第七章第三節(jié)空間平面與直線及其方程

1、 7.3空間平面和空間直線空間平面和空間直線7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 7.3空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程 二、平面的方程二、平面的方程五五、平面、平面束方程束方程三、三、空間直線空間直線的的方程方程四四、空間上點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系空間上點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、曲曲面、曲線與方程面、曲線與方程一、曲面、曲線與方程曲面、曲線與方程在空間解析幾何中，在空間解析幾何中， 任何曲面或曲線都可看成任何曲面或曲線都可看成具有某種性質(zhì)具有某種性質(zhì)的的點(diǎn)的點(diǎn)的集合集合. .

2、在選定空間直角坐標(biāo)系后，在選定空間直角坐標(biāo)系后，某一曲面或曲線上的點(diǎn)某一曲面或曲線上的點(diǎn)的共同性質(zhì)可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)的共同性質(zhì)可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)),(zyx滿足的關(guān)系式來表達(dá)滿足的關(guān)系式來表達(dá). .如果曲面如果曲面 ( (或曲線或曲線 ) )與三元方程與三元方程( (或方程組或方程組) )( , , )0F x y z ( , , )0( , , )0 F x y zG x y z 或或有下述關(guān)系：有下述關(guān)系：（1 1） (1)(1)曲面曲面( (或曲線或曲線 ) )上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足(1)(1)中的方程中的方程( (2 2) )不在曲面不在曲面 ( (或曲線或曲線 ) )上

3、點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足上點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足(1)(1)中的方程中的方程( (或方程組或方程組) )；( (或方程組或方程組) ). .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何(1)(1)中的方程中的方程( (或方程組或方程組) )就稱為就稱為曲面曲面(或曲線或曲線 ) )的方程的方程，而曲面而曲面(或曲線或曲線 ) )則稱為則稱為(1)(1)中的方程中的方程( (或方程組或方程組) )的的圖形圖形. .2S 0),( zyxF0),( zyxG1S空間解析幾何主要有空間解析幾何主要有兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題: :(1)(

4、1)已知一曲面已知一曲面或曲線或曲線作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí), , 求求曲面或曲線的曲面或曲線的方程方程. .(2)(2)已知方程時(shí)已知方程時(shí), ,研究它所表示的幾何形狀研究它所表示的幾何形狀. .( ( 必要時(shí)需作圖必要時(shí)需作圖 ). ). 7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 zyxo0),( zyxF那么那么, ,xyzo二二、平面的方程、平面的方程（1 1）平面的法向量的定義平面的法向量的定義 凡是與平面垂直的凡是與平面垂直的非零向量非零向量稱為該平面的稱為該平面的法向量法向量. .n（2

5、 2）平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，它們都垂直于平面內(nèi)的任一向量它們都垂直于平面內(nèi)的任一向量. .1、平面的點(diǎn)法式方程、平面的點(diǎn)法式方程7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何xyzozyxo0Mn),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點(diǎn)設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向且垂直于非零向量量000()()()0A xxB yyC zz M稱稱式式為平面為平面 的的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程. .求該平面求該平面 的的方程方程. .),(000zzyyxx , ),(CBA

6、n MM0,0nMM 則有則有 .00 nMM故故,),( zyxM任取點(diǎn)任取點(diǎn) ,),( zyxM若若nMM0則則與與不垂直，不垂直， 此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)M 的坐標(biāo)的坐標(biāo)不滿足方程不滿足方程. .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.17.3.1110011 kji)1,1,1( .0)1()2()1( zyx于是可取平面于是可取平面 的法向量為的法向量為：利用點(diǎn)法式得平面利用點(diǎn)法式得平面 的方程的方程為：為：nn3121MMMM 解解: : 平面平面 的法向量垂直于該平面內(nèi)任一向量，的法向量垂直于該平

7、面內(nèi)任一向量，的平面的平面 的方程的方程. . )2 ,1,1(),1 ,3,2(),1,2 ,1(321MMM求過三點(diǎn)求過三點(diǎn) )0,1,1( )1,1,0( ,1 M又又1M2M3M7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.17.3.1110011 kji)1,1,1( .0)1()2()1( zyx于是可取平面于是可取平面 的法向量為的法向量為：利用點(diǎn)法式得平面利用點(diǎn)法式得平面 的方程的方程為：為：nn3121MMMM 解解: : 平面平面 的法向量垂直于該平面內(nèi)任一向量，的法向量垂直于該平面內(nèi)任

