二次方程根分布情況歸納2021年9月

1、二次方程根分布情況歸納2021年9月 二次方程根的分布 一元二次方程 02= + + c bx ax 根的分布情況 設(shè)方程 ( )20 0 ax bx c a + + = ¹ 的不等兩根為1 2, x x 且1 2x x < ，相應(yīng)的二次函數(shù)為 ( )20 f x ax bx c = + + = ，方程的根即為二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下面各表（每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件） 表一：（兩根與 0 的大小比較即根的正負(fù)情況） 分布情況 兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于 0 ( )1 20, 0 x x < < 兩個(gè)正根即兩根都大于 0 ( )1 20, 0 x

2、x > > 一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于 0，一個(gè)大于 0 ( )1 20 x x < < 大致圖象（0 > a） 得出的結(jié)論 ( )0020 0bafd > ìïï- <íï> ïî ( )0020 0bafd > ìïï ->íï> ïî ( ) 0 0 < f 大致圖象（0 < a） 得出的結(jié)論 ( )0020 0bafd > ìïï -&l

3、t;íï< ïî ( )0020 0bafd > ìïï ->íï< ïî ( ) 0 0 > f 綜合結(jié)論（不討論a） ( )0020 0baa fd > ìïï- <íï× > ïî ( )0020 0baa fd > ìïï- >íï× > ïî ( ) 0

4、 0 < × f a 表二：（兩根與 k 的大小比較） 分布情況 兩根都小于 k 即 k x k x < <2 1, 兩根都大于 k 即 k x k x > >2 1, 一個(gè)根小于 k ，一個(gè)大于 k 即 2 1x k x < < 大致圖象（0 > a） 得出的結(jié)論 ( )020bkaf kd > ìïï- <íï> ïî ( )020bkaf kd > ìïï ->íï> 

5、9;î ( ) 0 < k f 大致圖象（0 < a） 得出的結(jié)論 ( )020bkaf kd > ìïï -<íï< ïî ( )020bkaf kd > ìïï ->íï< ïî ( ) 0 > k f 綜合結(jié)論（不討論a） ( )020bkaa f kd > ìïï- <íï× > ïî (

6、 )020bkaa f kd > ìïï- >íï× > ïî ( ) 0 < × k f a kkk 表三：（根在區(qū)間上的分布） 分布情況 兩根都在 ( ) n m, 內(nèi) 兩根有且僅有一根在 ( ) n m, 內(nèi) （圖象有兩種情況，只畫了一種） 一根在 ( ) n m, 內(nèi)，另一根在 ( ) q p,內(nèi)， q p n m < < < 大致圖象（0 > a） 得出的結(jié)論 ( )( )0002f mf nbm nad > ìï>

7、ïï>íïï < - <ïî ( ) ( ) 0 < × n f m f ( )( )( )( )0000f mf nf pf qì >ï<ïí<ïï>î或( ) ( )( ) ( )00f m f nf p f q< ìïí<ï î 大致圖象（0 < a） 得出的結(jié)論 ( )( )0002f mf nbm nad > 

8、36;ï<ïï<íïï < - <ïî ( ) ( ) 0 < × n f m f ( )( )( )( )0000f mf nf pf qì <ï>ïí>ïï<î或( ) ( )( ) ( )00f m f nf p f q< ìïí<ï î 綜合結(jié)論（不討論a） ( ) ( ) 0 < × n f m

9、f ( ) ( )( ) ( )ïîïíì<<00q f p fn f m f 根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間 ( ) n m, 外，即在區(qū)間兩側(cè)1 2, x m x n < > ，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1） 0 a > 時(shí)，( )( )00f mf n< ìïí<ï î； （2） 0 a < 時(shí)，( )( )00f mf n> ìïí>ï î 根的分布題型 型

10、 例 1、已知二次方程 ( ) ( )22 1 2 1 0 m x mx m + - + - = 有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。 例 2、已知方程 ( )22 1 0 x m x m - + + = 有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。 例 3、已知二次函數(shù) ( ) ( ) ( )22 2 4 3 3 y m x m x m = + - + + + 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于 1，一個(gè)小于 1，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。 練習(xí)： 1、已知二次方程 ( )22 3 4 0 mx m x + - + = 只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于 1，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍 。 2、方程 ( )22 2 0 mx m x - + + = 在區(qū)間 ( ) 1,3 上有一根，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