霧霾天氣危害性分析

1、霧霾天氣危害性分析摘要霧霾天氣危害著我們的生活，危害著世界，因此我們有必要分析其危害，引起大家的關(guān)注。本文要解決的是霧霾天氣對生物鏈的影響及如何降低霧霾的影響的問題。為了更直觀地看出影響，我們根據(jù)題目建立了較為復(fù)雜的Volterra食餌捕食者的穩(wěn)定性優(yōu)化模型和圖片修復(fù)模型。問題一，首先，我們根據(jù)簡單直觀的生物鏈（如下圖所示），通過假設(shè)一些數(shù)據(jù)建立較為復(fù)雜的食餌捕食者的穩(wěn)定性優(yōu)化模型，列出數(shù)據(jù)間的關(guān)系式即為幾個微分方程，利用Matlab軟件求微分方程的數(shù)值解，通過對數(shù)值結(jié)果和圖形的觀察，猜測它的解析解的構(gòu)造；然后從理論上研究其平衡點及相軌線的形狀，驗證前面的猜測，再比較正常天氣條件下和霧霾天氣條

2、件下得到的數(shù)據(jù)圖像來說明植物對食草動物的影響，最終證明了霧霾天氣對生物鏈造成的危害性影響。植物草食草動物食肉動物人生物鏈圖問題二，把圖像數(shù)字化處理，通過簡化假設(shè)，把數(shù)字圖像表示為列向量形式，從而將對合作用的函數(shù)式改寫為矩陣，建立圖像模型，再通過Matlab程序變換處理矩陣的對角化形式以及傅里葉形式，又因為Laplace算子為導(dǎo)數(shù)算子，對圖像改善有更好的作用，所以我們利用Laplace濾波器處理圖像，增強圖片清晰效果。問題三，在問題二所建立的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，利用Matlab中的圖像處理工具箱進(jìn)行圖像修復(fù)。 關(guān)鍵詞：霧霾天氣；影響；食餌-捕食者模型；圖片修復(fù)；Matlab軟件。 一、 問題重述霧是

3、指懸浮在貼近地面的大氣中的大量微細(xì)水滴的可見集合體，按世界氣象組織規(guī)定，使能見度降低到1km以下的稱為霧，能見度在ll0km的稱為輕霧。霾是指懸浮在大氣中的大量微小塵粒、煙粒、鹽粒的集合體，使空氣混濁，水平能見度降低到10km以下的一種天氣現(xiàn)象。霧、輕霧、霾天氣(以下簡稱霧霾天氣)是造成能見度降低的主要災(zāi)害性天氣現(xiàn)象，不但影響面廣，而且直接引發(fā)各類海、陸、空交通事故及城市空氣質(zhì)量問題，霧霾天氣已經(jīng)成為一種新的氣象及環(huán)境災(zāi)害性現(xiàn)象。因此，有必要分析霧霾天氣的危害性，引起人們的注意。建立數(shù)學(xué)模型回答以下幾個問題：1.霧霾天氣將減少陽光照射強度，直接影響到植物的光合作用，從而間接的影響到生態(tài)平衡。建

4、立數(shù)學(xué)模型描述霧霾天氣對于生物鏈所造成的影響。2.霧霾對人類生活影響的另一方面表現(xiàn)為機器攝取圖像較為模糊。為了獲取清晰的圖片，需要分析霧霾原因，提出合理的算法并對霧霾天氣下拍攝的圖片進(jìn)行處理，將霧霾的影響降低。圖1中為正常情況和霧霾天氣兩種情況下的圖片，并對提出的算法進(jìn)行評價。圖1圖23.通過第2問所建立的數(shù)學(xué)模型，選擇效果最好的圖片處理方法對圖2進(jìn)行變化以降低霧霾的影響。 二、 問題分析對于問題一，霧霾天氣將減少陽光照射強度，直接影響到植物的光合作用，從而間接的影響到生態(tài)平衡。先假設(shè)只考慮簡單的生物鏈和簡單的影響等條件下，設(shè)立一些數(shù)據(jù)，建立較為復(fù)雜的Volterra食餌捕食者的穩(wěn)定性優(yōu)化模型

