新課標下圖形與幾何的解析PPT學習教案

1、會計學1新課標下圖形與幾何的解析新課標下圖形與幾何的解析1“空間與圖形”改為“圖形與幾何” 這樣的修改是必要的，空間與圖形在本質上都是表述著一種存在，而所謂的幾何是基于這種存在抽象出概念，比如“點、線、面”；得到概念之間的關系，比如“兩點決定一條直線”；建立基于概念的命題，比如“三角形內(nèi)角和是180度”；等等。這樣就把存在上升到理性，進而可以更加一般地描述存在，解釋存在所表現(xiàn)出來的那些規(guī)律性的東西。這是數(shù)學本質之所在，也是數(shù)學教育本質之所在。更突出體現(xiàn)了幾何學的本質：以圖形作為重要的研究對象，以空間形式作為分析和探討的核心?！皥D形與幾何”中的“圖形”是研究的對象，“幾何”是研究的方法。（數(shù)學是

2、研究數(shù)量關系和空間形式的科學 ）第1頁/共36頁1圖形與幾何領域的核心概念看到“圖形與幾何”這幾個字，您想到了哪些關鍵詞？第2頁/共36頁1主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。第3頁/共36頁1第4頁/共36頁1主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。第5頁/共36頁1幾何直觀案例：打電話 如果你是老師，有件緊急的事情要通知給

3、同學，用打電話的方式，每分鐘通知1人，給你3分鐘的時間，能使多少人收到通知？大膽的猜測一下。 第6頁/共36頁1下面是學生借助圖形研究的例子。這些學生都能夠利用線段、點以圖形的形式，來描述打電話來通知這件事情，設計方案。第7頁/共36頁1上圖通過線段、點，以及圖形，把通知過程很簡捷地表現(xiàn)出來，把它們之間的關系，揭示得非常清楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。 我們平時學習過程中所畫的線段圖，示意圖等也是幾何直觀。第8頁/共36頁1推理能力的發(fā)展應貫穿于整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事

4、實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結論；演繹推理用于證明結論。第9頁/共36頁1我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度里學習和工作，我在中國學到了演繹能力，我在美國學到了歸納能力。 -見我的生平 培養(yǎng)歸納能力傳統(tǒng)數(shù)學教育重視知識的傳授和技能的訓練?！爸R在本質上是一種結果，可以是經(jīng)驗的結果，也可以是思考的結果。” 結果的教育、知識的積累。歸納推理可以表現(xiàn)為一種智慧?！爸腔鄄?/p>

5、不表現(xiàn)在經(jīng)驗的結果上，也不表現(xiàn)在思考的結果上，而表現(xiàn)在經(jīng)驗的過程，表現(xiàn)在思考的過程。”歸納能力是建立在實踐的基礎上的。 過程的教育、經(jīng)驗的積累。第10頁/共36頁1一個創(chuàng)新型人才除了知識之外，還需要的是思維形式和思維方法，他想問題會不會創(chuàng)新性的想，當然還有一個創(chuàng)新意識問題。這些東西必須通過本人參與的活動才能夠學得會，老師教是教不會的。比如在解題過程中，甚至在玩的過程中，他有一個方案，或者在做實驗的過程中他有一個技巧，這些表現(xiàn)的是智慧，因此這些東西是表現(xiàn)在過程之中的，而過程之中的東西只能通過過程培養(yǎng)，通過語言的闡述是不可能培養(yǎng)出來的，怎么思考問題，怎么教也不行，他得自己去想一些問題，他才可能想明

6、白。因此在這個意義上，沒有基本的活動經(jīng)驗是不行的，基本活動經(jīng)驗就是教我們的孩子如何思考問題，最終要培養(yǎng)這個學科的思維方法，更高的就是培養(yǎng)學科的直觀。 第11頁/共36頁1圖形的認識測 量圖形的運動圖形與位置“圖形的運動”強調(diào)了圖形的運動是研究圖形性質的一種有效方法。運動也是一種基本的數(shù)學思想。 圖形與變換 圖形的認識測 量圖形的運動圖形與位置第12頁/共36頁11如何在觀察、操作中“認識圖形” 抽象出圖形特征，發(fā)展空間觀念？2如何以“圖形的測量”為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，認識度量單位及其實際意義，了解掌握測量的基本方法，并在具體問題中進行恰當?shù)墓罍y？從而發(fā)展學生的空間觀念與推理能力

