混沌、機遇與金錢

1、混沌、機遇與金錢Colva Roney-Dougal關鍵詞： 混沌最近，信貸緊縮的消息占據(jù)了主導地位。專欄作家大叫“混沌的市場”，而股票價格看起來可能會維持一段時間的“動蕩”。人們正在緊張地等著看政府對銀行的部分收購是否能將給我們帶來穩(wěn)定，同時指責銀行家不正確定價的風險。我一直對所聽到的新聞中的數(shù)學術語感到好玩，特別是當信貸緊縮的原因之一是借款人不理解他們抵押貸款交易的數(shù)學意義。股票市場：確定的還是隨機的？那么，是什么帶動了市場？它們是確定性的嗎？是有規(guī)律可循，還是有機會的因素在起作用，使得政府不太可能改變它們的行為嗎？從有序到混沌讓我們開始考慮一個完全確定的系統(tǒng)，它沒有隨機的余地：

2、完全按照艾薩克·牛頓爵士設計的世界。牛頓的運動定律描述像地心引力這樣的力作用下物體的行為。它們由描述變化率的微分方程語言來刻畫。他的定律的精密性、準確性，以及看似普遍的適用性，使人們?nèi)菀装延钪嫦胂蟪梢粋€具有巨大發(fā)條的機器。如果有足夠的數(shù)據(jù)描述目前的世界，應該可以預測未來究竟會發(fā)生什么，直到永遠為止。這就為自由的意志提出了一個嚴肅的哲學問題，但是這種精確知識的想法對科學家們是誘人的，以至于這個帶發(fā)條的宇宙支配了我們的世界觀超過200年。然而，我們最近都看到股市的瘋狂運動，數(shù)十億英鎊在區(qū)區(qū)幾個小時內(nèi)化為烏有。如果市場和發(fā)條一樣的話，它不是一個你能依靠的時鐘！在過去的40年中，數(shù)學家們越來

3、越多地認識到，確定性的行為可以有如此不可預測的波動，以至于它看起來像隨機的運動：這類研究被稱為混沌理論?；煦绲牡谝粋€例子就是來自牛頓的那個定律。當兩顆恒星彼此運動時，我們可以預測它們幾千年間的位置，但當引入第三個星球后，它們開始像股票市場指數(shù)那樣搖擺不穩(wěn)：這就是三體問題，并會產(chǎn)生混沌。深遠的影響但究竟什么是混沌？它的特點之一是初始條件的微小變化可以導致完全不同的行為。在20世紀60年代，氣象學家愛德華·洛倫茨研究了大氣的計算機模型。為了檢查計算機的運行情況，他在每個計算的中途記錄數(shù)據(jù)，然后再從那里重新啟動計算機模型。有一次重新啟動后，他驚奇地發(fā)現(xiàn)顯著不同的結果。起初，他以為這是一個錯

4、誤，但他最終摸索出了是什么原因：他輸入了0.506，這是在計算機上敲入的數(shù)，而不是0.506127，這是計算機內(nèi)存中的數(shù)。這些數(shù)只有千分之一左右的誤差，但由于通過計算機的大量運算，這微小的差別放大成一個巨大的差異。洛倫茨把這命名為蝴蝶效應，因為這種敏感性的微小天氣變化意味著，在中國的一只蝴蝶扇動它的翅膀，理論上可以在美國造成一場颶風。這就是為什么天氣預報只對幾天有效：微小的錯誤迅速淹沒了正確的預測。順便說一句，混沌不總是壞消息。1990年，日本發(fā)射了一個小探測器到月球，而更大的航天器則繞地球旋轉。小探測器的無線電失敗，沒有任何方法來控制它。較大的航天器只剩下到達月球所需燃料的十分之一，情況似乎

