常微分方程差分解法、入門、多解法

1、畢業(yè)論文題 目 拋物型方程的差分解法 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí) 計(jì)算0802 學(xué) 生 王丹丹 學(xué) 號(hào) 20080901045 指導(dǎo)教師 王宣欣 二一二 年 五 月二十五日- 2 -濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文摘 要偏微分方程的數(shù)值解法在數(shù)值分析中占有重要的地位，很多科學(xué)技術(shù)問題的數(shù)值計(jì)算包括了偏微分方程的數(shù)值解問題【1】。近三十多年來，數(shù)值解法的理論和方法都有了很大的發(fā)展，而且在各個(gè)科學(xué)技術(shù)的領(lǐng)域中應(yīng)用也愈來愈廣泛。本文的研究主要集中在依賴于時(shí)間的問題，借助于簡(jiǎn)單的常系數(shù)擴(kuò)散方程，介紹拋物型方程的差分解法。本文以基本概念和基本方法為主，同時(shí)結(jié)合算例實(shí)現(xiàn)算法。第一部分介紹偏微分方

2、程及差分解法的基本概念，引入本文的研究對(duì)象常系數(shù)擴(kuò)散方程：第二部分介紹上述方程的幾種差分格式及每種格式的相容性、收斂性與穩(wěn)定性。第三部分通過算例檢驗(yàn)每種差分格式的可行性。關(guān)鍵詞：偏微分方程；拋物型；差分格式；收斂性；穩(wěn)定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include th

3、e numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I wi

4、ll use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite diff

5、erence method.I will introduce the object-constant diffusion equation for the first time. The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial di

6、fferential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目 錄摘要.IABSTRACT.II目錄.III1前言.12基本概念和定理.22.1拋物型方程的基本概念.22.1.1偏微分方程的定義.22.1.2拋物型方程的定義.22.1.3初邊值條件的定義.32.2 差分方法的基本思想.32.3網(wǎng)格剖分.42.4截?cái)嗾`差的基本概念.52.5相容性的基本概念.72.6收斂性的基本概念.72.7穩(wěn)定性的基本概念.82.7.1判斷穩(wěn)定性的直接法.82.7.2判斷穩(wěn)定性的Fourier方法.93常系數(shù)擴(kuò)

7、散方程的差分格式及其相容性、收斂性和穩(wěn)定性分析.12 3.1向前差分格式.12 3.2向后差分格式.133.3 Crank-Nicolson格式.143.4 Richardson格式.164差分解法的應(yīng)用.18結(jié)論.25參考文獻(xiàn). . .26致謝.27附錄.2829- -1前言微積分方程這門學(xué)科產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動(dòng)的二階方程，隨后不久，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作論動(dòng)力學(xué)中提出了特殊的偏微分方程2。偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì)，那時(shí)候，數(shù)學(xué)物理問題的研究繁榮起來了，許多數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問題的解決做出了貢獻(xiàn)。對(duì)于偏微分方程的求解，雖然具有明確表達(dá)式的解析解是

8、很好的結(jié)果，但是能求出解析解的情況卻十分有限，即使是最簡(jiǎn)單的雙變量二階線性常系數(shù)偏微分方程，也往往難以得到解析解。這是因?yàn)榉匠痰慕獬巳Q于方程本身的復(fù)雜度外，還要考慮到邊界條件的復(fù)雜性3。很復(fù)雜的二階偏微分方程，也許因?yàn)檫吔鐥l件的簡(jiǎn)單性存在很簡(jiǎn)單的解析解，但是如果邊界條件稍微復(fù)雜，就算是二階常微分方程也沒有解析解。從目前的研究現(xiàn)狀來看，偏微分方程數(shù)值解的理論和方法都日趨成熟，很多學(xué)術(shù)論文都在力求尋找更為精確且性質(zhì)良好的求解方法。而且在實(shí)際問題中常會(huì)遇到多個(gè)自變量，非線性的方程或方程組；它們還可能是混合型的偏微分方程（如機(jī)翼的跨聲速繞流），其解包含著各種間斷（如激波間斷、按觸間斷等）4。非線性

