第七章氣體一維高速流動(dòng)

1、第七章第七章 氣體一維高速流動(dòng)氣體一維高速流動(dòng)u 第一節(jié) 微弱擾動(dòng)波的傳播u 第二節(jié) 氣體一維定常等熵流動(dòng)u 第三節(jié) 氣體一維定常等熵變截面管流u 第四節(jié) 正激波 前幾章討論的是不可壓縮流體的流動(dòng)，例如對(duì)于液體，即使在較高的壓強(qiáng)下密度的變化也很微小，所以在一般情況下，可以把液體看成是不可壓縮流體。對(duì)于氣體來(lái)說，可壓縮的程度比液體要大得多。但是當(dāng)氣體流動(dòng)的速度遠(yuǎn)小于在該氣體中聲音傳播的速度（即聲速）時(shí)，密度的變化也很小。例如空氣的速度等于50m/s，這數(shù)值比常溫20下空氣中的聲速343m/s要小得多，這時(shí)空氣密度的相對(duì)變化僅百分之一。所以為簡(jiǎn)化問題起見，通常也可忽略密度的變化，將密度近似地看作是

2、常數(shù)，即在理論上把氣體按不可壓縮流體處理。當(dāng)氣體流動(dòng)的速度或物體在氣體中運(yùn)動(dòng)的速度接近甚至超過聲速時(shí)，如果氣體受到擾動(dòng)，必然會(huì)引起很大的壓強(qiáng)變化，以致密度和溫度也會(huì)發(fā)生顯著的變化，氣體的流動(dòng)狀態(tài)和流動(dòng)圖形都會(huì)有根本性的變化，這時(shí)就必須考慮壓縮性的影響。氣體動(dòng)力學(xué)就是研究可壓縮流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及在工程實(shí)際中應(yīng)用的一門科學(xué)。本章中僅主要討論氣體動(dòng)力學(xué)中一些最基本的知識(shí)。第一節(jié) 微弱擾動(dòng)波的傳播 一一. 微弱擾動(dòng)波的一維傳播微弱擾動(dòng)波的一維傳播 如圖7-1所示，在一個(gè)截面積為A、足夠長(zhǎng)的直圓管中充滿了靜止的氣體，將圓管左端的活塞以微小速度 向右輕微地推動(dòng)一下，使活塞右側(cè)的氣體壓強(qiáng)升高一個(gè)微小增量 ，

3、所產(chǎn)生的微弱壓強(qiáng)擾動(dòng)向右傳播?；钊麑⑹紫葔嚎s緊貼活塞的那一層氣體，這層氣體受壓后，又傳及下一層氣體，這樣依次一層一層地傳下去，就在圓管中形成一個(gè)不連續(xù)的微弱的壓強(qiáng)突躍，就是壓縮波mn，它以速度 向右推進(jìn)。壓縮波面mn是受活塞微小推移的影響而被擾動(dòng)過的氣體與未被擾動(dòng)過的靜止氣體的分界面。設(shè)在壓縮波前未被擾動(dòng)過的靜止氣體的壓強(qiáng)為 、密度為 、溫度為 ，波后已被擾動(dòng)過的氣體以與活塞的微小運(yùn)動(dòng)同樣的微小速度 向右運(yùn)動(dòng)，其壓強(qiáng)增高到 ，密度和溫度也相應(yīng)增加到 和 。 VdpdpdpTVdppddTTd圖7-1 微弱擾動(dòng)波的一維傳播 顯然，這是不定常流動(dòng)。為了得到定常流動(dòng)，可以設(shè)想觀察者隨波面mn一起以速

4、度c向右運(yùn)動(dòng)。氣體相對(duì)于觀察者定常地從右向左流動(dòng)，經(jīng)過波面速度由c降為c-dv，而壓強(qiáng)由p升高到p+dp，密度和溫度由 、 增加到 、 。如圖7-1(b)所示，取包圍壓縮波的控制面，根據(jù)連續(xù)性條件，在 時(shí)間內(nèi)流入和流出該控制面的氣體質(zhì)量應(yīng)該相等，即化簡(jiǎn)后，得 （7-1） 由于壓縮波很薄，作用在該波上的摩擦力可以忽略不計(jì)。于是對(duì)于控制面，根據(jù)動(dòng)量定理，沿氣體流動(dòng)的方向，質(zhì)量為 的氣體的動(dòng)量變化率等于作用在該氣體上的壓力之和，即或 （7-2） TdTT dt dtAVctAcd)d)(d(ddddcVAcAppptcVctAc)d(d)()d(dpcVd1d由式（7-1）和式（7-2）得由于是微弱

