專題一飛向太空的勾股定理

1、學(xué)海搜奇專題一飛向太空的勾殷定理歷史的誤會大約在公元前1100年左右，我國周朝初年，周武王的弟弟周公與數(shù)學(xué)家商高 進行了一次偉大的歷史性對話。周公問商高：“聽說您對數(shù)很精通，請問古代伏 羲如何測定天體的位置？要知道天是不可能用梯子攀登上去的，地也無法用尺子來 測量，請問數(shù)是從哪里來的呢？”商高回答說：“數(shù)的方法是從研究圓形和方形開 始的，圓形是由方形產(chǎn)生的，而方形又是由折成直角的矩尺產(chǎn)生的。在研究矩形 前需要知道九九口訣。設(shè)想把一個矩形沿對角線切開， 使得短直角邊（勾）長為3, 長直角邊（股）長為4,斜邊（弦）長則為5。以弦為邊作一正方形，并用四個與上述 直角三角形一樣的半矩形把它圍成一個方形

2、盤。 從它的總面積49中，減去由勾股 弦均分別為3、4、5的四個直角三角形構(gòu)成的2個矩形的面積24,便得到最初所圖直角三角形作正方形的面積25。這種方法稱為積矩。”這個故事記載于我國古代“算經(jīng)十書”之一的 周髀 算經(jīng)其含義就是對直角三角形（圖1.1）的特例即勾3、 股4、弦5作出了直觀的、簡捷易懂的說明，它表明世界 上最早發(fā)現(xiàn)并深入研究勾股定理的歷史可以追溯到我國 的周朝時期。然而，在西方，直到公元前6世紀，古希臘數(shù)學(xué)家、 天文學(xué)家、哲學(xué)家畢達哥拉斯才發(fā)現(xiàn)了 “直角三角形兩條 直角邊的平方和，等于斜邊的平方”，千百年來， 西方人 卻把這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”。殊不知，歷史的真相是畢達哥拉

3、斯的發(fā)現(xiàn) 晚了中國人的發(fā)現(xiàn)500600年。這種歷史的誤會不能不令人感到十分遺憾 操作與演示“弦圖”與勾股定理對于商高所說的“積矩”，三國時期趙爽在勾股方圓圖注中，以我國古代證明 幾何問題的一種獨特方法一一割補原理，做了進一步的直觀演算。他畫“弦圖， 將圖形的各部分分別涂以不同的顏色，然后經(jīng)過適當(dāng)?shù)仄囱a搭配，使其“出入相補, 各從其類”，如圖1. 2所示。圖1. 2趙爽的“弦圖”商高的“積矩”可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為：如圖1. 3所示，把矩形ADB用對角線AE分成兩個直角三角形，然后以 AB為邊長作正方形BMNA再用與直角三角形BAD相同的三角形把這個正方形圍起來，形成一個新的正方形(方形盤)DEFG

4、其面積為2(3+4) =49，而這四個直角三角形的面積等于兩個矩形 ADB的面積之和，即2X 3X 4=24。所以正方 形ABMN勺面積=方形盤DEFG- 2個矩形ADBC勺面積，即，49-24=25=52=32+42也就是“勾的平方加股的平方等于弦的平方”。趙爽的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為：如圖1.4所示，以a、b、c分別表示勾、股、弦,那么，a b表示“弦圖”中兩塊圖1 4 “弦圖”的現(xiàn)代數(shù)學(xué)圖示“朱實”的面積，2ab表示四塊朱實的面積，(b - a)2表示“中黃實”的面積。于是，從圖中可明顯看出，四塊“朱 實”的面積加上一個“中黃實”的面積就等于以c為邊長的 正方形“弦實”的面積，即2 2

5、2 2 2 2 c (b -a) 2ab = b - 2ab a 2ab = a b這就是勾股定理的一般表達式。古往今來，許多人對勾股定理提出了各種不同的證 法，吉尼斯的世界記錄是，勾股定理的證法已超過 370種, 是世界上證法最多的定理。趙爽給勾股定理以如此簡明、直觀的證明，使世界數(shù)學(xué)家們無不贊嘆其思想之高超、方法之巧妙，被譽為世界上勾股定理證明之最 超級鏈接一、七巧板與勾股定理七巧板是起源于我國宋代的智力游戲，19世紀開始流傳到日本和歐美國家。1818年左右，美國、德國、英國、法國、意大利和奧地利等國就已經(jīng)出版過 介紹七巧板的書籍，把七巧板稱為“中國的拼圖板”、“中國拼板游戲”等，其中很