8、一向量，的平面的平面 的方程的方程. . )2 ,1,1(),1 ,3,2(),1,2 ,1(321MMM求過三點(diǎn)求過三點(diǎn) )0,1,1( )1,1,0( ,1 M又又1M2M3M7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)2143460231xyz0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即即1M2M3M 為平面為平面 上任一點(diǎn)，上任一點(diǎn)，),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面的平面 的方程的方程. . 11213,M M M MM M 向量共面，解法二解法二

9、: :M則則于是于是從而得從而得設(shè)設(shè) ),(zyxM0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : :過三點(diǎn)過三點(diǎn))3,2,1(),( kzyxMkkkk的平面方程為的平面方程為平面的三點(diǎn)式方程平面的三點(diǎn)式方程2 2、平面的一般方程、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程設(shè)有三元一次方程 方程方程稱為稱為平面的一般方程平面的一般方程. .則則方程方程可化為可化為)*(0)0()0()( zCyBADxA由此可知，由此可知，0AxByCzD )0(222 CBA),(CBAn 而而 不妨設(shè)不妨設(shè),0 A方程方程( (* *) )表示過點(diǎn)表示過點(diǎn)且法向量為且法向

10、量為)0, 0,(0ADM ),(CBAn 的平面的平面.任一三元一次方程任一三元一次方程的圖形總是一個(gè)平面的圖形總是一個(gè)平面. . 為為該該平面的平面的一個(gè)一個(gè)法向量法向量.7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何特殊情形特殊情形表示表示過原點(diǎn)過原點(diǎn)的平面的平面; ;同理，同理，表示表示平行于平行于y 軸軸的平面的平面; ;表示表示平行于平行于x 軸軸的平面的平面; ;表示表示平行于平行于 zox 面的平面面的平面. .0,nk ( (書上書上P P2121) ) 當(dāng)當(dāng) 0 D時(shí)，時(shí)， 方程方程為為0 CzBy

11、Ax 當(dāng)當(dāng) CBA,中有一個(gè)為零，中有一個(gè)為零， 時(shí)，時(shí)， 如如 0 C方程方程為為,0 DByAx(, 0),nA B 其法向量為其法向量為 該平面平行該平面平行z 軸；軸； 方程方程0 DCzAx方程方程0 DCzBy 當(dāng)當(dāng) CBA,有兩個(gè)為零，有兩個(gè)為零， 時(shí)，時(shí)， 如如 0 BA方程方程為為,0 DCz方程方程0 DBy表示表示平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；同理，同理， 方程方程0 DAx它表示平行它表示平行于于 xoy 面面的平面的平面; ;所以所以 與與 z 軸垂直，軸垂直， n 7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與

12、空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何設(shè)平面設(shè)平面的方程的方程為為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解：解：例例7.7.3.3.2 2(0,0, )RcPozyxRQ分析：分析： 可用可用平面的一般方程平面的一般方程做做 或或平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程做做.xyz、 、( ,0,0),(0, ,0),P aQb設(shè)一平面與設(shè)一平面與軸的交點(diǎn)分別為軸的交點(diǎn)分別為000)abc ，（其中（其中求該平面的方程求該平面的方程.7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空

13、間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1czbyax此式稱為此式稱為平面的平面的截距式方程截距式方程.x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距( (見書上見書上P P2121) )7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何求求過過不在同一直線上不在同一直線上三點(diǎn)三點(diǎn))3,2,1(),( kzyxMkkkk的平面的平面的的方程方程. .例例. .解解: : 為為所求所求平面上任一點(diǎn)，平面上任一點(diǎn)，設(shè)設(shè) ),(zyxM1M2M3MM則則11213,M