5、擾動(dòng)， 遠(yuǎn)小于 ，即 ，所以 （7-3）式（7-3）與物理學(xué)中計(jì)算聲音在彈性介質(zhì)中傳播速度（即聲速）的拉普拉斯公式完全相同?？梢姎怏w中微弱擾動(dòng)波的傳播速度就是聲速。在式（7-3）的推導(dǎo)過程中，并未對(duì)介質(zhì)提出特殊要求，故該式既適用于氣體，也適用于液體，乃至適用于一切彈性連續(xù)介質(zhì)。不同介質(zhì)的壓縮性不同，壓縮性小的擾動(dòng)波傳播速度高，壓縮性大的擾動(dòng)波傳播速度低，因此聲速值反映了流體可壓縮性的大小。式(7-3)是聲速的通用表達(dá)式，要計(jì)算某種流體中具有的聲速值，尚需確定 和 的關(guān)系，以求出 的值。ddd12pcd1ddd pcpddddp 由于微弱擾動(dòng)波的傳播過程進(jìn)行得很迅速，與外界來(lái)不及進(jìn)行熱交換，而且

6、其中的壓強(qiáng)、密度和溫度變化極為微小，所以這個(gè)傳播過程可以近似地認(rèn)為是一個(gè)可逆的絕熱過程，即等熵過程。假定氣體是熱力學(xué)中的完全氣體，則根據(jù)等熵過程關(guān)系式 =常數(shù)和完全氣體狀態(tài)方程 ，可得代入式（7-3），得 （7-4）pRTpRTppddRTpc為絕熱指數(shù)為氣體常數(shù)，J/(kgK)為熱力學(xué)絕對(duì)溫度，K對(duì)于空氣， , R= 287 J/(kgK)。4.1 由式（7-4）可知，氣體中的聲速隨氣體的狀態(tài)參數(shù)的變化而變化。于是在同一流場(chǎng)中，各點(diǎn)的狀態(tài)參數(shù)若不同，則各點(diǎn)的聲速也不同。所以聲速指的是流場(chǎng)中某一點(diǎn)在某一瞬時(shí)的聲速，稱為當(dāng)?shù)芈曀?。在?shí)際計(jì)算中，通常用氣體速度 與當(dāng)?shù)芈曀?的比值 來(lái)作為判斷氣體壓

7、縮性對(duì)流動(dòng)影響的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，即 （7-5） 稱為馬赫數(shù)，是一個(gè)無(wú)量綱數(shù)，也是氣體動(dòng)力學(xué)中一個(gè)重要參數(shù)。 我們常根據(jù)馬赫數(shù)的大小,把氣流分為亞聲速流 1，跨聲速流 1，超聲速流1 3等幾類。亞聲速流動(dòng)和超聲速流動(dòng)有許多顯著的差別，我們將在以后各節(jié)中逐一介紹。VcMaMaMaMaMaMacVMa 二二 微弱擾動(dòng)波的空間傳播微弱擾動(dòng)波的空間傳播 前面討論了微弱擾動(dòng)波的一維傳播，下面進(jìn)一步討論微弱擾動(dòng)波在空間流場(chǎng)中的傳播。 為了便于分析問題，假設(shè)流場(chǎng)中某點(diǎn)有一固定的擾動(dòng)源，每隔1s發(fā)生一次微弱擾動(dòng)，現(xiàn)在分析前3s產(chǎn)生的微弱擾動(dòng)波在空間的傳播情況。由于不論流場(chǎng)是靜止的還是運(yùn)動(dòng)的，是亞聲速的還是超聲速的，都