9、問題的差分法求解是十分困難的。拋物型方程的數(shù)值解法目前有傅里葉算法(SSPE)、有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)等，每種方法都有自己的適用范圍，雖然SSPE 的效率高，但本文將選擇使用更容易處理阻抗邊界條件的FDM。由于FDM對(duì)網(wǎng)格間距要求足夠小，計(jì)算效率很依賴計(jì)算機(jī)硬件速度，21 世紀(jì)前，大多是FDM的理論推導(dǎo)和誤差分析，直到2007 年國(guó)際上才出現(xiàn)公開發(fā)表的使用FDM求解拋物型方程的實(shí)驗(yàn)并得出簡(jiǎn)單模型的計(jì)算結(jié)果。隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，在解決各種非線性問題中，F(xiàn)DM法得到了很快的發(fā)展，并且出現(xiàn)了許多新的思想和方法，如守恒差分格式，時(shí)間相關(guān)法、分步法等。本文將從基本概念和基本方法入手，

10、通過簡(jiǎn)單的常系數(shù)擴(kuò)散方程，介紹拋物型方程的差分解法及其簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用，起到初步介紹偏微分方程數(shù)值解法的目的，希望有助于初學(xué)者了解相關(guān)基本知識(shí)，培養(yǎng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。2基本概念和定理2.1拋物型方程的基本概念2.1.1偏微分方程的定義偏微分方程在科學(xué)研究和工程技術(shù)中常常會(huì)出現(xiàn)，比如核反應(yīng)和核爆炸過程的數(shù)學(xué)模型、飛行器設(shè)計(jì)過程中的空氣動(dòng)力學(xué)問題等等。定義2.1 含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程稱為偏微分方程。如果方程中對(duì)于未知函數(shù)和它的所有偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，這樣的方程稱為線性偏微分方程，否則稱它為非線性偏微分方程。方程中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階是方程的階。下面舉出幾個(gè)典型的偏微分方程：（1）Laplace方

11、程5其中，該方程稱為調(diào)和方程。在力學(xué)、電學(xué)常常遇到的勢(shì)函數(shù)滿足這個(gè)方程。（2）對(duì)流擴(kuò)散方程其中表示流場(chǎng)中某種物質(zhì)的濃度，是流速。（3）波動(dòng)方程其中，而給定。在一些聲學(xué)、光學(xué)和力學(xué)的波動(dòng)問題中常常出現(xiàn)這類方程。2.1.2拋物型方程的定義定義2.2 設(shè)，其中可以是時(shí)間變量，二階擬線性方程指，其中，和可以與有關(guān)，也可以與和有關(guān)。定義2.3 對(duì)于二階擬線性方程，設(shè)矩陣是一個(gè)的矩陣，如果的特征值至少有一個(gè)為零，則該方程稱為拋物型方程?？紤]常系數(shù)擴(kuò)散方程 （2.1） 其中是擴(kuò)散過程中某種物質(zhì)的濃度，是擴(kuò)散系數(shù)。顯然它是二階線性方程，其中，它的矩陣為，的特征值為，所以方程（2.1）是一個(gè)拋物型方程。在下文中

12、我們將以該方程為基本模型討論適用于拋物型方程定解問題的幾種差分格式。2.1.3初邊值條件的定義定義2.4 對(duì)于偏微分方程我們都是在一些特定條件下求方程的解，這樣的條件稱為定解條件。如果在的某個(gè)區(qū)域內(nèi)求解方程，在的邊界上給出的條件稱為邊界條件。在超平面給出的條件稱為初始條件。給出了方程和定解條件，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題。按照定解條件的不同給法，可將方程（2.1）的定解問題分為兩類。第一類，初值問題：空間變量的變化范圍是。求具有所需次數(shù)偏微分的函數(shù)，滿足（2.1）和初始條件第二類，初邊值問題：空間變量的變化范圍是。求具有所需次數(shù)偏微分的函數(shù)，滿足（2.1）和初始條件及邊界條件2.2 差分方法的基本思