7、？3如何通過“圖形的運動”探索發(fā)現(xiàn)，體會研究圖形性質的不同方法，發(fā)展學生幾何直觀能力和空間觀念，提高學生研究圖形性質的興趣？4如何通過學習“確定圖形位置”的方法，發(fā)展學生的空間觀念和推理能力？我們經(jīng)常思考的問題 第13頁/共36頁1認識圖形抽象出圖形特征，發(fā)展空間觀念圖形的測量滲透度量意識，掌握測量方法 圖形的運動體會研究方法，增加直觀能力 圖形的位置發(fā)展空間觀念，提高推理能力 認識圖形抽象出圖形特征，發(fā)展空間觀念第14頁/共36頁1對圖形認識的要求主要包括兩個方面：一是對圖形自身特征的認識。二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關系的認識。在三個學段中，認識同一個或同一類圖形的要求有明顯的層次

8、性：從“辨認”到“初步認識”，再從“認識”到“探索并證明”。如，對于平行四邊形，第一學段要求“能辨認”；第二學段要求“認識”；第三學段要求“理解概念，探索并證明平行四邊形的性質定理、判定定理”等。第15頁/共36頁13.怎樣通過圖形的認識教學，培養(yǎng)學生的空間觀念？第一學段要求 “ 能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體 ” 、 “ 通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征 ” ；第二學段要求 “ 結合實例了解線段、射線和直線 ” 、 “ 結合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關系 ” 等，這些要求的共同特點是通過觀察與操作認識圖形，直觀地、整體地認識立體圖形和

9、平面圖形。從對實物的觀察與操作過程中來認識圖形的特征和性質，既符合學生認識事物的規(guī)律，也符合數(shù)學課程的目標要求。這樣的過程有助于學生發(fā)展能力，初步體會數(shù)學的思想方法，發(fā)展積極的情感與態(tài)度。第一：通過對實物的觀察與操作認識圖形。第16頁/共36頁1第二：基于圖形的想象和圖形之間的轉換，發(fā)展空間觀念 教材內(nèi)容編排上增加了“視圖和投影、展開與折疊”等內(nèi)容。關于視圖和投影，小學階段是觀察物體，課標上有兩個要求：第17頁/共36頁1第二個學段的要求能辨認從不同方向，方向是從前面、側面或者上面來觀察，從不同方向看到物體的形狀圖，這個形狀圖實際上就是一個平面圖，就是從水平方向對物體所做的一個投影，也就是拍照

10、。拍照的結果，雖然不是真正意義上的視圖，但是它的確實現(xiàn)了，把三維空間向二維空間的一個轉化的過程，這是過去小學沒有的，現(xiàn)在有了，這兩個階段的目標要達到，就為第三學段的正式的視圖和投影打下比較好的基礎。第18頁/共36頁1讓學生操作的時候，它不是一個簡單的操作，首先得想象一下，可能會是什么樣子，然后再通過操作，去驗證自己的想法，而這個過程，學生參與這個想象，包括動手操作，包括把這個過程表現(xiàn)出來，是非常重要的。讓學生的這種想象也好，操作也好，實際上進一步理解，我們講三維和兩維之間的這樣一種關系，就是你講的對應關系，是經(jīng)歷了下面過程?！?認識長方體、正方體和圓柱的展開圖 ” ，體現(xiàn)了三維圖形與二維圖形

11、之間相互轉換的具體要求，目標是在圖形轉換中引導學生觀察、抽象、想象，發(fā)展空間觀念。教學中應注重展開與折疊的操作過程，通過想象實現(xiàn)圖形之間的轉換，讓學生記憶展開圖的數(shù)量或類型的做法是不可取的。認識圖形過程中大量的操作性活動，有利于學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展學生空間觀念教學中應當予以充分的重視。 第19頁/共36頁1圖形的測量滲透度量意識，掌握測量方法 一、如何以“圖形的測量”為載體，體會測量的意義，認識度量單位及其實際意義，滲透度量意識。第一、 使學生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性 標準在第一學段要求“結合生活實際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性?！?這種要求對面積

