采用其他方法先行簡化欲求極限的函數(shù)，例3.的另一種作法：lim 1 X -1t xsin x例4.e2x eJ0 x s in x二 lime-2-cosxe esi nxx!二 limJ0e e _2-J ?cosx例5.求 lim31X )02X= lim!l乂畑 12x例6.JIarcta nx lim 2x ):1_ 21 + x =lim xX )1 2x7.求limx_J :ln xnX&a

8、mp;求nlim冬X ：2xexnnx0 ；nxnd"imvx :-2 xe 1 _ e藥=lim廠八.JX）宀（1飛）0O0對于不直接表現(xiàn)為0型或一型的不定型，要首先合理轉(zhuǎn)化，使其成為0旳在利用洛必達(dá)法則來算9.求ln 1 - limx：ln 1 -0 :0型或一型，然后010.ln x(0.二型)求 lim xln x = lim11.0 x（0型）求埠幟12.(°°13.注意:xQxlim x©丄2x=-lim x =x0xl n x=limx 0 elim lnX=:lim1x_1一 2x-lim二ex 0=e° = 1.二 型)求 l

9、imsecx -tan x = lim.0(:型)求 lim x =>/f xlimX%(1)若x +sin x limx：x=li1 -sin x1 cosx2-cosx =limx近-sin x=0/ 不存在（并且也不是 00 ）,則不能說F xlim 也不存在.比如:x 乂 F x1sin xX x/口（x+sinx）二1存在；但lim/丿y （X）+ cosx十亠=lim不存在.X）：1x _xx_xlim e e = lim e_=.形成循環(huán)，永遠(yuǎn)也得不到結(jié)果Xx.Yx)：x公e e e e用洛必達(dá)法則時最好作一步，就及時檢查一步，看是否劃得來.另外，如果在用洛必達(dá)法則時，還可

10、以同時再結(jié)合其他的求極限方法，效果可能會更好.總之，我們的方針是：“百花齊放、百家爭鳴”例14.討論函數(shù)f（X ）= « |，x 0,在X = 0處的連續(xù)性1解: f 0 - 0；1e? x _ o.，則 lny=丄 In 1 x -1 =x _xIn 1 x - xlim In y = lim xpx -ln 1 x -x +1二 lim 二 limx-02xx0 2x 1 x 2所以,lim lnex 01二e2.1因為,例15.f0-0二f00二e，所以，f x在x二0處連續(xù).求:Hmcosx<cos2x.ncosnx111 si nx 2 si n2xn sinnxn-

11、=lim.cosx. cos2x.n. cosnxxt IL2 cosx xcos2x 2xcos nx nx=1 12 . nn 12 42X-6im。111x1 - X+1, 1 Tn 1 t1 tlim t 02t（1+X）-eI； x-f1 + x）ln（1 + x I例 17.求 lim=lim |（ 1+ X ）x = lim （ 1+ X ）x 2T xTl7 X（1+x） j.-xe=elim2x 2x 3x2五. 單調(diào)性單調(diào)的充要條件：/ 若函數(shù)f x在a,b內(nèi)可導(dǎo)，則f x在a,b內(nèi)遞增（或遞減的）的充要條件是：f x _/0 （或 f （x）0），x£ （a,b

12、>注意：（1）這里的a,b可以是無限區(qū)間，女口-：，匸：；（2）其實，當(dāng)把 a,b改為有限的閉區(qū)間 a,b 1時，結(jié)論也成立.即:若函數(shù)f x在a,b內(nèi)可導(dǎo)，則f x在a,b 1內(nèi)遞增（或遞減的）的充要條件是：/ /f （x）蘭 0 （或 f （x）0），x（a,b）;當(dāng)將a,b改為有限的半開半閉區(qū)間時，也有類似的結(jié)論（3）有時我們關(guān)心的是 f x在a,b內(nèi)是否嚴(yán)格單增（或單減），則有：嚴(yán)格單調(diào)的充分條/ /若f x在a,b內(nèi)可導(dǎo)，且對-x三a,b , f x- 0（或f x ： 0），則f x在a,b內(nèi)嚴(yán)格單增（或單減）.上述定理2的逆不成立，即：若 f x在a,b內(nèi)嚴(yán)格單增（或單減）