5、無望。不過，日本團隊還記得，十年前一個名為Edward Belbruno的數(shù)學家曾經(jīng)證明，三體問題可以產(chǎn)生有用的路徑，幾乎不需要燃料。恒星和行星之間的復雜相互作用可能會導致引力結合并形成渠道，把它們中的任何東西推動到某個目的地。NASA曾經(jīng)對此沒有興趣，混沌的路徑速度太慢，因而這樣的想法被丟棄了。但日本人跟隨了Belbruno，他們發(fā)現(xiàn)了一條路徑，到月球只使用了一半的剩余燃料！得益于蝴蝶效應，航天器飛到了月亮并超越了它。確定性世界里的混沌混沌系統(tǒng)的另一個特點是，它們可能會突然翻轉，從一種行為到另一個大不相同的行為。想想某些種類的債務如何突然變成了風險，而不是銀行的資產(chǎn)。這種突然的變化被稱為相變

6、?？聪嘧冊鯓庸ぷ鞯姆椒ㄖ皇怯^察自來水。將自來水非常緩慢地打開，你聽到定期的滴、滴、滴聲音。水龍頭稍微打開大一點，水滴變得更加頻繁，并具有各不相同的大小。再打開一點，水滴成為完全不規(guī)則和不可預測的：混沌入場。繼續(xù)下去，水平息下來，成為平穩(wěn)水流。但是一旦你增加得太多，水開始扭曲，起泡并呈螺旋式：湍流開始。通過穩(wěn)步增加流量，我們看到規(guī)律性和混沌，而沒有離開確定性的世界。數(shù)字中的安全到目前為止，我們把股票市場看成是確定性的，并已經(jīng)看到，它的價格波動暗示著它可能是混沌的，并且它最近經(jīng)歷了一個相變。但最重要的原因是由于機遇嗎？或者真正的問題是我們沒有正確地確定我們的金融風險？而不是借款人獲得無法負擔得起

7、的抵押貸款以期房價上漲，也不是銀行購買了作為見效快賭博的重新包裝的債務。為了分析機遇，我們需要概率論，這是一個比較年輕的數(shù)學分支，只有400歲。它的年輕部分是由于這樣的事實，概率的概念對我們不很自然。作為概率如何反直覺的一個例子，想想著名的生日悖論：有多少人需要在一個房間里，使得他們中的兩個人至少有1/2的概率共享一個生日？想想所有的可能性，我們覺得這應該是一個相當大的數(shù)，可能有100。事實上，它是23。Marcus duSautoy告訴我這是一場足球比賽的參與人數(shù)：兩隊球員數(shù)各為11，另加一個裁判。如果你檢查本周末的英超所有球員和（關鍵之處）裁判的生日，你會發(fā)現(xiàn)大約一半的比賽配有共享生日的人

8、。令我們-即使是專業(yè)的數(shù)學家-關于23這個數(shù)目之小而感到驚訝的是，我們對于概率的理解如此地糟糕?！笆裁?，也是你的生日嗎？”富勒姆對陣博爾頓（圖片來源：D.Nutall.）讓我們再舉一個例子：養(yǎng)老金。年金是你在養(yǎng)老金中買的產(chǎn)品-為了生活保證的年度金額。養(yǎng)老金的歷史上充斥著破產(chǎn)-在17世紀，當威廉三世賣固定價格年金，付給30歲人或70歲人一樣多的錢時，即便30歲可能活得更久，他一定已經(jīng)失去了財富！在這段時間，保險詐騙變得如此受歡迎，使得人們可以買保險以防死于酗酒！保險公司很快就注意到了，它一次性保險許多人，這令它更安全：一小部分活得出乎意料的長從而把保險公司口袋里的錢掏走的人，和那些同等數(shù)量的早死

9、者相平衡。該做法的基礎是大數(shù)定律：你沒有辦法預測一個人能活多久，但一旦你看看一大群人，就可以相當有信心地知道，那些死在某些年齡的人的比例將遵循一些過去的分布。但是，大量債務捆綁在一起不是金融危機的原因之一嗎？是的，然而把具有相同風險的事情結合在一起，其中大數(shù)定律使得事情變得相當可預測的。這與混合一大堆不同的風險而其中很難知道最終結果是有本質差別的。從混沌到有序有時，甚至強于大數(shù)定律的東西在起作用，并且隨機的原因幾乎每次產(chǎn)生相同的事件。想象一組有彩虹7色的咖啡杯子和碟子，以彩虹順序紅、橙、黃等布置在一個圓圈上。在它們旁邊是一張紙和一個指令。它說：“順時針方向移動杯和兩個碟子”。反復運用這個指令后