13、想差分方法又稱為有限差分方法或網(wǎng)格法，是求偏微分方程定解問題的數(shù)值解中應(yīng)用最廣泛的方法之一。它的基本思想是：先對(duì)求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，將自變量的連續(xù)變化區(qū)域用有限離散點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）集代替；將問題中出現(xiàn)的連續(xù)變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點(diǎn)上離散變量的函數(shù)代替；通過用網(wǎng)格點(diǎn)上函數(shù)的差商代替導(dǎo)數(shù)，將含連續(xù)變量的偏微分方程定解問題化成只含有限個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程組（稱為差分格式）。如果差分格式有解，且當(dāng)網(wǎng)格無(wú)限變小時(shí)其解收斂于原微分方程定解問題的解，則差分格式的解就作為原問題的近似解（數(shù)值解）。衡量一個(gè)差分格式是否經(jīng)濟(jì)實(shí)用，由多方面的因素決定，主要有：1、計(jì)算簡(jiǎn)單。顯格式無(wú)需解方程組，計(jì)算較隱格式簡(jiǎn)單。但有些隱格

14、式左端的系數(shù)矩陣式與無(wú)關(guān)的三對(duì)角矩陣，相當(dāng)于求解三對(duì)角矩陣系數(shù)的方程組，用消元法也是可取的。2、收斂性和收斂速度。當(dāng)網(wǎng)格比固定，步長(zhǎng)趨于零時(shí)，差分解應(yīng)收斂到真解，并希望有盡可能快的收斂速度。3、穩(wěn)定性。由于初始數(shù)據(jù)有誤差，并不可避免的有舍入誤差，因此必然要關(guān)心誤差傳遞時(shí)是無(wú)限增長(zhǎng)還是可以被控制。因此，用差分方法求偏微分方程定解問題一般需要解決以下問題：1、選取網(wǎng)格；2、對(duì)微分方程及定解條件選擇差分近似，列出差分格式；3、求解差分格式；4、討論差分格式解對(duì)于微分方程解的收斂性及誤差估計(jì)。下面我們就按照這樣的步驟來進(jìn)行討論。2.3網(wǎng)格剖分的概念用有限差分方法求解偏微分方程問題必須把連續(xù)問題進(jìn)行離散

15、化，因此首先要對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分6。在求解區(qū)域的平面畫出兩族平行于坐標(biāo)軸的直線，把平面分成矩形網(wǎng)格。這樣的直線稱為網(wǎng)格線，其交點(diǎn)稱為網(wǎng)格點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)7。平行于軸的直線可以是等距的，可設(shè)距離為，記為，稱為空間步長(zhǎng)。平行于軸的直線則大多是不等距的，設(shè)為，記為，稱為時(shí)間步長(zhǎng)。下面用例子來說明不同區(qū)域的剖分。例2.1 雙曲型方程和拋物型方程的初值問題，求解區(qū)域?yàn)椋簝勺寰W(wǎng)格線可以寫為：的網(wǎng)格剖分見圖2.1. 圖2.1例2.2雙曲型方程和拋物型方程的初邊值問題，設(shè)其求解區(qū)域是這個(gè)區(qū)域的網(wǎng)格由平行于軸的直線族與平行于軸的直線族所構(gòu)成，其中。的網(wǎng)格剖分見圖2.2 圖 2.22.4有限差分格式的截?cái)嗾`差為敘述方

16、便，先引入下面的差分記號(hào)：向前差分向后差分中心差分二階中心差分那么對(duì)于擴(kuò)散方程（2.1）的解，關(guān)于的向前差分的Taylor級(jí)數(shù)展開為 （2.2）對(duì)變量進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開為 （2.3）定義2.5 用微分方程的解來替代差分格式中的全部近似解，這樣得到的方程兩邊的差就是截?cái)嗾`差8。如果一個(gè)差分格式的截?cái)嗾`差，則稱差分格式對(duì)是階精度，對(duì)是階精度。例2.3 考慮下列差分格式的截?cái)嗾`差 ， （2.4）假定是充分光滑的，將帶入上式的左側(cè),利用（2.2）式，（2.3）式有 這樣就得到差分格式（2.4）的截?cái)嗾`差為。事實(shí)上，對(duì)于不在邊界上的任何一點(diǎn)，可以定義（2.4）式的截?cái)嗾`差為，由截?cái)嗾`差的定義及以上