12、、體積的單位也同樣適用。度量單位是度量的核心，度量單位的統(tǒng)一是使度量從個別的、特殊的測量活動成為一般化的、可以在更大范圍內(nèi)應用和交流的前提。因此，在課程的實施過程中，應該為學生提供必要的機會，鼓勵學生選擇不同的方法進行測量，并在相互交流的過程中發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)不同的方法，不同單位的選擇對測量結果的影響，進而體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。第20頁/共36頁1 2011 版數(shù)學課程標準特別強調(diào)，要結合生活實際，經(jīng)歷用不同方式，測量物體長度的過程，讓學生去體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。所以教師在教學實踐中，應該堅持把讓學生體會了統(tǒng)一度量單位的重要性這個環(huán)節(jié)設計好，讓學生經(jīng)歷完整“度量單位”的從形成到產(chǎn)生的過

13、程。由此看來， 關于讓學生體會建立統(tǒng)一的度量單位的重要性，不僅要在長度的測量中給予關注，在面積和體積的測量中，仍要讓學生去感受。第21頁/共36頁1第二、使學生理解與把握度量單位的實際意義，對測量結果有很好的感悟標準在第一學段要求“在實踐活動中，體會并認識長度單位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能進行簡單的單位換算，能恰當?shù)剡x擇長度單位”。進行單位之間的換算，不能靠機械地記憶換算公式和反復操練，而是要能夠體會單位之間的實際關系，這就涉及到了對單位的理解。長度（類似的，面積、體積）單位不僅僅是一個抽象的概念，對它的體會和認識應當通過實踐活動，體驗它的實際意義。例如，生活中哪些物體的長度大約為 1

14、 米 ， 1 厘米 的長度可以用什么熟悉的物體來估計，哪些物體的重量大約是 1 千克 ，哪些物體的體積大約是 1 立方米等。第22頁/共36頁1對單位的實際意義的理解，還體現(xiàn)在對測量結果、對量的大小或關系的感悟。關于對度量單位的認識，要結合實際例子體會度量單位的大小，比如，一個成人的身高為 175 （ ），應當選擇 cm 而不是 mm 作為單位，這是對認識長度單位地深化理解。再如“北京到南京的鐵路長約 1000 （ ）”，引導學生學會選擇合適的度量單位；要用實物感知度量單位的大小，如“ 一米約相當于（ ）根鉛筆長”，強化學生對度量單位地感知；還應關注不同維度度量單位之間的聯(lián)系，例如，理解 1

15、平方分米 =100 平方厘米，可以借助圖形（ 10 10 的方格，每個方格為 1 平方厘米），也可以借助等式 1 平方分米 =1 分米 1 分米 = 10 厘米 10 厘米 =100 平方厘米，避免學生死記硬背單位之間的換算關系?？傊诰唧w的問題情境中恰當?shù)剡x擇度量單位、工具和方法進行測量測量是從人類的生產(chǎn)、生活實際需要中產(chǎn)生的，學習測量的目的是為了實際的應用。在明確實際測量的對象后，選擇恰當?shù)亩攘繂挝弧y量工具及方法關系到測量能否方便、可操作地進行、影響著測量結果的準確程度。比如，用直尺測量黑板的長度是不錯的選擇，用它測量一棟大樓的長度就不是上策了學生只有在親身實踐中才能積累選擇度量單位、

16、測量工具和具體方法的經(jīng)驗。第23頁/共36頁1通過以上案例地分析，可以看出，數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是基礎知識的靈魂，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想。同時在度量圖形的過程中組織學生進行大量的操作性活動，有利于學生積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。掌握規(guī)則圖形的周長、面積和體積公式，仍然是圖形測量內(nèi)容的重要方面，以往我們的教學將主要精力放在套用公式進行計算上，以至于將這部分內(nèi)容簡單地處理為計算問題。實際上，對于規(guī)則圖形周長、面積和體積公式的探索和應用，不僅有利于學生