10、，我們可以達到杯子和碟子什么樣的模式？橙色的杯子旁邊是紅色杯子，所以它們總是鄰居：如果我們移動紅色的杯子，我們也將移動橙色的杯子。因此，這兩個杯子保留它們在彩虹中的次序。當我們反復移動這兩個杯子，紅杯跳過黃色杯碟，到達橙色，然后跳過綠色，到達藍色，然后跳過靛藍，到達紫，跳過紅色，到達橙色，然后綠色，最后到達靛藍，然后返回到紅色杯碟。這訪問了每一個杯碟。事實上，指令是否說移動杯子兩個碟子或任何其他數(shù)目的碟子并不重要。在每一種情況下，紅色杯最終將達到每一個杯碟，所有其他杯也跟著這樣。因此，讓我們想象一下，不在桌子上放一個指令，而是放一個袋子，內(nèi)有七個指令：移動杯至固定數(shù)目的碟子處，或不動它們。我們

11、伸進袋中隨機選擇一張紙。只要我們摸不到“請勿觸摸杯具”的指令，如果我們照此行動多次，最終清盤以杯子和碟子同樣的安排收場：假如我們移動所有的杯子，紅色杯最后將訪問每一個杯碟。是什么使之工作呢？奧妙是7為一個素數(shù)這個事實。例如，如果指令“順時針移動杯子2個子碟”將紅杯移到所有的杯碟，則杯具的數(shù)量必為偶數(shù)。但對于素數(shù)個數(shù)的杯子，只要我們不挑“不碰杯”指令，紅色的杯子將到達所有的碟子。并且當杯的個數(shù)變大，我們挑選“不要碰杯”的機會就下降：997個杯子時機會是千分之一左右。為什么我選擇其貌不揚的數(shù)997？因為這是一個素數(shù)！機遇的對稱這給我們帶來了對稱的概念。由對稱組成的集合，若其任何成員與任何其他成員想

12、結合的結果還是這個集合的一成員，則此集合被稱為群。此任意兩條指令相結合已經(jīng)是當中一指令的這個屬性被稱為閉包。我們的咖啡杯指令就是一個例子：“移動2”，然后“移動3”與“移動5”一樣。群由不能被分解成更小部分的單群組成。我們七個杯例子中的對稱形成一個單群，因為七是素數(shù)。但于六個杯子情形，我可以有一個指令袋告訴我，移動兩個或四個杯碟或留在原地，而另一指令袋說移動三個或留在原地。兩個口袋里只有五個指令時，其中每個袋子都是一個封閉的指令集，我可以讓所有六個指令工作。6個對稱組成的群可以分解成兩個較小的集合，每一個本身就是一個群。富勒姆對陣博爾頓（圖片來源：D.Nutall.）群出現(xiàn)在許多不同的背景中，有無窮多個不同的群。事實上，他們稱為單群的基本構建塊也多得數(shù)不清。單群可以隨便想多大有多大。數(shù)學的一個結果是20世紀80年代的有限單群完全分類。這花了數(shù)千頁的數(shù)學，通過數(shù)百個數(shù)學家合作做成：我當時也曾想加入他們的行列！最近已被證明，如果我們在一個有限單群中選取兩個隨機對稱，并以所有可能的方式來組合它們，那么當我們所選擇的群變得越來越大時，我們以越來越接近于1的概率獲得一切可能的對稱。來自隨機機遇的完全可預測性。有一件我要做的事是設計群的計算機算法。事實證明，群的隨機化的算法通常遠遠快于確定性的算法，這是因為我們可以證明幾乎所有的對稱組成的隨機集會產(chǎn)生相同的行為。我希望我已經(jīng)成功地說服