17、例子可知，只要網(wǎng)格剖分得很細(xì)，即和很小，那么偏微分方程的解近似地滿足相應(yīng)的差分方程。其實(shí)，一個(gè)有限差分格式的截?cái)嗾`差表示了用（偏微分方程的解）代替（差分方程的解）的差分方程與偏微分方程在點(diǎn)上的差。2.5有限差分格式的相容性從偏微分方程建立差分方程時(shí)，總是要求當(dāng)時(shí)差分方程能與微分方程充分“接近”，這就導(dǎo)致了差分方程的一個(gè)基本特征，差分格式的相容性?？紤]一般性的問題，設(shè)為微分算子，初值問題可以敘述為 （2.5）其差分格式可以統(tǒng)一寫成 ， （2.6）其中是一個(gè)依賴于和的線性算子，稱為差分算子，它把定義在第層上的函數(shù)變換到定義在第層上的函數(shù)。設(shè)（2.6）式為（2.5）式的差分格式，則相應(yīng)的截?cái)嗾`差應(yīng)是

18、定義2.6 設(shè)是定解問題（2.5）的充分光滑解，（2.6）式為求解問題（2.5）所得的差分格式，如果，當(dāng)時(shí)有，則稱差分格式（2.6）與定解問題（2.5）是相容的。由此可知，相容性表達(dá)了微分方程與差分方程間的關(guān)系。2.6有限差分格式的收斂性構(gòu)造一個(gè)差分格式，它是否能在實(shí)際中應(yīng)用，應(yīng)該考慮當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)無(wú)限縮小時(shí)，差分格式的解能否逼近微分方程問題的解，這就是差分格式的收斂性問題。定義2.7 設(shè)是偏微分方程的解，是逼近這個(gè)微分方程的差分格式的“真解”，所謂真解是指在求解差分格式的過程中忽略了各種類型的誤差。如果當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)趨向于0時(shí)，我們稱差分格式是收斂的。應(yīng)該注意的是，收斂性和相容性

19、是兩個(gè)完全不同的概念。對(duì)于一個(gè)相容的差分格式，從定義判斷其是否收斂是不容易的，通常需要尋求一些判別差分格式的收斂準(zhǔn)則。不加證明地，我們給出如下定理。定理2.1（Lax等價(jià)定理） 給定一個(gè)適定的線性初值問題以及與其相容的差分格式，則差分格式的穩(wěn)定性是差分格式收斂性的充分必要條件在應(yīng)用中，差分格式的相容性是容易驗(yàn)證的，只要使截?cái)嗾`差趨于0就可以了。有了Lax等價(jià)定理，我們可以著重于差分格式的穩(wěn)定性的討論，一般不再討論收斂性問題。差分格式一旦具有穩(wěn)定性，就可以用差分格式計(jì)算出偏微分方程的近似解來。2.7有限差分格式的穩(wěn)定性2.7.1判斷穩(wěn)定性的直接法利用有限差分格式進(jìn)行計(jì)算時(shí)是按時(shí)間逐層推進(jìn)的，計(jì)算

20、第層上的值要用到第層上的計(jì)算結(jié)果，而前一步的舍入誤差必然會(huì)影響到的值。所以要分析這種誤差傳播的情況，我們希望誤差的影響不會(huì)越來越大以至于掩蓋差分格式的解的面貌，這就是所謂穩(wěn)定性問題。差分格式可以統(tǒng)一寫成（2.6）式，重復(fù)應(yīng)用該式，有 為了度量誤差及其他應(yīng)用，引入范數(shù) 現(xiàn)在給出差分格式（2.6）的穩(wěn)定性描述。定義2.8 設(shè) 有一個(gè)誤差，則就有一個(gè)誤差。如果存在一個(gè)正常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，一致地有 （2.7）則稱差分格式（2.6）是穩(wěn)定的。 2.7.2判斷穩(wěn)定性的Fourier方法按差分格式穩(wěn)定性的定義來直接驗(yàn)證其穩(wěn)定性往往比較復(fù)雜，對(duì)于現(xiàn)行常系數(shù)偏微分方程初值問題可以用Fourier變換來進(jìn)行求解和研

21、究。Fourier積分和Fourier變換是很多數(shù)學(xué)分支用到的有利工具，本文用于差分方法的分析。1、Fourier變換的定義：從Fourier級(jí)數(shù)出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)可以得到Fourier積分，所謂Fourier積分公式，是指定義在上的函數(shù)的一個(gè)關(guān)系式，設(shè)，有關(guān)系式。令，則稱為的Fourier變換9。2、線性常系數(shù)方程的Fourier方法由于解及初值只在網(wǎng)格點(diǎn)上有意義，為了應(yīng)用Fourier方法討論方程（2.1）的第一類初值問題，需要擴(kuò)充這些函數(shù)的定義域，使它們?cè)谡麄€(gè)實(shí)軸R上都有定義。令這樣，對(duì)任意都有定義。例2.4 以差分格式 （2.9）為例討論Fourier方法。（2.9）式可以寫為 （2.10）