5、，找出數(shù)據(jù)間的關(guān)系式，用Matlab求解微分方程作出相應(yīng)的圖像，比較在正常天氣條件下和霧霾天氣條件下得到的數(shù)據(jù)圖像來說明霧霾天氣對生物鏈的影響。對于問題二，霧霾對人類生活影響的另一方面表現(xiàn)為機器攝取圖像較為模糊。為了獲取清晰的圖片，需要分析霧霾原因，霧霾主要是因為氣溫低，污染物不擴(kuò)散和PM2.5。為了將霧霾對在霧霾天氣下拍攝的圖片影響降低，應(yīng)把圖像數(shù)字化處理，作出相應(yīng)的假設(shè)，建立圖像模型。圖1中為正常情況和霧霾天氣兩種情況下的圖片，通過Matlab程序算法處理霧霾天氣情況下的圖片，比較處理后的圖片與正常情況下的圖片，評價該算法圖片處理的效果。對于問題三，通過問題二所建立的數(shù)學(xué)模型，選擇效果最好

6、的圖片處理方法對圖2進(jìn)行變化以降低霧霾對在霧霾天氣下拍攝的圖片的影響。三、 模型假設(shè)1. 假設(shè)本題目不考慮人對植物，人對食草動物，人對食肉動物的影響；2. 假設(shè)不考慮霧霾天氣對人，對食草動物，對食肉動物的直接影響；3. 假設(shè)植物一天24小時的光合作用效果一樣；4. 假設(shè)植物一天所產(chǎn)生的光合作用全部用于植物的增長；5. 本題不考慮成像設(shè)備不正確聚焦，膠片顆粒噪音，空氣的湍流效應(yīng)等決定性因素；四、 符號說明問題一：r植物相對增長率t某一時刻x(t)植物在t時刻的數(shù)量y(t)食草動物在t時刻的數(shù)量z(t)食肉動物在t時刻的數(shù)量a食草動物的捕食能力d植物對食草動物的供養(yǎng)e食草動物對食肉動物的供養(yǎng)f食肉

7、動物對人的供養(yǎng)g食草動物獨自存在時的死亡率h食肉動物獨自存在時的死亡率i人獨自存在時的死亡率j植物相對增長率的增量植物在t時刻的初始數(shù)量食草動物在t時刻的初始數(shù)量食肉動物在t時刻的初始數(shù)量人在t時刻的初始數(shù)量x(t)在一個周期的平均值y(t) 在一個周期的平均值z(t) 在一個周期的平均值w(t) 在一個周期的平均值P，Q某一函數(shù)表達(dá)式植物在平衡點時的數(shù)量食草動物在平衡點時的數(shù)量m，M均為某一常數(shù)問題二：場景的真實圖像退化圖像扭曲算子與圖像本身無關(guān)的隨機噪音歐式空間2范數(shù)空間表示函數(shù) 梯度 散度五、 模型建立與求解5.1問題一：霧霾天氣出現(xiàn)時空氣質(zhì)量很差，能見度很低，有許多污染顆粒懸浮于空中，

8、因此霧霾天氣不但阻礙太陽光的傳播，綠色植物失去了所需要的光照和熱量，使光合作用減少從而影響其生長發(fā)育，而且易產(chǎn)生細(xì)菌滋生和污染，不利于植物生長。要研究霧霾天氣對生物鏈的影響需要假設(shè)簡單的生物鏈（如上圖），該生物鏈由植物、食草動物、食肉動物和人組成。生物鏈中的種群之間是尋在相互依存關(guān)系的，因此我們可以假設(shè)當(dāng)植物獨立存在時以指數(shù)規(guī)律增長，相對增長率為r,即然而食草動物的存在使植物的增長率減少，設(shè)減少的程度與食草動物的數(shù)量成正比，于是x(t)滿足方程 （1）比例系數(shù)a反映食草動物捕食植物的能力。因為食草動物離開植物無法生存，所以設(shè)它獨自存在時的死亡率為g，即而植物的存在為食草動物提供了食物，相當(dāng)于植