8、將對(duì)微弱擾動(dòng)波在空間的傳播情況產(chǎn)生影響，所以下面分四種情況來(lái)討論。1靜止流場(chǎng)(V=0) 在靜止流場(chǎng)中，擾動(dòng)源產(chǎn)生的微弱擾動(dòng)波以聲速c向四周傳播，形成以擾動(dòng)源所在位置為中心的同心球面波，微弱擾動(dòng)波在3s末的傳播情況如圖7-2(a)所示。如果不考慮微弱擾動(dòng)波在傳播過程中的損失，隨著時(shí)間的延續(xù)，擾動(dòng)必將傳遍整個(gè)流場(chǎng)。也就是說，微弱擾動(dòng)波在靜止氣體中的傳播是無(wú)界的。 2亞聲速流場(chǎng)(Vc) 在亞聲速流場(chǎng)中，擾動(dòng)源產(chǎn)生的微弱擾動(dòng)波在3s末的傳播情況如圖7-2(b)所示。由于擾動(dòng)源本身以速度運(yùn)動(dòng)，故微弱擾動(dòng)波在各個(gè)方向上傳播的絕對(duì)速度不再是當(dāng)?shù)芈曀賑，而是這兩個(gè)速度的矢量和。這樣，球面擾動(dòng)波在順流和逆流方向

9、上的傳播就不對(duì)稱了。但是由于Vc） 在超聲速流場(chǎng)中，擾動(dòng)源產(chǎn)生的微弱擾動(dòng)波在3s末的傳播情況如圖7-2(d)所示。由圖可見，由于vc，所以相對(duì)氣流傳播的擾動(dòng)波不僅不能向上游傳播，反而被氣流帶向擾動(dòng)源的下游，所有擾動(dòng)波面是自擾動(dòng)源點(diǎn)出發(fā)的圓錐面的一系列內(nèi)切球面，這個(gè)圓錐面就是馬赫錐。隨著時(shí)間的延續(xù)，球面擾動(dòng)波不斷向外擴(kuò)大，但也只能在馬赫錐內(nèi)傳播，永遠(yuǎn)不會(huì)傳播到馬赫錐以外的空間。也就是說，微弱擾動(dòng)波在超聲速氣流中的傳播也是有界的，界限就是馬赫錐。 馬赫錐的半頂角，即圓錐的母線與氣流速度方向之間的夾角，稱為馬赫角，用 表示。由圖7-2(d)可以容易地看出，馬赫角 與馬赫數(shù) 之間的關(guān)系為 （7-6）馬

10、赫角從90這時(shí)相當(dāng)于擾動(dòng)源以聲速V=c流動(dòng)的情況，如圖7-2(c)所示 開始，隨著馬赫數(shù)的增大而逐漸減小。由于圓錐頂就是擾動(dòng)源，所以當(dāng)物體以超聲速運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所引起的擾動(dòng)不能傳到物體的前面。馬赫錐外面的氣體不受擾動(dòng)的影響，微弱擾動(dòng)波的影響僅在馬赫錐內(nèi)部，即微弱擾動(dòng)波不能向馬赫錐外傳播。這就說明了，為什么以超聲速飛行的彈丸在附著于它頭部的波未到達(dá)觀察者的耳朵以前聽不到聲音的原故。MaMaVc1sin 上述關(guān)系也適用于氣流流過一靜止微小障礙物時(shí)的情況。假如氣體以與上述擾動(dòng)源的運(yùn)動(dòng)速度數(shù)值相等而方向相反的速度作等速直線運(yùn)動(dòng)，則擾動(dòng)源就成為靜止微小障礙物，即圖7-2中的3點(diǎn)就是靜止擾動(dòng)源，而擾動(dòng)源所發(fā)出