13、，且/ . /f x在a,b內(nèi)可導(dǎo)，但未必有對ia,b , f x 0（或f x : 0）.3,/3比如：y = x，x三I 二，：，y - 0,但y = x嚴(yán)格單增嚴(yán)格單調(diào)的充分必要條件：若f x在a,b內(nèi)可導(dǎo)，則f x在a,b內(nèi)嚴(yán)格單增（或單減）的充分必要條件是：/ /（1） w xE（a,bf（x）0 （或 f （x）蘭0）；/（2） 在a,b內(nèi)任何子區(qū)間上，f x不恒等于0./ /上述定理告訴我們：只要 v x（a,b f 3忙0，且使f （x）=0的點x都是一些孤立的點，貝U f x在a,b內(nèi)嚴(yán)格單增。如：y = x sinx,x. “心;./ /y =1 cosx _ 0 ,使y

14、=0的點雖然有無數(shù)多個，但他們都是孤立點，故x sinx,二，：仍然單調(diào)增加.2例1 .討論y = f x二x的單調(diào)性從例1可見，研究函數(shù)的單調(diào)性，更多的情形下是要求所謂的單調(diào)區(qū)間：即包含在定義域內(nèi)的而且使函數(shù)在其上單調(diào)的區(qū)間；從例1可見：導(dǎo)數(shù)為0的點（稱為函數(shù)的駐點或穩(wěn)定點）是函數(shù)可能的單增與單減的分 界點；（3）其實，導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是單調(diào)分界點求單調(diào)區(qū)間的步驟/第一步，求函數(shù)f x的定義域D ；第二步，求f X ;/第三步，令f x =0,求f x的所有駐點及所有不可導(dǎo)點 （其中不在定義域內(nèi)的要舍去）； 第四步，列表判斷32例2討論f x = x 6 x 9x -2的單調(diào)性.解: （

15、一） D - - ,:：/ 2（二） f x =3x -12x 9 =3 x -1 x -3/（三）令f x =0= x1, x 3。無不可導(dǎo)點（四）列表判斷：x（-:：,1）1,33,/f xf x-例3討論f X = 2x - 5 3 X2的單調(diào)性解：（一）D = -：；10 x -13 3 x/（三）f x =0= x 1，在X2二0處不可導(dǎo);（四）列表判斷:f xy利用函數(shù)的單調(diào)性也可以證明函數(shù)不等式，這也是常見考點X例4證明：e i x（x . o）（前面利用中值定理已證過）解：令 f x =- x -1,x0,11/X則 f x i；=e -i o, x 三0,1 ，所以，f x=

16、ex-x-i,x 0,1 單增。故f x 二 ex T f 0 =0 ，即：e 1 x(x 0).例5證明：當(dāng)0 :： X 時,21tan x x -證明：令3,x/ 2 2 2 2 則 f x 二 sec x -1 - x 二 tan x 一 x=tan x x tan x - x > 0.所以,f x 二 ta n x1x -一33x ,x.卩，工j單增。故f x 二 ta n x -tanx x1x一3例 6.證明：當(dāng) x 0 時，|n 1 x arctan x1 +x證明：原命題等價于1 x ln 1 x - arctanx - 0 .令 f x =1x1 n 1 x - arc

17、tanx,x 0,：，2則 f / x = ln 1 x X 2 0, x 0,：.“X所以，f x = 1 x ln 1 XI-arctanx,x 0, 單增.故f x =1x1 n 1 x arctanx f 0 =0 ,即:arcta n x當(dāng) X “時，ln(1+x)> I”例7證明：當(dāng)x . 4時，2X . X2.證明：令f x=2X -x2.則f/ Xj=2xln22x.f x的符號一眼看不出來，下面再求fx .x 242222因為 f x i=2xln2 2 - 2 24ln2 2 - 2 =22 2ln 2 2ln 2 = 2 2ln 22.ln 22 -1 0 , 所以

18、 f x 單增，則 f x f 4 = 241n 2 - 8 = 8 In 4 -1 0.所以，f x 單增，則 f x f 4 =24 -40.即 2x x2.練習(xí)：(1)證明：當(dāng) 0：x：1 時，e2x： J.1 -x1 + x-解：注意到，當(dāng)0 ： x ： 1時， .0,只須等價證明1-x e % ： 1 x.1 - x令 f x i；h1 -X e2x -1 -X.，則 f/ x =1 -2x e2x -1f x的符號一眼看不出來，下面再求fx .因為 f x - -4xe2x : 0,，所以f x單減，則X :： f 0 =0.所以，f x 單減，則 f x : f 0 = 0.即

19、1 -x e2x : 1 x.(2)證明：當(dāng) e . a : b時，ab - ba.證明：只須等價證明：b ln a a ln b.令 f x = xln a - aln x, x a e因為 f'(x) = l na£>0T na>1,巳 v1 ，x x 丿所以，f b f a = 0,即 bln a alnb.另證：只須等價證明：ln a ln b>ab令f x =ln xx a e：0, x a e ，所以，f x 單減。故 fa f b , 即 lna lnb. a b六. 極值函數(shù)的極、最值與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系極為緊密，先回顧一下幾個重要結(jié)論。極值的

