函數(shù)的極值123實(shí)用教案

1、 上節(jié)上節(jié),我們講了利用函數(shù)我們講了利用函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)來研究函的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)數(shù)(hnsh)的單調(diào)性這個(gè)問題的單調(diào)性這個(gè)問題.其基本的步驟為其基本的步驟為:求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域;求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ;)(xf 解不等式解不等式 0得得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間; 解不等式解不等式 0得得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的單調(diào)遞減區(qū)間.)()(xfxf 0 0 x x2 2y y 右下圖為函數(shù)右下圖為函數(shù)y=2x3-6x2+7的圖象的圖象(t xin),從圖從圖象象(t xin)我們可以我們可以看出下面的結(jié)論看出下面的結(jié)論:函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有(suyu)各點(diǎn)的

2、函數(shù)值都大，我們說f(0)是函數(shù)的一個(gè)極大值；函數(shù)在X=2的函數(shù)值比它附近所有(suyu)各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說f(2)是函數(shù)的一個(gè)極小值。第1頁/共14頁第一頁，共15頁。 一般一般(ybn)地地,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（a,b）內(nèi)有定義，）內(nèi)有定義， x0是（是（a,b）內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)）內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)去心領(lǐng)域，的一個(gè)去心領(lǐng)域，對于這去心領(lǐng)域的任何點(diǎn)，對于這去心領(lǐng)域的任何點(diǎn)， f(x) f(x0)均成立均成立,則稱則稱f(x0)是是函數(shù)函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。的一個(gè)極小值。 在定義(dngy)中,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的值,極

3、值指的是對應(yīng)的函數(shù)值.注意(zh y)以下幾點(diǎn): (1)極值是一個(gè)局部概念.由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小.也就是說極值與最值是兩個(gè)不同的概念.第2頁/共14頁第二頁，共15頁。 (2)函數(shù)的極值不是唯一的函數(shù)的極值不是唯一的.即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間(q jin)上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè). (3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.即一個(gè)函數(shù)的即一個(gè)函數(shù)的極大值未必極大值未必(wib)大于極小值大于極小值,如下圖所示

4、如下圖所示,x1是極大值是極大值點(diǎn)點(diǎn),x4是極小值點(diǎn)是極小值點(diǎn),而而f(x4)f(x1).ay yo oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bx x)(4xf)(1xf第3頁/共14頁第三頁，共15頁。 (4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)(chxin)在區(qū)間的內(nèi)部在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).而使函數(shù)取得最大值、最而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點(diǎn)也可能在區(qū)間的端點(diǎn). 定理定理1 點(diǎn)點(diǎn)x0是是f(x)的極值點(diǎn)的必要條件是的極值點(diǎn)的必要條件是 或或 不存在。不存在。我們稱滿

5、足我們稱滿足 的點(diǎn)為函數(shù)的點(diǎn)為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。的駐點(diǎn)。由圖可以看出由圖可以看出,在函數(shù)取得極值處在函數(shù)取得極值處,如果曲線有切線的如果曲線有切線的話話,則切線是水平的則切線是水平的,從而有從而有 .但反過來不一定但反過來不一定.如如函數(shù)函數(shù)y=x3,在在x=0處處,曲線的切線是水平的曲線的切線是水平的,但這點(diǎn)的函但這點(diǎn)的函數(shù)值既不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值大數(shù)值既不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值大,也不比它附近的點(diǎn)也不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值小的函數(shù)值小.假設(shè)假設(shè)x0使使 .那么在什么情況下那么在什么情況下x0是是f(x)的極值點(diǎn)呢？的極值點(diǎn)呢？0)(0 xf0)(0 xf第4頁/共14頁第四頁，共15頁。o

6、 oa aX X0 00b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xfo oa aX X0 0b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xf 如上左圖所示如上左圖所示,若若x0是是f(x)的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn),則則x0兩側(cè)附近兩側(cè)附近點(diǎn)的函數(shù)值必須小于點(diǎn)的函數(shù)值必須小于f(x0) .因此因此, x0的左側(cè)附近的左側(cè)附近f(x)只能只能是增函數(shù)是增函數(shù),即即 ; x0的右側(cè)附近的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù)只能是減函數(shù),即即 . 0)( xf 同理同理,如上右圖所示如上右圖所示,若若x0是是f(x)極小值點(diǎn)極小值點(diǎn),則在則在x0的的左側(cè)附近左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù)只能是減