11、的擾動(dòng)波（圖中的各圓）不斷地被氣流以速度-V帶走。很明顯，在 （即 ）的亞聲速流動(dòng)時(shí)，帶走的各擾動(dòng)波在一定時(shí)間后可達(dá)到空間中的任何一點(diǎn)。也就是說，擾動(dòng)波不僅能順流傳播，而且也能逆流傳播。但在 （即 ）的超聲速流動(dòng)時(shí)，帶走的各擾動(dòng)波只能在馬赫錐內(nèi)順流傳播，不能逆流傳播，也就是說在超聲速流動(dòng)中的微弱擾動(dòng)不能傳播到整個(gè)空間。這就是超聲速流動(dòng)和亞聲速流動(dòng)的一個(gè)重要差別，從而使這兩種流動(dòng)的圖形有著根本的不同。cV 1MacV 1Ma第二節(jié) 氣體一維定常等熵流動(dòng) 在討論不可壓縮流體流動(dòng)時(shí)，應(yīng)用連續(xù)性方程和伯努利方程就可以對(duì)許多問題求解。但是對(duì)于可壓縮流體氣體流動(dòng)僅僅應(yīng)用上面兩個(gè)基本方程還不足以求解，因?yàn)橛?/p>

12、于氣體密度的變化必然會(huì)引起熱力學(xué)狀態(tài)發(fā)生相應(yīng)的變化。就是說在氣流流動(dòng)中，不僅它的力學(xué)狀態(tài)在發(fā)生變化，而且熱力學(xué)狀態(tài)也在隨著改變。因此必須把熱力學(xué)中的狀態(tài)方程和過程方程一并考慮，才能解決氣體流動(dòng)問題。 本節(jié)將只討論氣體的一維定常等熵流動(dòng)，即假定氣體是完全氣體，在流動(dòng)過程中與外界無(wú)熱交換，摩擦影響很小可以忽略不計(jì)。在一般情況下還認(rèn)為各參數(shù)僅在一個(gè)方向上有顯著的變化，而且變化是連續(xù)的、不隨時(shí)間而變化，這就是一維定常等熵流動(dòng)。在許多實(shí)際流動(dòng)問題中，例如氣體在噴管、擴(kuò)壓管和短葉柵中的流動(dòng)都可以近似地認(rèn)為是一維定常等熵流動(dòng)。 一、氣體一維定常流動(dòng)的基本方程一、氣體一維定常流動(dòng)的基本方程 1連續(xù)性方程 由于

13、氣體的密度在流動(dòng)中是發(fā)生變化的，所以它的連續(xù)性方程不能像不可壓縮流體那樣按體積流量來(lái)計(jì)算，而需要用質(zhì)量流量來(lái)計(jì)算，即氣體在流管中流動(dòng)時(shí)，每單位時(shí)間內(nèi)流過流管中任意兩個(gè)有效截面的質(zhì)量流量必定相等，即 (7-7)也可以把連續(xù)性方程寫成微分形式，即對(duì)式(7-7)取對(duì)數(shù)后微分，得 (7-8)常數(shù)VAAVAV2221110dddAAVV 2能量方程 由于氣體的密度很小，所以質(zhì)量力可以忽略不計(jì)。氣體是一維定常流動(dòng)，并令 ， ，則歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程可寫成或 （7-9）將式（7-9）沿流管（或流線）進(jìn)行積分，得對(duì)于等熵流動(dòng)，將等熵過程關(guān)系式 常數(shù)，代入上式，得完全氣體一維定常等熵流動(dòng)的能量方程為 （7-10）顯

14、然，這個(gè)方程只能用于可逆的絕熱流動(dòng)。Vu 0wvxpxVVdd1dd0d1dpVV常數(shù)2d2Vpp常數(shù)212Vp熱力學(xué)第一定律用于流體流動(dòng)的能量關(guān)系式為在絕熱流動(dòng)的條件下， ，上式可寫成 ，積分可得能量方程的另一表達(dá)式 （7-11）這個(gè)方程可用于可逆的絕熱流動(dòng)，也可用于不可逆的絕熱流動(dòng)，即式（7-11）在熵有增加（有摩擦或其他不可逆因素）的絕熱流動(dòng)中也是正確的。因?yàn)樵谂c外界無(wú)熱交換的絕熱過程中，消耗于抵抗摩擦所作的功完全轉(zhuǎn)換為熱能，該熱能重又加入氣流中，使氣流中的熵增加。所以在絕熱流動(dòng)中總能量不變，摩擦損失的存在只會(huì)使氣流中不同形式的能量重新分配，即一部分機(jī)械能不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能，因而能量方程