6、多圖形參考了我國的有關(guān)書籍。19世紀聲名顯赫的法國領(lǐng)袖拿破侖在流放中都不 忘中國的七巧板游戲。1960年,荷蘭作家羅伯特范古利克出版了一本小說中 國的謀殺案，他在小說中塑造了一個啞巴男孩，每當(dāng)他的手勢不夠用時，他就 用七巧板圖形來表達，小說以男孩的七巧板拼圖破案作結(jié)尾。1942年美國數(shù)學(xué)月刊發(fā)表了中國浙江大學(xué)兩位作者的文章，他們證明了用一副七巧板能拼成的 凸多邊形最多只有13種，如圖1.5所示圖1. 5七巧板拼成的13種凸多邊形利用七巧板可以拼成許多圖形，包括人物、動物、 植物、建筑物、文字等，據(jù)說有記載的圖形已超過1 000 種。你可知道七巧板也可以用來證明勾股定理嗎？圖1. 6是用2副同樣

7、大小的七巧板拼成的，在圖中， 下部平放的正方形由一副七巧板拼成，上部斜放的 2 個正方形由另一七巧板拼成，這3個正方形內(nèi)側(cè)圍出 一個直角三角形。因為斜邊上的大正方形面積等于兩 條直角邊上的小直角三角形面積之和，所以我們不難 得出這樣的結(jié)論：直角三角形斜邊長的平方等于兩條 直角邊長的平方和。這正是勾股定理的內(nèi)容、美女蕩秋千在明朝程大位的著作直指算法統(tǒng)宗里，有這樣一道趣題： 蕩秋千平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記。仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉， 良工高士素好奇，算出索長有幾？把它譯成現(xiàn)代漢語，其大意是，一架秋千當(dāng)它靜止不動時，踏板離地I尺，將它向 前推兩步(古人將一步算作五尺

8、)即10尺，秋千的踏板就和人一樣高，此人身高5 尺,如果這時秋千的繩索拉得很直，請問繩索有多圖1.7湯秋千的幾何圖示長?已知：如圖1. 7所示，假設(shè)OA為靜止時 繩索的長度，AC=1，BD=5, BF=IO。求：OA = ?解設(shè)OA = x，貝UOB = OA = x根據(jù)題意得FA=FC AC=BD AC=5- I =4 則 OF=OAFA = x-4在直角三角形OB中，根據(jù)勾股定理得x2 =102 +(x_4)2解這個方程，得x = 14.5所以，秋千繩索的長度為14. 5尺。圖1. 6用七巧板證明勾股定理、美國總統(tǒng)與勾股定理在美國總統(tǒng)中有幾個與數(shù)學(xué)有所聯(lián)系。華盛頓是一位著名的測量師，杰克遜

9、為鼓勵在美國講授高等數(shù)學(xué)做了許多工作，林肯被認為是以研究歐幾里得原本來 學(xué)習(xí)邏輯的倡導(dǎo)者。更有創(chuàng)造性的是第20任總統(tǒng)加菲爾德(18311881年)，在中學(xué)時代，他就顯示了對初等數(shù)學(xué)的濃厚興趣和卓越才華，1876年4月新英格蘭教 育月刊發(fā)表了他關(guān)于勾股定理的新證明方法。他的證法是這樣的:bB如圖1. 8,在Rt ADE勺斜邊DEt,作等腰Rt DEC過點c作AE的垂線交AE勺延長線于B,那么，在 ADE和厶 BEC中，/ ADEM BECED=EC，/ A=Z B=90°,因而 ADEA BEC圖1. 8美國總統(tǒng)對勾股定理的證明所以S 'EDCS梯形ABCD1(a b)(a b

10、)2因為梯形ABC的面積等于厶AED DEC BC三個面積之和,即A_(a b)(a °b)= _ c _ ab _ ab2 2 2 2化簡，即得a2 b2 = c2四、奇妙的勾股樹如圖1. 9,這是一棵美麗的大樹，它們的奇妙之處就在于它們的樹干和樹枝是由一幅幅勾股定理的圖形組成，每棵樹的勾股定理圖形完全相同，只是尺碼在 勾股定理的繁衍過程中逐漸變小。當(dāng)然，我們可以通過改變第一個勾股定理圖中直角三角形三邊的比例，或者在繁衍過程中改變直角邊的方向，就可得到千姿百 態(tài)的勾股樹，你也不妨試一試。圖1.9奇妙的勾股樹五、勾股數(shù)勾股定理在數(shù)學(xué)上是全方位的，它給人們的啟迪不僅在于“形”的方面，而