9、物使食草動物的死亡率降低，且促使其增長，設(shè)這種作用與植物的數(shù)量成正比，所以y(t)應(yīng)滿足 （2）比例系數(shù)d反映植物對食草動物的供養(yǎng)能力。食草動物與食肉動物的關(guān)系類似于植物與食草動物的關(guān)系，由此可得在食草動物和食肉動物這條食物鏈上應(yīng)滿足公式 （3）比例系數(shù)e反映食草動物對食肉動物的供養(yǎng)能力。同理可得在食肉動物和人的食物鏈上應(yīng)滿足公式 （4）比例系數(shù)f反映食肉動物對人的供養(yǎng)能力。因為方程（1），（2），（3），（4）沒有解析解，所以我們首先利用Matlab軟件編制程序求微分方程的數(shù)值解。記植物，食草動物，食肉動物和人的初始數(shù)量分別為 （5）用Matlab軟件編制程序求微分方程（1）,（2）及初始條

10、件（5）的數(shù)值解x(t),y(t)及相軌線y(x)，可得數(shù)據(jù)結(jié)果圖如圖3、如圖4。圖3圖4其中y(t)與z(t)的數(shù)據(jù)結(jié)果圖和z(t)與w(t)的數(shù)據(jù)結(jié)果圖同x(t)與y(t)的數(shù)據(jù)結(jié)果圖。由圖可以猜測，x(t),y(t),z(t),w(t)是周期函數(shù)。然后，我們從理論上研究其平衡點及相軌線的形狀，驗證前面的猜測。設(shè)有微分方程 （6）方程右端不顯含自變量t，成為自治方程。代數(shù)方程 的實根 稱為方程（6）的平衡點，它也是方程（6）的解。對于二維圖形，若微分方程滿足初始條件 的解為則該組解在xOy平面上（相平面）所描繪的曲線就是相軌線。 根據(jù)平衡點和相軌線的定義，我們按照題目的意思去驗證前面的猜測

11、。顯然，方程組 （7）有兩個平衡點（與時間無關(guān)的常數(shù)解），其中， 。它的軌線滿足方程，對這個方程其中m為某個常數(shù)。由此可以解得： （8）其中M為某個常數(shù)。于是，（7）的軌道是由（8）定義的曲線族，且這些曲線族是封閉的。顯然，x（t）,y(t)即為以下為周期（T>0）的周期函數(shù)，由于調(diào)查的生物鏈為一個周期內(nèi)的均值，則有 即為換句話說，x(t)和y(t)的平均值就是平衡值。同理可知也是平均值，然后再通過Matlab軟件，得到在霧霾天氣和正常情況下（即r的取值不同）四組不同的，數(shù)據(jù)圖像。我們先以植物與食草動物這條生物鏈為例，假設(shè)在正常情況下植物的相對增長率r=1，則可以得到周期圖及相軌線（如圖

12、5,圖6）。當(dāng)霧霾天氣出現(xiàn)時，植物的光合作用減弱，從而影響了植物的相對增長率，則假設(shè)此時植物的相對增長率r=0.5，則可得到周期圖及相軌線（如圖7，圖8）。圖5圖6 圖7 圖8通過比較正常情況下的周期圖及相軌線和霧霾天氣情況下的周期圖及相軌線，可以看出霧霾天氣對植物與食草動物這條生物鏈的影響。同理可以推論出霧霾天氣對植物，食草動物，食肉動物和人這一整條生物鏈的危害性影響。5.2問題二：一副圖像經(jīng)過數(shù)字化處理，可以看成是從存儲圖像占用的平面域到實數(shù)R的映射，記做，退化圖像模型描述為 (9)其中為場景的真實圖像，為退化圖像，為扭曲算子，為與圖像本身無關(guān)的隨機噪音，扭曲算子對真實圖像的作用很復(fù)雜，我

13、們做如下的簡化假設(shè)：假設(shè)1 扭曲算子的作用為一個線性的對合作用，在數(shù)字圖像處理中，這種對合作用是通過空間表示函數(shù)實現(xiàn)的，具體形式為 (10)其中*表示對合作用。假設(shè) 2 在對隨機噪音沒有先驗知識得情況下，為理想的白噪音，使得即為原始圖像的最佳逼近，這里的為歐式空間2范數(shù)。由于處理的是數(shù)字圖像，從而（9），（10）式可以用如下離散形式表示：，其中M,N為圖像函數(shù)的周期。另外，雖然數(shù)字圖像是以矩陣形式存儲的，我們可以將其表示為列向量形式，即從而（10）式可以改寫為其中 為MN*NM階模糊矩陣，由 個N*N子矩陣 組成：T為一個分塊循環(huán)矩陣，在計算機中是利用T的對角化形式以及傅里葉變換處理的。這些處