15、（7-11）的形式不變。VVhqddd0d q0ddVVh常數(shù)22Vh 對(duì)于完全氣體，存在下列關(guān)系代入式（7-11），也可得到與式（7-10）同一形式的完全氣體一維定常等熵流動(dòng)的能量方程。現(xiàn)在來(lái)分析一下這個(gè)方程中各項(xiàng)的物理意義，可將式（7-10）改寫成 （7-12）根據(jù)熱力學(xué)可知，對(duì)于完全氣體上式第一項(xiàng)是單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能u，即ppcccpRcTchVpppp1uTcpRcpcccpVVVpV1常數(shù)212Vpp而式（7-12）的后兩項(xiàng)是單位質(zhì)量氣體的壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能。所以完全氣體一維定常等熵流動(dòng)的能量方程的物理意義是：在完全氣體一維定常等熵流動(dòng)中，氣流流管任一有效截面（或流線的任一點(diǎn)）上單

16、位質(zhì)量氣體的壓強(qiáng)勢(shì)能、動(dòng)能和內(nèi)能之和保持不變。 由于 ，代入式（7-10）得到完全氣體能量方程的又一個(gè)表達(dá)式 （7-13）2cp常數(shù)2122Vc二、滯止參數(shù)二、滯止參數(shù) 在實(shí)際工程上，為了分析和計(jì)算流動(dòng)問題方便起見，常使用滯止參數(shù)這個(gè)概念，而且由于它比較容易測(cè)量，所以滯止參數(shù)得到廣泛的應(yīng)用。設(shè)想氣體流過流管的兩個(gè)有效截面時(shí)，在一個(gè)截面上完全滯止下來(lái)，也就是說，在這個(gè)截面上的氣流速度等于零。則這個(gè)截面上的氣流狀態(tài)稱為滯止?fàn)顟B(tài)，滯止?fàn)顟B(tài)下各相應(yīng)參數(shù)稱為滯止參數(shù)，分別以 、 、 、 等表示之。氣體繞過一個(gè)物體時(shí)，在駐點(diǎn)處氣流受到阻滯，速度等于零，這一點(diǎn)的氣流狀態(tài)也是滯止?fàn)顟B(tài)。在滯止?fàn)顟B(tài)下式（7-10

17、）、式（7-11）和式（7-13）可寫成 （7-14） （7-15） （7-16）0p00T0c常數(shù)000021121TcRTpVpp常數(shù)022hVh常數(shù)1212022cVc 由式（7-14）和式（7-15）可知，在滯止?fàn)顟B(tài)下氣流的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，可以用滯止?表示之，它表示單位質(zhì)量的氣流所具有的總能量，稱為總焓。式（7-15）又可改寫成 （7-17）上式表明，滯止溫度要比氣流的溫度T高出 ，對(duì)于 J/（kgK）的空氣，則高出022TcVTp00TchppcV221005pc201020VTTT例如速度為100m/s的空氣流，滯止溫度超過氣流的溫度約5K，也即約5?？梢?，將一個(gè)帶小玻璃球的

18、普通水銀溫度計(jì)或熱電偶溫度計(jì)放在氣流中來(lái)測(cè)量氣流的溫度，讀出的溫度比氣流的溫度T要高。但小玻璃球上駐點(diǎn)處的溫度雖達(dá)到滯止溫度，但其上的其他各點(diǎn)的溫度升高要小一些，所以普通水銀溫度計(jì)上讀出的平均溫度比滯止溫度稍低一些。因此用任何靜止溫度計(jì)都不能直接測(cè)得氣流的真實(shí)溫度了，只有用與氣流同樣速度運(yùn)動(dòng)的溫度計(jì)才能直接測(cè)得 利用關(guān)系式 和 可將式（7-17）改寫為或 （7-18）對(duì)于等熵氣流 和Rcp1RTVcVMa222202211TMaT20211MaTT100TTpp1100TT將式（7-18）代入上兩式，得 （7-19） （7-20）這樣，只要知道氣流的滯止參數(shù)和 值，就可由式（7-18）、式（7

