浙江專版2018高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章三角函數(shù)解三角形第7節(jié)正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例

1、第七節(jié)正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例1仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角(如圖3­7­1)圖3­7­12方位角和方向角(1)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖3­7­1)(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°等1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角

2、，其范圍為.()(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系()(4)如圖3­7­2，為了測量隧道口AB的長度，可測量數(shù)據(jù)a，b，進(jìn)行計算()圖3­7­2答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)海面上有A，B，C三個燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC等于()A10 n mileB. n mileC5 n mileD5 n mileD如圖，在ABC中，AB10，A60°，B75°，C45°，BC5.3

3、若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且ACBC，則點A在點B的()A北偏東15°B北偏西15°C北偏東10°D北偏西10°B如圖所示，ACB90°，又ACBC，CBA45°，而30°，90°45°30°15°，點A在點B的北偏西15°.4如圖3­7­3，要測量底部不能到達(dá)的電視塔的高度，選擇甲、乙兩觀測點在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所

4、成的角為120°，甲、乙兩地相距500 m，則電視塔的高度是()A100 mB400 mC200 mD500 m圖3­7­3D設(shè)塔高為x m，則由已知可得BCx m，BDx m，由余弦定理可得BD2BC2CD22BC·CDcos BCD，即3x2x25002500x，解得x500(m)5如圖3­7­4，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，測得AC50 m，ACB45°，CAB105°，則A，B兩點的距離為()A50 mB25 mC25 mD50 m圖3­7­4D

5、因為ACB45°，CAB105°，所以B30°.由正弦定理可知，即，解得AB50 m測量距離問題如圖3­7­5，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin 67°0.92，cos 67°0.39，sin 37°0.60，cos 37°0.80，1.73)圖3­7­560如圖所示，過A作ADCB且交CB的延長線于D.在RtADC中，由AD46 m，A

6、CB30°得AC92 m.在ABC中，BAC67°30°37°，ABC180°67°113°，AC92 m，由正弦定理，得，即，解得BC60(m)規(guī)律方法應(yīng)用解三角形知識解決實際問題需要下列三步：(1)根據(jù)題意，畫出示意圖，并標(biāo)出條件；(2)將所求問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中(如本例借助方位角構(gòu)建三角形)，通過合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識正確求解；(3)檢驗解出的結(jié)果是否符合實際意義，得出正確答案變式訓(xùn)練1江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60&#

7、176;，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_m. 【導(dǎo)學(xué)號：51062125】10如圖，OMAOtan 45°30(m)，ONAOtan 30°×3010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)測量高度問題如圖3­7­6，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD_m.圖3­7­6100由題意，在ABC中，BAC30°

8、;，ABC180°75°105°，故ACB45°.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBC·tan 30°300×100(m)規(guī)律方法1.在測量高度時，要準(zhǔn)確理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角2分清已知條件與所求，畫出示意圖；明確在哪個三角形內(nèi)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，并注意綜合運(yùn)用方程、平面幾何、立體幾何等知識變式訓(xùn)練2如圖3­7­7，從某電視塔CO的正東方向的A處，測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在電視塔的南偏西

9、60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，AB間的距離為35米，則這個電視塔的高度為_米. 【導(dǎo)學(xué)號：51062126】圖3­7­75如圖，可知CAO60°，AOB150°，OBC45°，AB35米設(shè)OCx米，則OAx米，OBx米在ABO中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OA·OB·cos AOB，即352x2x2·cos 150°，整理得x5，所以此電視塔的高度是5米測量角度問題在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向、距離A處(1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75°

10、;方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船同時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多長時間？解設(shè)緝私船t小時后在D處追上走私船，則有CD10t，BD10t.在ABC中，AB1，AC2，BAC120°.4分根據(jù)余弦定理，可得BC，由正弦定理，得sinABCsinBAC×，ABC45°，因此BC與正北方向垂直.8分于是CBD120°.在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30°，又，即，得t.當(dāng)緝私船沿北偏東60°的方向能