14、理過程利用Matlab程序可以輕松實現(xiàn)。我們運用了Laplace濾波器改善圖像質(zhì)量。該濾波器之所以對圖像具有改善作用，是由于Laplace算子為導(dǎo)數(shù)算子。拉普拉斯算子是n維歐幾里德空間中的一個二階微分算子，定義為梯度（）的散度（）。因此如果f是二階可微的實函數(shù)，則f的拉普拉斯算子定義為： （11）f的拉普拉斯算子也是笛卡兒坐標(biāo)系 中的所有非混合二階偏導(dǎo)數(shù)： （12）作為一個二階微分算子，拉普拉斯算子把C函數(shù)映射到C函數(shù)，對于k 2。表達(dá)式(11)（或(12)）定義了一個算子 :C(R) C(R)，或更一般地，定義了一個算子 :C() C()，對于任何開集。Laplace它能增強圖像的對比效果，

15、而對于灰度值為常數(shù)的區(qū)域則保持不變。而Laplace濾波器的工作原理基于如下方程： （13）其中為退化圖像，為增強圖像，c=-1（近似中心元素為負(fù)時c=-1，反之c=1），表示Laplace算子，即 對于離散的數(shù)字圖像，二階導(dǎo)數(shù)用如下的近似： 因此 （14）從（14）式易見，Laplace算子對圖像的作用就相當(dāng)于如下矩陣T與相乘：該矩陣比較逼近二階導(dǎo)數(shù)，因此對圖像具有較好的改善作用。5.3問題三：通過第二問所建立的數(shù)學(xué)模型，我們利用Matlab軟件對圖片2進(jìn)行了處理，得到如下圖的效果：六、 模型優(yōu)缺點分析及推廣6.1 模型優(yōu)點（1） 本文建立的數(shù)學(xué)模型都有相應(yīng)的專用軟件支持，易于推廣；（2）

16、以上模型充分表現(xiàn)出了霧霾天氣對生物鏈的危害性影響；（3） 以上模型可廣泛的應(yīng)用于社會，將減少霧霾天氣對機器攝取圖像的影響。6.2 模型不足（1） 本題需要考慮的實際問題較為復(fù)雜，比如本文忽略了霧霾天氣對食草、食肉動物及人都有直接影響，還有忽略了天氣變化對植物光合作用的影響等因素，因此不能全面的考慮，造成與實際有一定的不相符之處；（2） 社會的隨機性因素較多，使得模型不能將其準(zhǔn)確的反映出來。（3） 本題在同一等級的種群中應(yīng)增加物種，因為物種間也存在相互競爭，不能直接只考慮其中的一種，忽略了物種間的相互競爭。6.3 模型推廣（1）生物鏈上的改進(jìn)本題在同一等級的種群中應(yīng)增加物種，因為物種間也存在相互

17、競爭，不能直接只考慮其中的一種，忽略物種間的相互競爭。許多生物學(xué)家不愿意把volterra的模型作為準(zhǔn)確的東西接受，他們指出，按volterra模型預(yù)言的擺動的情況，在大多數(shù)捕食者被捕食者系統(tǒng)中是觀察不到的。相反，大多數(shù)這樣的系統(tǒng)，當(dāng)時間延長下去，趨于平衡狀態(tài)。微分方程組（7）并不意味著捕食者被捕食者相互制約的一般模型。這是因為植物和食草動物并未為了有用的資源而在各自內(nèi)部進(jìn)行激烈的競爭。更一般的捕食者被捕食者相互制約的模型是微分方程： 其中，項反應(yīng)了被捕食者x由于有限的外部資源而進(jìn)行內(nèi)部競爭， 項反應(yīng)了捕食者之間由于有限的被捕食者而進(jìn)行的競爭。問題二中（3）的解一般來說不是周期的。實際上，當(dāng)e