17、靈活運用多種策略和方法解決實際問題，并且對于學生認識圖形的特征和圖形間的相互關系，發(fā)展空間觀念也是大有好處的。學生在操作活動中，經(jīng)歷探索從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法，在體驗解決問題方法多樣性的過程中創(chuàng)新意識也得到發(fā)展。第24頁/共36頁1蘇格拉底助產(chǎn)術是一種教學方法。 它最突出的優(yōu)點就在于，它能夠有效地激發(fā)學生的思考活動，促使其積極主動地去尋找正確答案，因而學生的思維非常活躍。應該說，傳統(tǒng)教學的最大缺陷之一便是學生的思維不夠活躍，學得太被動，太沉悶。既然這樣，我們做老師的自然應當能夠從蘇格拉底那里得到一些有益的啟發(fā)，也不妨偶爾嘗試一下用助產(chǎn)術的方法去開展自已的教學活動。 第25頁/共

18、36頁1圖形的運動體會研究方法，增加直觀能力 一、為什么要在小學階段增加“ 圖形的運動 ” 這個內(nèi)容？ 2011 版數(shù)學課程標準在“圖形與幾何” 領域仍然增加了“平移，旋轉，放大與縮小這些內(nèi)容”，只是把“圖形與變換”改為“圖形的運動”。為什么仍然保留這個內(nèi)容，學習它的價值是什么？運動是世間萬物的基本特征，是物質存在的基本形式。所謂圖形的運動，在義務教育數(shù)學課程中最基本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅位置發(fā)生變化（合同運動）；二是形狀不變而大小變化（相似運動）。1. 從學生角度來看現(xiàn)實生活中存在著大量的圖形的變換的現(xiàn)象，學生有豐富的生活經(jīng)驗，例如，電梯、地鐵列車在平行移動；鐘面指針、自行車

19、輪、電風扇葉片在旋轉運動；許多年畫、卡通動物、建筑物的形狀具有對稱性。這些現(xiàn)象為兒童學習圖形的變換提供了豐富多彩的現(xiàn)實背景。我們希望提供給學生一種數(shù)學的眼光，去認識和把握這些現(xiàn)象。通過圖形的運動探索發(fā)現(xiàn)并確認圖形的一些性質，有助于學生發(fā)展幾何直觀能力和空間觀念，有利于學生提高研究圖形性質的興趣、體會研究圖形性質可以有不同的方法。2從數(shù)學發(fā)展的角度來看1872 年，德國大數(shù)學家克萊茵發(fā)表 “愛爾蘭根綱領”的演說，這個里程碑式的論斷，改變了近兩千年來人們用靜止的觀點研究幾何的傳統(tǒng)方法。與靜態(tài)地研究圖形與幾何的性質不同，圖形的變換是從運動變化的角度去探索和認識圖形與幾何的性質，欣賞與設計圖案。是發(fā)展

20、學生空間觀念和思維能力的重要內(nèi)容。第26頁/共36頁1二、 第一、二學段關于“圖形的運動”相關知識內(nèi)容有哪些？ 教學目標分別是什么？按照標準的要求，小學 1-6 年級圖形的運動主要涉及平移、旋轉、對稱及簡單的圖形相似這樣一些內(nèi)容。第一學段中，學生借助日常生活中對圖形運動現(xiàn)象的觀察與直觀感受，了解平移、旋轉和軸對稱；并認識兩個圖形具有平移或軸對稱的關系。提供大量的豐富的圖形運動現(xiàn)象，引導學生充分地觀察、想象，運用日常生活中已經(jīng)積累的有關經(jīng)驗，歸納、發(fā)現(xiàn)各種運動的特點，是達成這個課程目標的有效途徑。 2011 版數(shù)學課程標準提倡我們組織學生分組收集日常生活中常見的圖形（如案例 21 ）生活中的軸對

21、稱圖形。引導學生觀察它們是否有對稱軸，若有對稱軸，數(shù)出或說出有幾條對稱軸。嘗試畫出它們的對稱軸。在課堂中展示交流大家的發(fā)現(xiàn)，并嘗試設計出一些軸對稱圖形。這個活動可以鼓勵學生主動觀察，設法收集（如可以使用數(shù)碼相機或現(xiàn)場素描等）。學生可以結合自己的生活環(huán)境發(fā)現(xiàn)、找到他們熟悉的圖形對象中隱藏的對稱軸，并在交流過程中豐富自己的經(jīng)驗。在交流大家收集到的圖形的基礎上，教師進一步鼓勵學生自己設計軸對稱圖形，并交流自己圖形所表達的意思。第27頁/共36頁1第二學段中，圖形的運動的課程內(nèi)容及要求主要有以下幾個方面：（ 1 ）按要求在方格紙上畫出一個圖形經(jīng)過平移或旋轉后所得的圖形，會補全一個軸對稱圖形?！皥D形與幾