20、必要條件（費馬定理）：設(shè)f x在點。的某鄰域U X。內(nèi)有定義，且在 X。處可導(dǎo)。/若f X。為極值，則必有：f X。=0.注意：使f Xo 二 。的點X?？赡転閒（x ）的極大值點（或極小值點），也可能不是。比如：3y = x，X。=。.另外，不可導(dǎo)點也可能是極值點，如：y =1 x I, x。=。< A極值的第一充分條件：設(shè)f（x ）在點x0處連續(xù)，在U X。® 冋導(dǎo)。（1）若 當(dāng)乂丘儀。-%。） k J/ /時，f x -0 ；而當(dāng)xXo，X。*時f x乞。，則f x。為極大值；（2 ）若 當(dāng) X- X。X。時，f / X 乞。；而當(dāng)xX。時 f / X 。，貝y f X。

21、為極小值；（3 ）若 當(dāng)x三X。一、：，X。時，及當(dāng)x三X。，X。亠心時f x的符號相同， 則f x。非極值-請大家注意：極值的第一充分條件并不要求f / x。存在！極值的第二充分條件：設(shè)f x在 U X。，一 階可導(dǎo)，在點Xo處二階可導(dǎo)，且/ /f X。7 f X。=。則（1 ）若f X。"。，則f X。為極大值；（2 ）若 f Xo 。， 則f X。為極小值我們知道，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般按四個步驟走，求函數(shù)的極值與之類似。請大家看下例，認(rèn)真體會32例8.求y = x 一 6x 9-2的極值.解一：（一）D = -：，=：./ 2（二）f x - 3 x T2x，9=3x-1 x

22、- 3 .（四）列表判斷:解二：（一）D（三）令（- ：,1）/f x二°= %1二hx2二3。無不可導(dǎo)點1,33極大極小-22x -12x 9=3 x -1 x -3 ./（三）令f x = 0= X"1 = " X2二3.無不可導(dǎo)點/ /（四）又因為f x=6x-12因為，f 1=一6：0，所以f1 =2為極大值;f/ 3 =60，所以f 1 = 2為極小值七. 最值第一種情況：設(shè)f x在閉區(qū)間a,b 1上連續(xù)，則f x在la,b 1上必可取到最大值與最小值.最值的達(dá)到只有兩種情況：（1）f a或f b即為最值;（2）最值在a,b內(nèi)取到，則此時的最值也就是極值

23、.因此，求可導(dǎo)函數(shù) f x在a,b上的最值的方法如下：（1） 求出a,b所有可能的極值點（無須判斷）：x1，x2，-，xn ；（2） 將f （為）f（x2），f（xn，f （a ） f （b）值全部求出，并進行比較，其中最大的 即為最大值；最小的即為最小值.例 9求 y =x48x2 2,x 1-1,3 】的最值./3丿刈i解: （一） y = 4x -16x=4xx 2 x-2 ；/3（二）令 y =4x16x=4xx-2 x 2 = 0 ，得駐點 X1 = 0, X2 = 2, X3 = 一2（舍）；（三）因為 f T = 5, f 0 = 2, f 2 二-14, f 3 =11，所以，

24、經(jīng)比較：m=-14,M=11.第二種情況：設(shè) f x在閉區(qū)間a,b】上單增（減），則f a ,f b就是最?。ù螅┗蜃畲螅ㄐ。┲档谌N情況：如果連續(xù)函數(shù)在I上（不一定為閉區(qū)間）有且僅有一個極值點，則在該點處必定取得相應(yīng)的最值。（對于實際問題，常用此法解決，比如優(yōu)化問題）例10.一房地產(chǎn)公司有 50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為2000元時，公寓會全部租出去當(dāng)月租金每增加100元時，就會多一套公寓租不出去，而租出去的公 寓每月需花費200元的維修費試問租金定為多少可獲得最大收入？ 解：設(shè)每套公寓租金定為 X,所獲收入為y則 y = 50X00 x200.100整理，得X2 +7200x -14000

25、00，100 - -12x 7200 ,令 = 0,得 x = 3600. 10010,即x二3600.是使y達(dá)到最大值的點最大收入為5036003600 一200 =115600 （元）x2例某工廠生產(chǎn) x件產(chǎn)品需成本 C 25000200x（元）。問:40（1）若使平均成本最小，需生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？（2）若每件產(chǎn)品以500 （元）賣出，為使利潤最大，需生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解：（1） C x 二 = 25000200xx40250001又C x2，令C x =0,得唯一駐點x= 1000。x 4050000因為C x30,所以，C 1000為極小值，從而也是最小值。x利用函數(shù)的單調(diào)性和最值還可以討