14、 M M MM M 向量向量共面，共面，于是于是有有112130 ,M M M MM M 即即.0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx此式為此式為平面的平面的三點(diǎn)式方程三點(diǎn)式方程0.AxCz 40,AC 4,AC 40.xz 例例7.3.37.3.3解：解：0(12 4)M ， ，求過求過y軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)的平面的方程的平面的方程. .因平面過因平面過y軸，軸， 可設(shè)所求平面的方程為可設(shè)所求平面的方程為0(12 4),M ， ，又平面過點(diǎn)又平面過點(diǎn)即即故故(0),C C 代入所設(shè)方程并消去代入所設(shè)方程并消去得所求的平面方程為得所求的平面方程為7.3 空間平面與空間直

15、線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何三三、空間直線的方程、空間直線的方程1 1. .空間直線的點(diǎn)向式空間直線的點(diǎn)向式方程方程與參數(shù)方程與參數(shù)方程xyzo(1) 直線的方向向量的定義直線的方向向量的定義sL與與直線平行直線平行的的非零向量非零向量，稱為這條直線的稱為這條直線的一個(gè)一個(gè)方向向量方向向量直線的方向向量有無數(shù)多個(gè)直線的方向向量有無數(shù)多個(gè). .直線的直線的任一任一方向向量方向向量s的的坐標(biāo)坐標(biāo)m, n, p叫做這一直線的一組叫做這一直線的一組s而而的方向余弦叫做這一直線的的方向余弦叫做這一直線的方向余弦方向余弦. .方向數(shù)方向

16、數(shù)，7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何(2)(2)空間直線的空間直線的點(diǎn)向式點(diǎn)向式方程方程和參數(shù)方程和參數(shù)方程),(0000zyxM故有故有說明說明: :則則),(zyxMpzz0 此式稱為直線的此式稱為直線的點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程( (也稱為也稱為對稱式方程對稱式方程或或標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程) )s 設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 , ),(zyxM已知直線上一點(diǎn)已知直線上一點(diǎn)),(0000zyxM和它的方向向量和它的方向向量 , ),(pnms ,/0sMMxyzo某些分母為零時(shí)某些分母為零時(shí), , 其分子

17、也理解為零其分子也理解為零. .mxx0 nyy0 求該求該直線的直線的方程方程. .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何則則,0tmxx ,0tnyy ,0tpzz .,00yyxx直線方程為直線方程為此式稱為此式稱為空間直線的空間直線的參數(shù)方程參數(shù)方程. .例如例如, , 當(dāng)當(dāng)0, 0 pnm時(shí)，時(shí)， 設(shè)設(shè),000tpzznyymxx 直線方程為直線方程為當(dāng)當(dāng)0, 0, 0 pnm時(shí)，時(shí)， .,0000pzznyyxx7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與

18、空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何xyzo2 L因此其一般方程因此其一般方程為為2 2. .空間直線的空間直線的一般方程一般方程 空間空間直線可視為兩直線可視為兩個(gè)不平行個(gè)不平行平面交線，平面交線，( (不唯一不唯一) )此式稱為此式稱為空間直線的空間直線的一般方程一般方程. .1 11110A xB yC zD 22220A xB yC zD 12111222(,) (,).snnA B CA B C 這條直線這條直線的一個(gè)方向向量為：的一個(gè)方向向量為：7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.47.

19、3.4從而所求從而所求直線的方程為直線的方程為：故故所求直線的所求直線的一個(gè)一個(gè)方向向量方向向量可取為：可取為： 解解: :求過求過兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的方程方程. . 與與),(1111zyxM),(2222zyxM在直線上，在直線上，因向量因向量12M M 12M M 212121(,),xx yy zz 111212121.xxyyzzxxyyzz 1M2M此式稱為此式稱為直線的直線的兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式方程方程.7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何的直線的直線直線的三種方程間的相互轉(zhuǎn)化：直線的三種方程間的相互轉(zhuǎn)化：（1

20、 1）直線的直線的點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程和和參數(shù)方程參數(shù)方程相互間易轉(zhuǎn)換；相互間易轉(zhuǎn)換；（2 2）要把要把點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成一般方程一般方程也很方便，也很方便，0000 xxyymnyyzznp 便是直線的一般方程便是直線的一般方程. .只要把點(diǎn)向式方程的連等式寫成方程組形式：只要把點(diǎn)向式方程的連等式寫成方程組形式：000 xxyyzzmnp 0000()()0,()()0n xxm yyp yyn zz 例如：例如：（3 3）怎樣把怎樣把一般方程一般方程轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程？法法1 1：先找直線上一點(diǎn)先找直線上一點(diǎn); ; 再找直線的方向向量再找直線的方向向量. .法法