22、對(duì)（2.10）式兩邊用Fourier積分，可以得到消去可得以上方法推廣到一般形式的差分格式可以得到式中為增長(zhǎng)因子，顯然差分格式（2.9）的增長(zhǎng)因子為。不加證明地，我們給出以下結(jié)論：差分格式穩(wěn)定的充分必要條件是存在常數(shù)使得當(dāng)時(shí)，有上式也稱為von Neumann條件10。3、線性常系數(shù)方程組的Fourier方法穩(wěn)定性的概念及相關(guān)Fourier方法的推導(dǎo)可以推廣到線性常系數(shù)方程組。這在下面我們討論Richardson差分格式時(shí)需要用到。一般的差分方程組可以寫為其中。由于，即和滿足一定關(guān)系，故在中僅標(biāo)出。令則有 （2.11）其中稱為差分算子，上式為一個(gè)差分格式。由（2.11）式可以得出如果不依賴于，

23、即為常系數(shù)差分方程組，則可利用Fourier積分得到，其中，稱為增長(zhǎng)矩陣。類似于差分方程的情況，我們有如下結(jié)論：差分格式（2.11）穩(wěn)定的充要條件是存在常數(shù)使得當(dāng)時(shí)，有定理2.2 差分格式（2.11）穩(wěn)定的必要條件是當(dāng)時(shí)，有，其中表示的特征值，為常數(shù)。定理2.311 當(dāng)只有一個(gè)元素時(shí)，von Neumann條件是差分格式穩(wěn)定的充要條件。對(duì)于Fourier方法，還有很多定理和推論可以幫助我們更加容易的判斷不同性質(zhì)的差分格式的穩(wěn)定性，本文僅給出了需要用到的基本定理。3常系數(shù)擴(kuò)散方程的差分格式及其相容性、收斂性和穩(wěn)定性分析用Taylor級(jí)數(shù)展開方法求解偏微分方程實(shí)際上等價(jià)于用差商來近似微商得到相應(yīng)的

24、差分格式，除此之外也可以用積分的方法。下面用Taylor級(jí)數(shù)展開的方法來討論擴(kuò)散方程初值問題 （3.1） （3.2）的差分格式。3.1向前差分格式假定偏微分方程初值問題的解是充分光滑的。由Taylor級(jí)數(shù)展開有 （3.3） 1、差分格式的推導(dǎo)過程利用（3.3）中第一式和第六式有：如果是（3.1）式的光滑解，即是滿足的光滑函數(shù)，那么，方程（3.1）可以用如下差分方程來近似： ， （3.4） 這就是微分方程（3.1）的向前差分格式。它所聯(lián)系的網(wǎng)點(diǎn)分布為：2、截?cái)嗾`差在前面的分析中，我們?cè)?jīng)利用這種差分格式來討論截?cái)嗾`差的概念，得知其截?cái)嗾`差為。3、穩(wěn)定性分析用Fourier方法來討論其穩(wěn)定性，容易

25、求出（3.1）式的增長(zhǎng)因子是，其中，如果，那么有，即滿足von Neumann條件，所以向前差分格式的穩(wěn)定性條件是。這種情況的差分格式是條件穩(wěn)定的。4、收斂性分析由Lax定理可知，當(dāng)差分格式穩(wěn)定時(shí)一定是收斂的，所以當(dāng)時(shí)，向前差分格式收斂。3.2向后差分格式1、差分格式的推導(dǎo)過程上面構(gòu)造的差分格式是顯式的，即在時(shí)間層上的每一個(gè)可以獨(dú)立地根據(jù)在時(shí)間層上的值得出。但是如果采用，和（3.3）中的六式，就可以得到擴(kuò)散方程（3.1）的另一個(gè)差分格式 （3.5）這是微分方程（3.1）的向后差分格式。它所聯(lián)系的網(wǎng)點(diǎn)分布為:向后差分格式與向前差分格式不同，在新時(shí)間層上包含了3個(gè)未知量，因此不能由直接計(jì)算出，這種