11、最快追上走私船，最少要花小時.14分規(guī)律方法解決測量角度問題的注意事項(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用變式訓(xùn)練3如圖3­7­8，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值圖3­7­8解在ABC中，AB40，AC20，BAC1

12、20°，由余弦定理得，BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.4分由正弦定理，得sinACB·sinBAC.8分由BAC120°，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)sinACB sin 30°.14分思想與方法解三角形應(yīng)用題的兩種情形(1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量

13、，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解易錯與防范1“方位角”與“方向角”的區(qū)別：方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是.2在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯誤課時分層訓(xùn)練(二十一)正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1如圖3­7­9所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()圖3&

14、#173;7­9Aa km B.a kmC.a kmD2a kmB在ABC中，ACBCa，ACB120°，AB2a2a22a2cos 120°3a2，ABa.2如圖3­7­10，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的() 【導(dǎo)學(xué)號：51062127】圖3­7­10A北偏東10°B北偏西10°C南偏東80°D南偏西80°D由條件及題圖可知，AB40°，又BCD60°，所以C

15、BD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.3一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A10海里B10海里C20海里D20海里A如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)4如圖3­7­11，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船

16、從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6 min，則客船在靜水中的速度為 ()圖3­7­11A8 km/hB6 km/hC2 km/hD10 km/hB設(shè)AB與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin ，從而cos ，所以由余弦定理得22122××2×1×，解得v6.5如圖3­7­12，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為

17、()圖3­7­12A30° B45°C60°D75°B依題意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.二、填空題6在地上畫一個BDA60°，某人從角的頂點D出發(fā)，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一方向行走14米正好到達(dá)BDA的另一邊BD上的一點，我們將該點記為點B，則B與D之間的距離為_米. 【導(dǎo)學(xué)號：51062128】16如圖所示，

18、設(shè)BDx m，則142102x22×10×x×cos 60°，整理得x210x960，x6(舍去)，x16，x16(米)7如圖3­7­13，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測得BDC45°，則塔AB的高是_米. 【導(dǎo)學(xué)號：51062129】圖3­7­1310在BCD中，CD10，BDC45°，BCD15°90°105°，DBC30°

19、，BC10.在RtABC中，tan 60°，ABBCtan 60°10(米)8如圖3­7­14所示，一艘海輪從A處出發(fā)，測得燈塔在海輪的北偏東15°方向，與海輪相距20海里的B處，海輪按北偏西60°的方向航行了30分鐘后到達(dá)C處，又測得燈塔在海輪的北偏東75°的方向，則海輪的速度為_海里/分鐘圖3­7­14由已知得ACB45°，B60°，由正弦定理得，所以AC10，所以海輪航行的速度為(海里/分鐘)三、解答題9某航模興趣小組的同學(xué)，為了測定在湖面上航模航行的速度，采用如下辦法：在岸邊設(shè)

20、置兩個觀察點A，B，且AB長為80米，當(dāng)航模在C處時，測得ABC105°和BAC30°，經(jīng)過20秒后，航模直線航行到D處，測得BAD90°和ABD45°.請你根據(jù)以上條件求出航模的速度(答案可保留根號)圖3­7­15解在ABD中，BAD90°，ABD45°，ADB45°，ADAB80，BD80.4分在ABC中，BC40.8分在DBC中，DC2DB2BC22DB·BCcos 60°(80)2(40)22×80×40×9 600.DC40，航模的速度v2米/秒

21、. 14分10如圖3­7­16，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上圖3­7­16(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值. 【導(dǎo)學(xué)號：51062130】解(1)依題意知，BAC120°，AB12，AC10×220，BCA.4分在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×c

22、os 120°784，解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/小時.8分(2)在ABC中，因為AB12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理，得，10分即sin .14分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是 ()A50 mB100 mC120 mD150 mA設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022·h·100·