21、2 2： 先先找直線上找直線上兩兩點(diǎn)點(diǎn)A, B; ;AB 就是就是直線的方向向量直線的方向向量. .由由得得即即7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.57.3.5解解: :用用點(diǎn)向點(diǎn)向式式方程方程及參數(shù)及參數(shù)方程方程表示直線表示直線 .0123,01 zyxzyx ,012,010000zyzy,1,000 zy解解得得再求直線的方向向量再求直線的方向向量.s分析：分析： 先找直線上一點(diǎn)先找直線上一點(diǎn); ; 再找直線的方向向量再找直線的方向向量. . )1,2,1( 21nns 123111 kji

22、可取可取先在直線上找一點(diǎn)先在直線上找一點(diǎn). ),(0000zyxM代入原代入原方程組方程組得得令令 ,00 x是直線上一點(diǎn)是直線上一點(diǎn) . .)1,0,0(0 M即即 因兩平面的交線與兩平面的法向量因兩平面的交線與兩平面的法向量12,n n 都垂直，都垂直，7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何故所給直線的故所給直線的點(diǎn)向點(diǎn)向式方程為式方程為得直線的得直線的參數(shù)方程為參數(shù)方程為 ,1, 2 ,tztytxt.1121 zyx,1121tzyx 令令其中其中t為為參數(shù)參數(shù).7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平

23、面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何四四、空間上點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系空間上點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、空間空間兩平面的兩平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面法向量的夾角兩平面法向量的夾角( (通常指銳角通常指銳角) )稱為稱為兩平面的夾角兩平面的夾角. .設(shè)有設(shè)有平面平面0:1111 zCyBxA 與與,0:2222 zCyBxA 2222(,) ,nABC 它們的法向量分別為它們的法向量分別為和和1111(,)nA B C 122n1n1n則則平面平面1 與與2 的夾角的夾角 可由下式確定：可由下式確定：1212nnnn 12coscos(,

24、)n n 7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 cos 即即 212121CCBBAA 212121CBA 222222CBA 空間兩空間兩平面平面的位置關(guān)系只有三種：的位置關(guān)系只有三種：上述上述平面平面1 與與2 的位置關(guān)系的判別如下：的位置關(guān)系的判別如下：1 與與2 相交相交111222:;A B CABC 特別地，特別地，21 ;0212121 CCBBAA21nn 21/ 且不重合且不重合;21212121DDCCBBAA 1 與與2 重合重合.21212121DDCCBBAA 相交、平行或重合相交、

25、平行或重合. .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.67.3.6 ,0)1()1()1(2 zyx設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,n1M2M求求它的它的方程方程. .解解法法1 1: :1(1,1,1)M一平面通過兩點(diǎn)一平面通過兩點(diǎn)2( 0,1,1)M 和和且垂直于平面且垂直于平面 ,0 zyx已知已知平面平面的法向量的法向量為為1,n 由于兩由于兩平面平面垂直，垂直，,1nn 所以所以故可取故可取121nMMn , )1,1,2( 111201 kji則所求平面則所求平面的的方程為方程

26、為.02 zyx即即)2, 0 , 1(21 MM在所求平面上，在所求平面上，又又,21MMn 有有7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.67.3.6 代入代入(1)(1)式式且垂直于平面且垂直于平面 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,020 CBA即即.2CA ,0 CBACCAB )()0(0)1()1()1(2 CzCyCxC(1)(1)(1)0(1)A xB yC z 1(1,1,1)M則所求平面方程為則所求平面方程為故故,),(CBAn 的法向量的法向量 n21MMn 1M2M求求