19、-19）和式（7-20）以及 ，求得流管內(nèi)氣流在某指定截面上的溫度 、壓強(qiáng) 、密度 和速度 。反之，若已知 、 、 和 也可求得 、滯止參數(shù) 、 和 。所以這三個(gè)公式是計(jì)算氣體一維定常等熵流動(dòng)問題的基本公式。120211Mapp1120211MaMaRTVMa22TpVTpVMa0T0p0第三節(jié) 氣體一維定常等熵變截面管流 一、氣流速度與密度的關(guān)系一、氣流速度與密度的關(guān)系 由一維流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 （7-9）得 變形得 （7-21）由式（7-21）和能量方程式（7-9）可看出：（1）不管Ma1，或 Ma 0，則 0， 0；反之 0， 0。這說明加速氣流（ 0），必引起壓強(qiáng)降低（ 0）和氣體膨

20、脹（ 0）；而減速氣流（ 0）和氣體壓縮（ 0），即氣體流動(dòng)伴隨著密度的變化。亞聲速氣流和超聲速氣流都具有上述性質(zhì)，但當(dāng) 不同時(shí)， 與 的變化值不同。0d1dpVVddddd2cpVVVVMaVVcVcVVdddd2222VdpddVdpddVdVdpdpdddVVddMa（2）Mal時(shí)密度相對(duì)變化量是小于速度的相對(duì)變化量，即 1時(shí)，密度的相對(duì)變化量大于速度的相對(duì)變化量，即 。 這種亞聲速和超聲速在變化數(shù)量上的差別，導(dǎo)致了亞聲速和超聲速在速度與通道截面形狀關(guān)系上本質(zhì)的差別。dVVddVVd二、氣流速度與通道截面的關(guān)系二、氣流速度與通道截面的關(guān)系由一維流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（7-9），并利用 和得

21、以上兩式與連續(xù)性方程的微分形式（7-8）各聯(lián)立一次，消去 和 ，得到氣體的壓強(qiáng)變化率和速度變化率與通道截面變化率的兩個(gè)關(guān)系式，即 （7-22） （7-23）pMaMacVdd2pc0d1ddd22ppMaVVVpVV0d1dddd1d22MaVVpVVVVVddAAMaMappd1d22AAMaVVd11d2（1）Ma1，超聲速流動(dòng)。 與 異號(hào)，而 與 同號(hào)。當(dāng)壓強(qiáng)降低時(shí)，通道截面積隨著氣流速度的增加而擴(kuò)大，這就是超聲速噴管。這是由于超聲速氣體在壓強(qiáng)下降時(shí)，密度劇烈減小、體積迅速增大，這時(shí)通道截面積必須擴(kuò)大，才能使劇烈膨脹的加速氣流通過。反之，當(dāng)壓強(qiáng)升高時(shí)，通道截面積隨著氣流速度的減小而縮小，

22、這就是超聲速擴(kuò)壓管。由式（由式（7-22）和式（）和式（7-23）可以得到三個(gè)重要結(jié)論：）可以得到三個(gè)重要結(jié)論：ppdppdAAdAAdAAdAAdVVdVVd（3） =1，這時(shí) 。從以上兩種情況知道，當(dāng)降壓加速的氣流由亞聲速連續(xù)變?yōu)槌曀贂r(shí)，通道截面先收縮后擴(kuò)大，在最小截面（ ）處速度達(dá)到聲速（ ），該最小截面稱為臨界截面，也稱為喉部截面，簡(jiǎn)稱喉部。當(dāng)升壓減速的氣流由超聲速連續(xù)地變?yōu)閬喡曀贂r(shí)，通道截面也是先收縮后擴(kuò)大，在最小截面處速度達(dá)到聲速。在臨界截面上的相應(yīng)參數(shù)稱為臨界參數(shù)，分別以 、 和 等表示之?？蓪?代入式（7-18）、式（7-19）和式（7-20），得到臨界截面上氣流的臨界溫度、