18、和k均為正數(shù)時，可以證明（3）的所有解近似于平衡解。植物和食草動物存在于自然界中，但其群體量不可能用任何常微分方程組作模型來表征，當(dāng)植物具備食草動物無法進(jìn)去的藏身之處的時候，這種情況就出現(xiàn)了。在這種情況下，對于植物和食草動物未來的數(shù)目做出明確的敘述是不可能的。（2）實際因素上的改進(jìn)本題我們忽略的實際因素較多且復(fù)雜，因此可參考以往相關(guān)的數(shù)據(jù)完善模型。七、 參考文獻(xiàn)1姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社,2011年1月第四版2周明華，鄔學(xué)軍，周凱，李春燕，MATLAB實用教程，浙江工業(yè)大學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)系,2013年3月3周凱，宋軍全，鄔學(xué)軍，數(shù)學(xué)建模競賽入門與提高，浙江杭州：浙江大學(xué)

19、出版社，2012年1月第一版4姜啟源，謝金星，數(shù)學(xué)建模案例選集，北京：高等教育出版社，2006年7月第一版5吳文婷，廖科明，周榮芳，霧、霾的觀測及分析，學(xué)術(shù)研討：62頁，2012年6王潤清，霧霾天氣氣象學(xué)定義及預(yù)防措施，農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)科學(xué)：44頁，2012年8陳龍，郭寶龍，畢娟，朱娟娟，基于聯(lián)合雙邊濾波的單幅圖像去霧算法，北京郵電大學(xué)學(xué)報，第35卷：19-23頁，2012年910附錄一問題一：微分方程的數(shù)值解的源程序：function xdot=shier(t,x) r=1;g=0.5;a=0.1;d=0.02;  xdot=(r-a*x(2).*x(1);(

20、-g+d*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45('shier2',ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid,ans = 0 25.0000 2.0000 0.1000 27.0818 2.0041 0.2000 29.3344 2.0170 0.3000 31.7689 2.0394 0.4000 34.3961 2.0726 0.5000 37.2258 2.1178 0.6000 40.2673 2.1767 0.7000 43.5012 2.2534 0.80

21、00 46.9360 2.3503 0.9000 50.6072 2.4683 1.0000 54.5301 2.6106 1.1000 58.6999 2.7819 1.2000 63.0917 2.9891 1.3000 67.6604 3.2411 1.4000 72.3409 3.5484 1.5000 77.0479 3.9238 1.6000 81.6759 4.3819 1.7000 86.0996 4.9391 1.8000 90.1732 5.6140 1.9000 93.7311 6.4268 2.0000 96.5873 7.4000 2.1000 98.5360 8.5

22、577 2.2000 99.3055 9.9234 2.3000 98.6143 11.5085 2.4000 96.2851 13.3067 2.5000 92.2472 15.2882 2.6000 86.5853 17.3947 2.7000 79.5349 19.5427 2.8000 71.5364 21.6225 2.9000 63.0848 23.5300 3.0000 54.6236 25.1819 3.1000 46.5441 26.5163 3.2000 39.1860 27.4921 3.3000 32.7932 28.0978 3.4000 27.3368 28.376

23、6 3.5000 22.7375 28.3764 3.6000 18.9134 28.1426 3.7000 15.7771 27.7178 3.8000 13.2354 27.1426 3.9000 11.1873 26.4556 4.0000 9.5278 25.6911 4.1000 8.1758 24.8740 4.2000 7.0684 24.0245 4.3000 6.1592 23.1580 4.4000 5.4185 22.2853 4.5000 4.8129 21.4162 4.6000 4.3124 20.5582 4.7000 3.8967 19.7164 4.8000

24、3.5500 18.8948 4.9000 3.2601 18.0961 5.0000 3.0181 17.3219 5.1000 2.8154 16.5735 5.2000 2.6460 15.8515 5.3000 2.5047 15.1562 5.4000 2.3872 14.4875 5.5000 2.2898 13.8454 5.6000 2.2099 13.2295 5.7000 2.1455 12.6393 5.8000 2.0953 12.0740 5.9000 2.0578 11.5330 6.0000 2.0317 11.0154 6.1000 2.0162 10.5207