27、它的它的方程方程 . .一平面通過兩點(diǎn)一平面通過兩點(diǎn)解解法法2 2: :2( 0,1,1)M 和和,0 zyx得得,0)1()1()1(2 zyx即即.02 zyx7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何2L1L2 2. . 空間空間兩直線的兩直線的位置關(guān)系位置關(guān)系則則兩直線兩直線的的夾角夾角 滿足滿足 兩直線的方向向量的夾角兩直線的方向向量的夾角( (通常取通常取銳角銳角) )稱為稱為兩直線的夾角兩直線的夾角. .21, LL設(shè)直線設(shè)直線的方向向量分別為的方向向量分別為121212m mn np p 21212

28、1pnm , ),(, ),(22221111pnmspnms 1212ssss 1s2s12cos( ,)s s cos 222222pnm 7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何21,LL于是上述的于是上述的直線直線的的位置關(guān)系的判別如下：位置關(guān)系的判別如下：設(shè)設(shè)分別是分別是直線直線),(1111zyxM),(2222zyxM與與1L2L與與上的點(diǎn)，上的點(diǎn)， 則則1L與與2L異面異面;0222111121212 pnmpnmzzyyxx1L與與2L相交相交0222111121212 pnmpnmzzyyxx

29、111222:;mnpmnp 且且空間兩直線的位置關(guān)系只有四種：空間兩直線的位置關(guān)系只有四種： 異面、相交、平行或重合異面、相交、平行或重合. .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何特別地，特別地，21LL 21ss .212121ppnnmm 1L與與2L重合重合21/ LL或或21/ ss1212120.m mn np p7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.77.3.7 求以下兩直線的夾角求以下兩直線的夾角

30、,13411:1 zyxL直線直線的方向向量為的方向向量為1L直線直線的方向向量為的方向向量為2L, )1,4,1(1 s解解: :則兩則兩直線夾角直線夾角 的余弦為的余弦為cos 1212ssss |1 8 2|189 ,22 .4 12cos( ,)s s .2221:2 zyxL, )2,2,1(2 s所以直線所以直線與與1L2L的夾角為的夾角為7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何3 3. .空間空間直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系當(dāng)當(dāng)直線與平面垂直直線與平面垂直時(shí)時(shí), ,L當(dāng)當(dāng)直線與平面不垂直

31、直線與平面不垂直時(shí)時(shí), ,設(shè)直線設(shè)直線 L 的方向向量為的方向向量為 平面平面 的法向量為的法向量為直線和它在平面上的投影直直線和它在平面上的投影直線的線的, ),(pnms , ),(CBAn sn 2),(ns ,2),( ns 夾角夾角 稱為稱為直線與平面的夾角直線與平面的夾角. .)20( 則則或或.2 規(guī)定其夾角為規(guī)定其夾角為7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何則則直線與平面直線與平面的的夾角夾角 滿足滿足222222CBApnmpCnBmA sincos(, )s n snsn L與與 相交相交特

32、別地，特別地， L.0 CpBnAmns/;pCnBmA ;0 CpnBmA /L或或L 在平面在平面上上ns L與平面與平面 的位置關(guān)系的判別如下：的位置關(guān)系的判別如下：上述空間直線上述空間直線空間直線與空間直線與平面平面的位置關(guān)系只有三種：的位置關(guān)系只有三種： 相交、平行相交、平行或或直線在平面上直線在平面上. .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何解：解：)1 ,1 ,1(PA的直線的直線的的方程方程. .例例7.3.87.3.8,PAs 1,4 ,3,xtytzt 000(1, 4 , 3)Attt

33、，又兩直線垂直，又兩直線垂直，所以所以從而從而00014 (41) 1 (4)0,ttt 00,t (0,1,4),PA 111.014xyz 直線直線L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為它的一個(gè)方向向量它的一個(gè)方向向量, )1 , 4, 1( s所求直線與直線所求直線與直線L的交點(diǎn)可設(shè)為的交點(diǎn)可設(shè)為000=( ,41,4)PAttt 則則就是所求直線的一個(gè)方向向量就是所求直線的一個(gè)方向向量. .即有即有0,PA s 解得解得于是于是故所求的直線的方程為：故所求的直線的方程為：求過點(diǎn)求過點(diǎn)13411: zyxL且與直線且與直線)1 , 1 , 1(P垂直相交垂直相交L7.3 空間平面與空間直線及其方程空