26、差分格式稱為隱式格式。2、截?cái)嗾`差考慮其截?cái)嗾`差，其中。因此其截?cái)嗾`差為。3、穩(wěn)定性分析先把差分格式變形為其中，令，并把它帶入上面方程并消去公因子，容易求出（3.5）式的增長(zhǎng)因子為由于，所以對(duì)任何網(wǎng)格比都有。由定理2.3知，差分格式（3.5）是穩(wěn)定的。4、收斂性分析由Lax定理可知，當(dāng)差分格式穩(wěn)定時(shí)一定是收斂的，所以差分格式（3.5）收斂。3.3 Crank-Nicloson格式1、差分格式的推導(dǎo)過程將向前差分格式與向后差分格式作算術(shù)平均，即得Crank-Nicolson格式： （3.6）Crank-Nicolson格式又叫六點(diǎn)對(duì)稱格式12，因?yàn)檫@種格式所聯(lián)系的網(wǎng)點(diǎn)分布為:Crank-Nico

27、lson格式也是隱式格式。2、截?cái)嗾`差令將截?cái)嗾`差在處展開，則得因此其截?cái)嗾`差為。3、穩(wěn)定性分析仍然用Fourier方法。先把差分格式變形為令，帶入上面方程并消去公因子，容易求出（3.6）式的增長(zhǎng)因子為由于，顯然對(duì)任何網(wǎng)格比都有，由定理2.3知，差分格式（3.6）是穩(wěn)定的。4、收斂性分析由Lax定理可知，當(dāng)差分格式穩(wěn)定時(shí)一定是收斂的，所以差分格式（3.6）收斂。3.4 Richardson格式1、差分格式的推導(dǎo)過程利用（3.3）式中的第二式和第六式可以得到Richardson格式： （3.7）從（3.7）式可以看出，這種格式聯(lián)系到三個(gè)時(shí)間層，稱為三層格式。一般地，一個(gè)多于二層的差分格式成為多層

28、差分格式。它所聯(lián)系的網(wǎng)點(diǎn)分布為：2、截?cái)嗾`差這個(gè)格式是為了提高差分方程的截?cái)嗾`差所設(shè)計(jì)的，利用上述方法我們可以很容易的求出其截?cái)嗾`差為。單從截?cái)嗾`差這一角度來考慮，這個(gè)格式是比較好的，但是以后的分析可以看到，它是沒有實(shí)用價(jià)值的。3、穩(wěn)定性分析首先將（3.7）式變形為討論多層差分格式，一般先化成與其等價(jià)的二層差分方程組。Richardson差分方程的等價(jià)二層差分方程組為如果令，則上面的方程組可以寫成設(shè)，將其帶入上式并消去公因子，可以得因此增長(zhǎng)矩陣為其特征值為取則有由定理2.2可知Richardson格式是不穩(wěn)定的。這種情況的差分格式稱為絕對(duì)不穩(wěn)定的。4、Richardson格式的改進(jìn)1953年D

29、u Fort和Frankle對(duì)Richardson格式進(jìn)行了修改，提出了如下的DuFort-Frankle格式13這是一個(gè)無(wú)條件穩(wěn)定的差分格式，但是其相容性是有條件的。在這里對(duì)DuFort-Frankle格式我們不做過多討論。事實(shí)證明，我們無(wú)法構(gòu)造出無(wú)條件相容和無(wú)條件穩(wěn)定的顯示格式。4差分解法的應(yīng)用下面我們用簡(jiǎn)單的例子來考察上述差分格式的數(shù)值結(jié)果。例4.1 考慮擴(kuò)散方程14 （4.1）已知其解析解為取，為時(shí)間步長(zhǎng)，為網(wǎng)格比。解：由于向前差分格式穩(wěn)定性的條件為，所以當(dāng)時(shí)，必須取，在計(jì)算時(shí)我們?nèi)　Ｏ旅嫖覀兎謩e采用向前差分格式、向后差分格式、Crank-Nicloson格式和Richardson格式