7、函數(shù),即即 ;在在x0的右側(cè)附近的右側(cè)附近只能是增函數(shù)只能是增函數(shù),即即 . 0)( xf第5頁/共14頁第五頁，共15頁。 從而我們得出結(jié)論從而我們得出結(jié)論:若若x0滿足滿足 ,且在且在x0的兩側(cè)的兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性相反的函數(shù)單調(diào)性相反,則則x0是是f(x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn),f(x0)是極值是極值, 一般地一般地,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在在x0處連續(xù)處連續(xù)(linx)時(shí)時(shí),判別判別f(x0)是是極大極大(小小)值的方法是值的方法是: (1):如果如果(rgu)在在x0的左鄰域內(nèi)有的左鄰域內(nèi)有 右右鄰域內(nèi)有，鄰域內(nèi)有， ，則，則f(x0)是極大值是極大值; (2):如果如果(rgu)在在x0 的左

8、鄰域內(nèi)有的左鄰域內(nèi)有 右右鄰域內(nèi)有鄰域內(nèi)有 ，則，則f(x0)是極小值是極小值. (3):如果如果(rgu)在點(diǎn)在點(diǎn)X0的去心鄰域內(nèi)的去心鄰域內(nèi) 恒為恒為正或恒為負(fù)，則正或恒為負(fù)，則X0不是不是f(x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn). 第6頁/共14頁第六頁，共15頁。注意注意(zh y): 可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)(hnsh)的極值點(diǎn)一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的極值點(diǎn)一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),反之函反之函數(shù)數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),不一定是該函數(shù)不一定是該函數(shù)(hnsh)的極的極值點(diǎn)值點(diǎn).第7頁/共14頁第七頁，共15頁。例例:求求y=x3/3-4x+4的極值的極值(j zh).解解:).2)(2(42

9、xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 極大值極大值28/3 極小值極小值-4/3 因此因此(ync),當(dāng)當(dāng)x=-2時(shí)有極大值時(shí)有極大值,并且并且,y極大值極大值=28/3;而而,當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)有極小值時(shí)有極小值,并且并且,y極小值極小值=- 4/3.第8頁/共14頁第八頁，共15頁?？偨Y(jié)總結(jié):求可導(dǎo)函數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟的極值的步驟(bzhu)如下如下:(1).求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)).(xf (2).求方程求方程 的根的根.0)( xf(

10、3)檢查檢查 在方程根左右的值的符號在方程根左右的值的符號,如果左正右負(fù)如果左正右負(fù), 那么那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值在這個(gè)根處取得極大值;如果左正右負(fù)如果左正右負(fù),那那 么么f(x)在這個(gè)根處取得極大值在這個(gè)根處取得極大值.)(xf 第9頁/共14頁第九頁，共15頁。說明說明:本題中的極大值是小于極小值的本題中的極大值是小于極小值的,這充分表明極值這充分表明極值 與最值是完全與最值是完全(wnqun)不同的兩個(gè)概念不同的兩個(gè)概念.例例:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值(j zh).第10頁/共14頁第十頁，共15頁。 定理(dngl)3 設(shè)X0是函數(shù)f(X)的駐點(diǎn)(即 ），且 f (x) 0

11、 ，則 (1)當(dāng)f (x) 0時(shí)，X0是f(X)的極小值點(diǎn); (2)當(dāng)f (x) 0,列表列表(li bio)如下如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 0 + f(x) 極大值極大值 極小值極小值 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1 (0) 1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.第12頁/共14頁第十二頁，共15頁。(2)設(shè)設(shè)a0,列表列表(li bio)如下如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值極小值 極大值極大值 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1(0) 1 (4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.第13頁/共14頁第十三頁，共15頁。感謝您的觀看(gunkn)！第14頁/共14頁第十四頁，共15頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)上節(jié),我們講了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性這個(gè)問題.其基本的步驟