25、 6.2000 2.0106 10.0479 6.3000 2.0143 9.5964 6.4000 2.0270 9.1653 6.5000 2.0483 8.7539 6.6000 2.0781 8.3614 6.7000 2.1164 7.9870 6.8000 2.1632 7.6300 6.9000 2.2188 7.2897 7.0000 2.2833 6.9654 7.1000 2.3573 6.6565 7.2000 2.4410 6.3622 7.3000 2.5351 6.0821 7.4000 2.6401 5.8155 7.5000 2.7566 5.5618 7.60

26、00 2.8855 5.3204 7.7000 3.0276 5.0910 7.8000 3.1837 4.8729 7.9000 3.3549 4.6656 8.0000 3.5424 4.4688 8.1000 3.7478 4.2819 8.2000 3.9723 4.1046 8.3000 4.2174 3.9365 8.4000 4.4847 3.7773 8.5000 4.7761 3.6265 8.6000 5.0937 3.4838 8.7000 5.4398 3.3490 8.8000 5.8171 3.2217 8.9000 6.2283 3.1017 9.0000 6.6

27、766 2.9888 9.1000 7.1653 2.8826 9.2000 7.6978 2.7831 9.3000 8.2781 2.6900 9.4000 8.9100 2.6032 9.5000 9.5980 2.5225 9.6000 10.3468 2.4479 9.7000 11.1620 2.3794 9.8000 12.0494 2.3166 9.9000 13.0153 2.2596 10.0000 14.0665 2.2084 10.1000 15.2102 2.1629 10.2000 16.4541 2.1233 10.3000 17.8063 2.0898 10.4

28、000 19.2755 2.0627 10.5000 20.8708 2.0422 10.6000 22.6016 2.0287 10.7000 24.4779 2.0228 10.8000 26.5102 2.0249 10.9000 28.7093 2.0355 11.0000 31.0844 2.0558 11.1000 33.6416 2.0875 11.2000 36.3982 2.1308 11.3000 39.3680 2.1869 11.4000 42.5598 2.2573 11.5000 45.9776 2.3447 11.6000 49.6205 2.4525 11.70

29、00 53.4829 2.5849 11.8000 57.5539 2.7468 11.9000 61.8180 2.9441 12.0000 66.2549 3.1834 12.1000 70.8428 3.4692 12.2000 75.5222 3.8129 12.3000 80.1900 4.2348 12.4000 84.7213 4.7545 12.5000 88.9686 5.3918 12.6000 92.7622 6.1658 12.7000 95.9102 7.0955 12.8000 98.1986 8.1995 12.9000 99.3910 9.4962 13.000

30、0 99.2287 11.0036 13.1000 97.4360 12.7384 13.2000 93.8972 14.6791 13.3000 88.6885 16.7638 13.4000 82.0129 18.9151 13.5000 74.2204 21.0377 13.6000 65.7971 23.0201 13.7000 57.2540 24.7617 13.8000 49.0238 26.1948 13.9000 41.4342 27.2791 14.0000 34.7062 28.0016 14.1000 28.9351 28.3802 14.2000 24.0660 28

31、.4610 14.3000 20.0105 28.2919 14.4000 16.6759 27.9181 14.5000 13.9650 27.3821 14.6000 11.7742 26.7239 14.7000 9.9982 25.9788 14.8000 8.5540 25.1736 14.9000 7.3762 24.3300 15.0000 6.4158 23.4645問題二：用Laplace濾波器修復(fù)圖像的程序：f=imread('霧霾.jpg');H=fspecial('disk',0.0001);diskblur=imfilter(f,H);

32、L4=fspecial('laplacian',0.6);L8=2 1 1;0 -8 1;1 1 1;diskblur=im2double(diskblur);g4=diskblur-imfilter(diskblur,L4,'replicate');g8=diskblur-imfilter(diskblur,L8,'replicate');figure,imshow(diskblur)figure,imshow(g4)figure,imshow(g8)i=imread('霧霾.jpg');>> m,n=size(i); >> J=imresize(i,0.5); >> figure(1),imshow(i)Warning: Image is too big to fit on screen; displaying at 56% scale.> In truesize>Resize1 at 308 In truesize at 44 In imshow at 161&