11、且 也在于“數(shù)”的方面。如果從“數(shù)”的角度看勾股定理，我們就會注意到數(shù)論中的“整 勾股數(shù)組”問題，即不定方程/ 寸=£的“正整數(shù)解組”，也叫“整數(shù)勾股數(shù)組”， 簡稱“勾股數(shù)”。因此，我們說，如果a、b、c都是正整數(shù)，并且具有關(guān)系a2 bc2， 那么a、b、c就稱為“勾股數(shù)”。顯然，如果（a、b、c）是一組勾股數(shù)，那么，將它們同 乘以一個正整數(shù)k，其結(jié)果（ka、kb、kc）也是一組勾股數(shù)。所以，我們只需考慮a、b、 c兩兩互素的勾股數(shù)，并把它稱為基本勾股數(shù)組。那么，怎樣造出一組勾股數(shù)來呢？古今中外有許多數(shù)學(xué)家都在探討這個問題。古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了這樣一種方法：設(shè)m是任意大于等于

12、2的正整數(shù)，則（m2 -1、2m、m2 1） 一定是一個勾股數(shù) 組。因為 （m2 -1）2 （2m）2 =（m2 1）2所以（m2-1、2m、m2+1）是一組勾股數(shù)組，而且它們兩兩互素，是基本勾股數(shù)組。 但是，這個公式并不能給出全部勾股數(shù)組。公元1世紀，我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)提出了一個更妙的方法：若給1 1兩個數(shù)m n，那么，(m? -n2)、mn、- (m2 n2)就是一組勾股數(shù)，每次給的 m n不同，所得的勾股數(shù)就不同。你能說明這是為什么嗎 ？到公元3世紀，大數(shù)學(xué)家劉徽用幾何方法證明了這個公式?？上驳氖牵绻覀兿薅?m n為兩個互素的奇數(shù)，那么，用九章算術(shù)里 的這個公式就能造出全部兩兩

13、互素的勾股數(shù)組。因此，我們可以把這個公式叫做 方程x2 y2 = z2的通解公式。六、勾股定理與費爾馬大定理如果有人間起上世紀數(shù)學(xué)界中最重要的結(jié)果是什么，我相信很多人會說是費 爾馬(Fermat)大定理。這個懸置長達300多年的著名難題在：1995年被英國數(shù)學(xué) 家A.維爾斯(Wiles)徹底解決。1996年3月維爾斯因此榮膺沃爾夫(Wolf)獎。首先，讓我們來介紹費爾馬大定理，它與勾股定理還有一定的淵源關(guān)系呢。2 2 2如果勾股定理的公式a b =c中的a、b、c是未知數(shù)，那么勾股定理就是 第一個不定方程(即未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù))，它也是最早得出完整解答的 不定方程，它一方面引導(dǎo)出各式各

14、樣的不定方程，另一方面也為不定方程的解題 程序樹立了一個范式。法國人費爾馬(Pierre de Fermat，16011665年)雖然學(xué) 的是法律，從事的也是律師的職業(yè)，但他對數(shù)學(xué)卻有濃厚的興趣，在工余時間常 讀數(shù)學(xué)書，并自己從事一些數(shù)學(xué)研究。他在閱讀希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diopho ntus)2丄 22的算術(shù)一書中論述求解x y =z的一般解的問題時，在書的空白處，用筆 寫下這樣的心得：“反過來說不可能把一個立方數(shù)分拆為兩個立方數(shù)的和，一個 四方數(shù)分拆成兩個四方數(shù)之和。更一般地，任何大于二的幕指數(shù)不能分拆為同樣 幕指數(shù)的兩個之和。我已發(fā)現(xiàn)了一個絕妙的證明，但因為空白太小，寫不下整個 證明”。用

15、數(shù)學(xué)語言來表達，費爾馬的結(jié)論是：n 丄 nn當(dāng)n3時，x y=z “沒有正整數(shù)解。人們不相信費爾馬找到了這個結(jié)論的證明，或者正如成千上萬的后來人一樣， 自以為證明出來而實際上搞錯了，因為許多有名的數(shù)學(xué)家都試圖證明它，但都以 失敗而告終。然而費爾馬確實創(chuàng)造了無窮下降方法，證明了n=4的情況，n=3的情況是瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉(LeonardEuler，17071783年)在1753年給出的。19 世紀初實際上只有n=3、n=4兩種情況得到證明，而n=5的情況則是在經(jīng)歷了半個 多世紀，一直到18231825年才首次完全證明。費爾馬大定理對當(dāng)時的數(shù)學(xué)家是 一個最大的挑戰(zhàn)。為了表示學(xué)術(shù)界對它的重視，181