30、進(jìn)行求解，并將結(jié)果在與處與解析解進(jìn)行比較。（1）向前差分格式為寫成便于計(jì)算的格式為 （4.2）初邊值條件的格式為由于向前差分格式為顯格式，所以可以逐步求解取，利用初值和邊值可以算出第一層的值。取，利用和邊值，通過式（4.2）可以算出。如此下去，可以逐層計(jì)算出所有。計(jì)算結(jié)果如表4.1：=0.005=0.01=0.02=0.03=0.04=0.05=0.06=0.07=000000000=0.10.2938930.2795080.2528180.2286760.2068390.1870880.1692230.153063=0.20.5590170.5316570.4808880.4349670.3

31、934320.3558620.321880.291144=0.30.7694210.7317630.6618860.5986810.5415120.4898020.443030.400725=0.40.9045080.8602390.7780930.7037920.6365860.5757970.5208140.47108=0.50.9510560.9045080.8181360.7400110.6693460.6054290.5476160.495323=0.60.9045090.8602390.7780930.7037920.6365860.5757970.5208140.47108=0.

32、70.7694210.7317630.6618860.5986810.5415120.4898020.443030.400725=0.80.5590170.5316570.4808880.4349670.3934320.3558620.3218810.291144=0.90.2938930.2795090.2528180.2286760.2068390.1870880.1692230.153063 表4.1 當(dāng)時(shí)，數(shù)值解與解析解比較如表4.2：時(shí)刻數(shù)值解解析解誤差0.0050.5590170.559483-0.0004660.010.5316570.532544-0.0008870.020.4

33、808880.482495-0.0016070.030.4349670.437149-0.0021820.040.3934320.396065-0.0026330.050.3558620.358842-0.002980.060.321880.325117-0.0032370.070.2911440.294562-0.003418 表4.2當(dāng)時(shí)，數(shù)值解與解析解比較如圖4.1：圖4.1從結(jié)果來看，當(dāng)時(shí)，向前差分格式是穩(wěn)定的，而且誤差符號(hào)是相同的。由于求解是逐層進(jìn)行的，當(dāng)取不同的值時(shí)，誤差都是隨著時(shí)間層的增大而增大的，并且通過分析可知，每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)上的誤差對(duì)于以后各層網(wǎng)點(diǎn)上的影響都不差過其絕對(duì)值。所以取

34、進(jìn)行比較是比較有代表性的，這在以下各個(gè)方法的分析中也是適用的。這個(gè)格式的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、易算，但由于截?cái)嗾`差為，精度不算高，又它僅當(dāng)時(shí)才收斂和穩(wěn)定，收斂的階為的一階，所以想要算得略為精確些，就要縮小和。注意到最大為，于是縮小一半，得縮小成四分之一，這就大大增加了工作量。（2）向后差分格式為寫成便于計(jì)算的格式 （4.3）初邊值條件的格式為由于向后差分格式為隱格式，不能逐步求解。當(dāng)時(shí)，由式（4.3）可以得到若干個(gè)九元的線性方程組，該方程組的系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，方程可解，本文采用追趕法求解。所求結(jié)果如表4.3：=0.005=0.01=0.02=0.03=0.04=0.05=0.06=0.07=0000

35、00000=0.10.2896160.2692070.2332180.2184150.1938210.1737980.1567280.14176=0.20.5404280.4975950.4325950.4072250.3644780.3284680.2969910.269007=0.30.6965280.6403170.572880.5452940.4945210.4484520.406750.369057=0.40.627650.6706160.6524630.6281910.5750390.5234960.4758580.432366=0.50.8630160.7868470.69666

36、40.6625460.6021180.5478570.4983710.453203=0.60.8244160.7507410.6618920.6286630.5706890.5192420.4725210.42991=0.70.5325320.5672860.5493910.5283240.4833750.4404870.4010340.364982=0.80.4966960.4533390.4048870.3858490.3511470.3196570.2909690.264824=0.90.2786830.2526760.2176710.2052980.1851170.1680730.15

37、28830.139126 表4.3當(dāng)時(shí)，數(shù)值解與解析解比較如表4.4時(shí)刻數(shù)值解解析解誤差0.0050.5404280.559483-0.0190550.010.4975950.532544-0.0349490.020.4325950.482495-0.04990.030.4072250.437149-0.0299240.040.3644780.396065-0.0315870.050.3284680.358842-0.0303740.060.2969910.325117-0.0281260.070.2690070.294562-0.025555 表4.4當(dāng)時(shí)，數(shù)值解與解析解比較如圖4.2：圖4