26、論方程的根的個數(shù)例11.討論方程In x = ax（a - 0）有幾個實根？解：令 f x = In x - ax, x 三0,二1則f X ：1 -axa1-x一 a-a -xxX仃11 - ax1令f x-a =0二 xxxa1當(dāng)0 ： x時，af x 0,1所以f x單增；當(dāng)X 時，f ax ： 0,所以 f x單減.因此f |=_(Ina+1 )為f(x 在 (0,乜 的最大值.la丿又顯然 f x 在 0,：；3 ；連續(xù)，且 lim f x - - ：, lim xiJ0J 說 J所以f x至多只有兩個實根1.當(dāng)f丄=(I n a+1)=0,即卩In a = 1, a = 1時，直線

27、y= f(x與x軸只有一根; 2丿e2當(dāng) f 丄=(I na+1 )>0 時，即 In a £1= 0ca c1 時，有兩實根; ka丿e3.當(dāng) f 2=(In a +1 )v0 時，即 In a a-1 = an1 時，無實根. ale例12.設(shè)f x在a, ：上連續(xù)，且當(dāng)x a時，f x單增，且有x j，k - 0(k為常數(shù))亍上有且僅有一個實根.證明：對函數(shù)f x在a,a-fka用拉氏定理:(f )a 1a=k3 i.>又因為fa : 0，所以,由根值定理:至少存在一點x0 -a,a使 f X。=0 ；試證明：若f a ：0，則方程f x =0在a,a -又因為f

28、X單增，故只有一個實根練習(xí)：(1)設(shè)p,q為大于1的正數(shù),-0證明：當(dāng)x 0時,p q11證明：令f 乂:匸丄乂卩丄-X ,pqxp 1 -x.p q令 f/ x 二 xp4-1=0,得唯一駐點 x = 1.又 廠X二p -1 xp-, f 1 = p -10,故f 1為極小值，從而也為最小值故對于任何x . 0，有f x ： f 1 =0.（2）求拋物線y =1 X2在第一象限內(nèi)的一條切線，使該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的平面圖 形面積最小.解：設(shè)切點為 t,1 -t2。又= -2t.所以，切線方程為：y （1）=2t （x t ），即 y = 2tx +1 +1 $.21 +t22t令 x=0,

29、得 y=1t2;令 y =0，得 x.所以 St 1 t2 .- - = t0 ： t < 122t4t1 t 3t -14t令S n-0,得唯一駐點t =為最小值.又當(dāng)ot專時，S°；當(dāng)t f時，s t 0,故S七曲線的凹凸性及拐點研究函數(shù)的最高目的是為函數(shù)“照相”，即給函數(shù)作圖，這時僅僅知道其單調(diào)性和極（最）值是不夠的.還需要研究其對應(yīng)曲線的凹凸性和漸進線.先回顧一下曲線凹凸的概念及其判定方法.定義：設(shè)函數(shù)y = f x在區(qū)間a,b內(nèi)有定義，如果對x2三a,b，都有：則稱函數(shù)y = f x在區(qū)間a,b內(nèi)為下凸的.函數(shù)凹、凸性的判定定理：設(shè)函數(shù) y=fx在區(qū)間a,b內(nèi)存在二階

30、導(dǎo)數(shù)且 xa,b ,f x 0.（或f “ x ：0）則函數(shù)y二f x在區(qū)間a, b內(nèi)為下凸（或上凸）的.2例13.確定y = 2-x的上（下）凸性.例14.確定y =x3的上（下）凸性拐點的定義：稱曲線y = f x上凸與下凸的分界點為其拐點，或變曲點拐點的必要條件：如果在x0附近f x具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且Xq, f x0|為曲線y二f x的拐點，貝U f x0 =0.注意：從例13可見，二階導(dǎo)數(shù)為 0的點可能是拐點；一會兒通過例子表明：二階不可導(dǎo)點 也可能是拐點.求函數(shù)上（下）凸區(qū)間及拐點的方法、步驟（1）求函數(shù)y = f x的定義域D；（2 ）求X ;（3） 令f X =0,求出f X =0的所有的根及所有二階不可導(dǎo)點；（不在D內(nèi)的要舍 去）;（4）用這些點劃分定義域 D，列表判斷.例15求曲線y =3x4 -4x31上（下）凸