34、間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何4 4. .平面平面( (或直線或直線) )外一點(diǎn)到平面外一點(diǎn)到平面( (或直線或直線) )的距離公式的距離公式(1) (1) 平面平面外一點(diǎn)到平面的距離公式外一點(diǎn)到平面的距離公式因因平面平面法向量為法向量為, ),(CBAn 如圖，如圖，( (書上書上P P2727) )外一點(diǎn)外一點(diǎn), , 0000(,)P xyz:0A xB yC zD 設(shè)設(shè)是平面是平面0P到平面到平面的距離的距離. .求點(diǎn)求點(diǎn)0Pnd1P0P向平面向平面引垂線，引垂線，從點(diǎn)從點(diǎn)設(shè)垂足為設(shè)垂足為, ),(1111zyxP0P到平面到平面的

35、距離為的距離為則點(diǎn)則點(diǎn),01PPd ,/01nPP所以所以n01PP與與的夾角為的夾角為0 0 或或 .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何222101010)()()(CBAzzCyyBxxA 000222AxB yC zDdABC 0111 DzCyBxA01PPd nnPP 01此式為此式為點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式nPP 01,01nPP 于是于是0P到平面到平面的距離為：的距離為：則點(diǎn)則點(diǎn)7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向

36、量代數(shù)與空間解析幾何（2 2）直線外一點(diǎn)到直線的距離公式）直線外一點(diǎn)到直線的距離公式的距離為：的距離為：d10| s |M Msd ),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML( (書上書上P P28-29)28-29)01|s|M Ms 1111(,),Mxy z在直線在直線 L 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)S 0000(,)M x y z111 :xxyyzzLmnp直線直線 L 外一點(diǎn)外一點(diǎn)到直線到直線事實(shí)上，事實(shí)上，s d 過點(diǎn)過點(diǎn) M1作直線作直線 L的方向向量的方向向量.s 10M Ms s 10M M 則以則以與與為鄰邊的平行為鄰邊的平行四邊形的面積為：四邊形的面積為：

37、10.| |M Msds (M1為為L上任一點(diǎn)上任一點(diǎn))7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.97.3.9直線直線 L的方向向量的方向向量解解: :求求點(diǎn)點(diǎn)212211: zyxL的距離的距離.到到直線直線)2 , 1 , 0(0M, )2, 2 , 1( s點(diǎn)點(diǎn))1, 2 , 1(1 M為為直線直線 L上一點(diǎn)，上一點(diǎn)， 則則01MMs , )1,1,4( 311221 kji所以點(diǎn)所以點(diǎn)M0到到直線直線 L的距離為：的距離為：10| |M Msds 222222)2(211)1(4 .2323 7

38、.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何五、五、平面束平面束方程方程111122220,(1)0(2)A xB yC zDA xB yC zD 過定直線的所有平面的全體稱為過定直線的所有平面的全體稱為平面束平面束. .設(shè)設(shè)直線直線 L的的方程為：方程為： 過過直線直線 L的平面束方程為的平面束方程為：11112222()0(3)A xB yC zDA xB yC zD ( (為為任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù)) )它表示它表示( (除平面除平面(2)(2)外的外的) )所有過所有過直線直線 L的平面的平面. .易知易知(3)(3

39、)式中式中x, y, z的系數(shù)不全為零，的系數(shù)不全為零，方程方程(3)(3)就表示過就表示過直線直線 L的不同平面的不同平面. .從而它從而它表示平面表示平面. .事實(shí)上，事實(shí)上，直線直線 L上上的的點(diǎn)都滿足方程點(diǎn)都滿足方程(3)(3)， 于是當(dāng)于是當(dāng) 不同不同時(shí)，時(shí)，7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何過過直線直線 L的所有平面的平面束方程為的所有平面的平面束方程為：注注：11112222()()0A xB yC zDA xB yC zD ( (, ,是不全為零的任意實(shí)數(shù)是不全為零的任意實(shí)數(shù)) )7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7 7.3.10.3.10解解法法1 1：(21)(1)0,xyzxyz (2)( 1)(1)( 1)0 (1)xyz 分析：分析：210,10 xyzLxyz ：求直線求直線在平面在平面:20 xyz 上的