38、.2從結(jié)果來看，向后差分格式是穩(wěn)定的，它的最大優(yōu)點(diǎn)在于穩(wěn)定性、收斂性對(duì)于一切網(wǎng)格比都成立，網(wǎng)格比增大意味著工作量減少，所以隱式格式當(dāng)時(shí)的工作量比顯示格式要少，然而從截?cái)嗾`差的角度來看，也不能太大，否則太大，誤差也就太大，所以更高精度的格式也是十分需要的。（3）Crank-Nicloson格式為 寫成便于計(jì)算的格式為 （4.4）初邊值條件的格式為從式（4.4）可以看出，Crank-Nicloson格式也是一個(gè)隱格式，不能逐步求解。與向后差分方法類似，由式（4.4）可以得到若干個(gè)九元的線性方程組，該方程組的系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，方程可解，同樣采用追趕法求解。所求結(jié)果如表4.5：=0.005=0.0

39、1=0.02=0.03=0.04=0.05=0.06=0.07=000000000=0.10.2942540.2801960.2540630.2303680.2088820.1894010.1717360.155719=0.20.5597040.5329650.4832570.4381860.3973180.3602610.3266610.296195=0.30.7703670.7335630.6651470.6031110.5468610.4958570.4496110.407677=0.40.905620.8623550.7819270.7090.6428740.5829150.52854

40、90.479253=0.50.9522260.9067340.8221660.7454860.6759580.6129130.5557490.503917=0.60.9056210.8623550.7819270.7090.6428740.5829150.5285490.479253=0.70.7703670.7335630.6651470.6031110.5468610.4958570.4496110.407677=0.80.5597040.5329650.4832570.4381860.3973180.3602610.3266610.296195=0.90.2942540.2801960.

41、2540630.2303680.2088820.1894010.1717360.155719 表4.5當(dāng)時(shí)，數(shù)值解與解析解比較如表4.6：時(shí)刻數(shù)值解解析解誤差0.0050.5597040.5594830.0002210.010.5329650.5325440.0004210.020.4832570.4824950.0007620.030.4381860.4371490.0010370.040.3973180.3960650.0012530.050.3602610.3588420.0014190.060.3266610.3251170.0015440.070.2961950.2945620.00

42、1633 表4.6當(dāng)時(shí)，數(shù)值解與解析解比較如圖4.3：圖4.3從結(jié)果來看，Crank-Nicloson格式是穩(wěn)定的，誤差也比較小，收斂階是的二階，且隨著時(shí)間層的增長(zhǎng)誤差逐漸增大，這是因?yàn)樵谇蠼夥匠探M的過程中，各方程之間的表達(dá)式是相互關(guān)聯(lián)的，前面方程的解對(duì)后面的解產(chǎn)生影響，而本身數(shù)值解法是存在誤差的，所以隨著求解過程的深入，誤差會(huì)越來越大。但是總體來看，絕對(duì)誤差逐漸增大，相對(duì)誤差的變化幅度還是比較小的。（4）Richardson格式為寫成便于計(jì)算的格式為 （4.5）初邊值條件的格式為分析（4.5）式可知，Richardson格式是一個(gè)三層顯示格式，能夠逐層進(jìn)行計(jì)算。令，我們可以看到的計(jì)算不僅需要

43、初值，還需要，在這里，我們引用向前差分格式中計(jì)算所得的。計(jì)算結(jié)果如表4.7：=0.005=0.01=0.02=0.03=0.04=0.05=0.06=0.07=000000000=0.10.2938930.2802480.2541590.2304330.2079480.174759-0.02023-2.27598=0.20.5590170.5330650.483460.4385880.3992320.3804670.5747993.317385=0.30.7694210.73370.6654080.6034280.5464840.4862750.339571-0.64845=0.40.9045080.8625170.7822410.7094320.6429270.5744310.376832-2.07622=0.50.9510560.9069050.8225090.7461150.6785190.6406880.9480076.360319=0.60.9045090.8625160.7822290.7092960.6412270.5516960.059067-6.64484=0.70.7694210.7337010.665420.6035920.5487830.