22、何”學習中方格紙的作用:方格紙能幫助學生更準確地認識和理解圖形基本特征，能更好地使學生認識和描述空間圖形的變換過程，可以有效地促進學生對空間概念的建立。（ 2 ）研究圖形的相似運動 ，即將圖形放大或縮小。第二學段要求“能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小”，這里的“放大與縮小”不是嚴格的相似，主要是直觀感知，即放大或縮小后的圖形與原來的圖形形狀相同而大小的不同。這將為第三學段研究圖形的相似運動和位似運動奠定基礎。（ 3 ） 綜合運用圖形的運動進行圖案的欣賞與設計。學生對圖形運動特點的了解、能夠在方格紙上按要求畫出運動后圖形，這些知識技能和經(jīng)驗是圖案的欣賞和設計的基礎。圖案的欣賞與設計，為

23、學生用數(shù)學的眼光看世界、看生活提供了機會，也可以進一步感受數(shù)學的美、數(shù)學的價值。第28頁/共36頁1總體上看：修改后的課標在這部分降低了難度，更加強調(diào)觀察與操作，積累學生數(shù)學活動經(jīng)驗。過程中大量的操作性活動，有利于學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，教學中應當予以充分的重視。這些畫圖和設計圖案的活動，既可以加深學生對圖形對稱性的理解，又能激發(fā)他們的學習興趣，感悟數(shù)學的美及其應用價值，應當認真落實標準的這些要求。第29頁/共36頁1 三、 “圖形的運動”內(nèi)容常用的教學策略有哪些？策略一：結合生活實例，在觀察與比較中認識圖形的運動例如，教學“圖形的變換”時豐富教材中的典型素材，注意融入了像道閘，車輪，鐘擺等素材

24、并利用信息技術動態(tài)呈現(xiàn)，讓學生進一步感知旋轉現(xiàn)象。在教學 “ 軸對稱變換時 ”，借助一組學生在生活中喜聞樂見的民族特點濃厚的素材。策略二：借助操作活 動 ，加深對圖形運動的認識， 幫 助 學 生 體 會變換 的特征加強 學 生操作活 動 ，也是提高 圖 形 變換教學 成效的一 個策略。操作是一種重要的實踐活動。圖形變換的操作主要是在方格紙上畫一個圖形經(jīng)某變換后的圖形和剪對稱圖形。應鼓勵學生動手操作，并在操作過程中積極思考，發(fā)展思維能力。策略三：注重 從變換 的角度，引 導學 生欣 賞圖 形、 設計圖 案例如，在生活中 隨處 可 見 的美 麗圖案， 學 生在 觀 察 這 些 圖 案 時 ，可以

25、發(fā)現(xiàn) 其 中包含的熟悉的 圖 形；可以 運 用 數(shù)學 的眼光分析 圖 案的 組成，例如是否 運 用了 變換 ；可以欣 賞這 些各具特色的 圖 案， 發(fā)現(xiàn) 其中 蘊 涵的 對稱 美、和 諧 美、 簡 明美；可以以此為啟發(fā) ， 發(fā)揮 自己的 個 性和 創(chuàng) 造力， 親 自 動 手 設計圖 案。策略四：在解決問題中注重“ 圖形的運動 ”和相關知識的聯(lián)系，發(fā)展空間想象力和解決問題的能力第30頁/共36頁1策略四：在解決問題中注重“ 圖形的運動 ”和相關知識的聯(lián)系，發(fā)展空間想象力和解決問題的能力1. 從變換角度認識圖形在認識圖形的教學過程中，可以借助變換，動態(tài)直觀的刻畫圖形的屬性。例如：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓、長方體、正方體、圓錐等圖形，在認識他們的特征時可以通過平移、旋轉、對稱的變換，清晰直觀地發(fā)現(xiàn)圖形隱含著的特點。2. 從變換的角度理解度量小學階段，在平面幾何和立體幾何的面積和