16、6年法國科學(xué)院首次為費爾馬 大定理設(shè)立了大獎。許多大數(shù)學(xué)家，其中包括當(dāng)時頂尖的數(shù)學(xué)家，法國的高斯和 柯西都曾熱衷于這個問題。在早期嘗試解決費爾馬大定理的英雄豪杰里有一位巾幗英雄，她是德國的蘇菲日爾曼(sophie Germain, 17761831年)。小時候她是一個很害羞、膽怯的女孩，靠自學(xué)閱讀和研究數(shù)學(xué)。由于當(dāng)時女性在數(shù)學(xué)上受到歧視，她就用一個男 性化名同一些大數(shù)學(xué)家通信，其中包括高斯和勒讓德，她的才能使得這些一流的 數(shù)學(xué)家大為驚訝。2 2 2我們現(xiàn)在回過頭來看看勾股定理a b二c，如果在方程兩邊同2時除以c，可得到(a)2 (b)2 “c c2 2 2設(shè)a=x，b = y,則要找正整數(shù)a

17、、b、c滿足a b二c，等價于找有理數(shù)x、y, c c使得(x，y)滿足髫x2 y2 =1。(x，y)可以看成是平面上單位圓上的一個點，x、 y都為有理數(shù)的點(x，y)，稱為有理點。這樣我們就把由勾股定理得到的方程是 否有正整數(shù)簡化為平面上的單位圓上是否有有理點。同樣xn ' zn是否有正整數(shù)解等價于平面上的曲線xn yn =1上是否有有理點的問題。我們稱由方程xn yn =1定義的曲線為費爾馬曲線。在中學(xué)數(shù)學(xué)里，我們對平面代數(shù)曲線有一些了解，在解析幾何里，對二次曲 線進行了完整的分類。平面上二次代數(shù)曲線有：2 2橢圓 7=1 ；a b2 2雙曲線 篤-與"或xy=a ;a

18、b拋物線 y = ax2.代數(shù)幾何學(xué)在解決費爾馬大定理時起到了非常大的作用。代數(shù)幾何學(xué)是解析 幾何的自然延續(xù)，在解析幾何中，我們用坐標方法通過方程來表示曲線和曲面， 通常只研究一次、二次曲線，即直線、橢圓、雙曲線及拋物線。三次及三次以上 的曲線一般就不再仔細研究了。代數(shù)幾何與解析幾何的一個主要不同點是，解析幾何用次數(shù)來對曲線和曲面 分類，而代數(shù)幾何學(xué)則用一個雙有理變換不變量一虧格來對代數(shù)曲線進行分類。 1929年英國數(shù)學(xué)家莫德爾(Lewis J。Mordell)提出著名的猜想：虧格的代數(shù)曲線 上的有些點數(shù)目只有有限多個。1983年，德國數(shù)學(xué)家法爾廷斯證明了莫德爾猜想， 他的證明用到了多位數(shù)學(xué)家

19、的成果。他的結(jié)論被認為是上世紀的一個偉大定理， 標志著數(shù)學(xué)史上最著名的難題取得了 100多年來最重大的進步，他因此而獲得 1986年的菲爾茲(Fields)獎。但是，這個難題的最終完全解決是英國數(shù)學(xué)家A 維爾斯在經(jīng)過漫長的7年探索之后，終于在1993年6月取得突破，他采取了與費爾馬、歐拉、莫德爾等人 完全不同的研究路線，綜合運用了橢圓曲線理論、模型式理論、伽羅華表示理論 等許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論，最終在1994年9月完全證明了費爾馬大定理。七、勾股定理與外星文明人類在宇宙中是惟一存在的智慧生物嗎？除了人類文明之外，茫茫宇宙是否還 存在外星文明？這是古今中外一直困擾我們?nèi)祟惖碾y題。在這種探索中，科學(xué)家通過宇宙飛船考察了太陽系里的其他行星，特別是對 可能存在生命的火星和土星的一個衛(wèi)星“土衛(wèi)六”進行了重點探測，但并沒發(fā)現(xiàn) 有生命存在的跡象。在太陽系之外，要想找到智慧生命，首先要像太陽系一樣的行星系統(tǒng)，天文學(xué)家估計，在銀河系中類似地球這樣的行星約有100萬顆，可惜它們離我們太遙遠了。很多學(xué)者認為，要尋找外星文明，首先應(yīng)該尋 找一種能跟外星人相互溝通的“語言”，然后再跟 外星人聯(lián)系。而科學(xué)家自然想起了“勾股定理”和9“勾股數(shù)”，正如我國著名數(shù)