專題—求參數(shù)取值范圍一般方法

1、專題一一求參數(shù)取值范圍一般方法概念與用法恒成立問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)問(wèn)題，也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。題型特點(diǎn)大多以已知一個(gè) 變量的取值范圍，求另一個(gè)變量的取值范圍的形式出現(xiàn)。這樣的題型會(huì)出現(xiàn)于代數(shù)中的不等式里也會(huì)出現(xiàn)在幾何里。就常考題型的一般題型以及解題方法，我在這里做了個(gè)小結(jié)。題型以及解題方法，分離參數(shù)在給出的不等式中，如果能通過(guò)恒等變形分離出參數(shù)，即：若a f x恒成立，只須求出f x，則amax f x max ；若 af x恒成立，只須求出f x min，則af x min，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例1、已知函數(shù)f xlg xa 2x，若對(duì)任意x 2,恒有f x0,試確定a的取值范圍。解：根據(jù)題意得

2、：x-2 x1在x2,上恒成立，即：2ax3x在x2,上恒成立，設(shè)f2xx3x，則 f x3x -2924當(dāng)x2時(shí)，fxmax2所以a 2例2.已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<54sinx+ 5a 4恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知(x R)，另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x< . 5a 4a+5要使上式恒成立，只需.5a 4 a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問(wèn)題。f(x)= 4sin x+cos2x=22si

3、 n2x+4si nx+1：=2(s inx 1)2+33,、5a 4a+5>3即、5a 4>a-+2a 20a2 04a<8上式等價(jià)于5a 40或，解得5a4 055a 4(a 2)2說(shuō)明：注意到題目中出現(xiàn)了 sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。二，變主換元在給出的含有兩個(gè)變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量 x看成是主元(未知數(shù))，而把另一個(gè)變量a看成參數(shù)，在有些問(wèn)題中這樣的解題過(guò)程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。例3.對(duì)于滿足|p| 2的所

4、有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及P關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題。例4、若不等式2x 12m x 1對(duì)滿足m2的所有m都成立，求x的取值范圍。解：設(shè) f m m x2 12x 1，對(duì)滿足m 2的m，f m 0恒成立,2 x21 2x 102解得:2 x 1 2x 10171 、3 x 2 2三，利用二次函數(shù)根的分布 例 5.設(shè) f(x)=x 2 2ax+2，當(dāng) x 分析：題目中要證明f(x)1,+)時(shí)，都有f(x

5、) a恒成立，求a的取值范圍。a恒成立，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1,+)時(shí)恒大于0的問(wèn)題。解：設(shè) F(x)= f(x) a=x2 2ax+2 a.i )當(dāng) =4 (a 1)(a+2)<0 時(shí)，即 2<a<1 時(shí)，對(duì)一切 x 1,+)，F(xiàn)(x) 0 恒成立;ii)當(dāng) =4 (a 1)(a+2)0時(shí)由圖可得以下充要條件：0(a 1)(a 2)0f( 1)0 即 a 302a,a1,1,2得3 a2;綜合可得a的取值范圍為3，1解：不等式即(x1)p+x2 2x+1>0,設(shè) f(p)=:(x1)p+x2 2x+1,則 f(p)在2,2上恒大于 0

6、,故有：f(2)0即x2 4x 30 解得：x3或 x 1f(2)x 10x1或x1/ x< 1 或 x>3.四，利用集合與幾何之間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來(lái)求解，即：m,n fa,ga ，則fa m且g a n，不等式的解即為實(shí)數(shù)a的取值范圍。例6、當(dāng)x13,31恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解: Q 1 loga x 1(1)11當(dāng)a 1時(shí)，一x a，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 一,3a3(2)11當(dāng)0 a 1時(shí)，a x，則冋題轉(zhuǎn)化為,3a31a,a綜上所得：0 a 1 或 a 33五，幾何中的求參要確定變量k的范圍,可先建立以k為函

7、數(shù)的目標(biāo)函數(shù)f （t），從而使這種具有函數(shù)背景的范圍問(wèn)題迎刃而解。解：（略解）設(shè)直線l方程為：y k(x 1)mk,由FBAF 得 (x2 皿）（1,yjX21(1 x/y2y1由yy1y1 y2 (12)y1y2(y1 y2）2,由韋達(dá)定理代入整理 得:y2y1149 16 433 4k2,.所求mk ,-,1 216 9344 3例7、（雙參數(shù)且已知其中一個(gè)參數(shù)的范圍）給定拋物線C: y2 4x,F是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線I與C相交于A,B兩點(diǎn). 若FB AF,若4,9,求I在y軸上截得m的范圍。小練一下1.已知函數(shù) f (x) ax . 4x x2, x (0,4時(shí) f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。2.已知不等式(x1)m2x1對(duì)x3.已知不等式(x1)m2x1對(duì)m4.已知不等式2x2 ax20對(duì)x5.已知不等式