23、臨界壓強(qiáng)和臨界密度各與滯止溫度、滯止壓強(qiáng)和滯止密度之間的關(guān)系式 （7-24） （7-25） （7-26）常用氣體的物理性質(zhì)見表7-2。Ma0dAcV0dATp1Ma012TT0112pp0112表表7-1 氣流參數(shù)變化與通道截面變化之間關(guān)系氣流參數(shù)變化與通道截面變化之間關(guān)系表表7-2 常用氣體的物理性質(zhì)（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)、常用氣體的物理性質(zhì)（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)、20） 三、氣體經(jīng)漸縮噴管和縮放噴管的流動(dòng)三、氣體經(jīng)漸縮噴管和縮放噴管的流動(dòng) 由上面可知，要使氣流加速，當(dāng)流速尚未達(dá)到當(dāng)?shù)芈曀贂r(shí)，噴管截面應(yīng)逐漸收縮，直至流速達(dá)到當(dāng)?shù)芈曀贂r(shí)，截面收縮到最小值，這種噴管稱為漸縮噴管。漸縮噴管出口處的流速最大只能達(dá)到

24、當(dāng)?shù)芈曀?。要使氣流從亞聲速加速到超聲速，必須將噴管做成先逐漸收縮而后逐漸擴(kuò)大形（在最小截面處流速達(dá)到當(dāng)?shù)芈曀伲?，這種噴管稱為縮放噴管?？s放噴管是瑞典工程師拉伐爾（de Laval）在研制汽輪機(jī)時(shí)發(fā)明的，所以又稱為拉伐爾噴管。這種利用管道截面的變化來(lái)加速氣流的幾何噴管，在汽輪機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)、噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)和流量測(cè)量中被廣泛地應(yīng)用，本節(jié)以完全氣體為對(duì)象，來(lái)討論漸縮噴管和縮放噴管基本設(shè)計(jì)關(guān)系式。 1、漸縮噴管 假定氣體在等熵條件下從大容器中經(jīng)漸縮噴管流出，如圖7-3所示。由于容器的容量很大，可近似地把容器中的氣體速度看作是零（ ），即容器中的氣體處于滯止?fàn)顟B(tài)（ 、 、 ），而噴管出口截面上的氣流參數(shù)為 、

25、 和 。對(duì)0-0，2-2截面列一維定常等熵流動(dòng)的能量方程（7-10），得 或 00V0p00T2p22T211222200Vpp2002002112pppV圖7-3 漸縮噴管 將等熵過程關(guān)系式代入上式，得出口截面處的流速為或又 ，則出口截面上的馬赫數(shù)為 （7-29）2200pp或12020pp102002112pppV112120222pppV222pc112120222pppMa222AVqm2A通過噴管的質(zhì)量流量式中 噴管出口截面積。將 和式（7-27）代入上式，得 (7-30）10202pp1020021020112pppAppqm102202002012pppppA由上式可知，當(dāng)氣體的

26、滯止參數(shù)和噴管的出口截面積保持不變時(shí).質(zhì)量流量 僅隨壓強(qiáng)比 而變化，由式（7-30）描繪出的 與 的關(guān)系曲線如圖7-4（a）所示。mq02ppmq02pp圖7-4 氣體流過漸縮噴管時(shí)流量與設(shè)計(jì)出口壓強(qiáng)和環(huán)境壓強(qiáng)的變化 當(dāng)氣體經(jīng)過設(shè)計(jì)成的漸縮噴管時(shí)，實(shí)際上質(zhì)量流量 隨著 而變化, 為噴管出口截面外的氣流壓強(qiáng)，稱為環(huán)境壓強(qiáng)。 與 的關(guān)系曲線如圖7-4（b）所示， 與圖7-4（a）中的 - 曲線相比，兩者有明顯的差異。從中我們得到如下結(jié)論： mq0ambppambpmq0ambppmq（1） = =1到 最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)與 相比，兩曲線ab完全吻合。02pp0ambppmq（2） =1時(shí)， =0，

27、即當(dāng)噴管的進(jìn)、出口壓強(qiáng)相等時(shí)，氣體不流動(dòng)，出口馬赫數(shù) 。0ambppmq02Ma02ppmq（3） l時(shí)， 逐漸降低，出口馬赫數(shù) 逐漸增加， 沿曲線ab逐漸增加，當(dāng)出口截面上的流速增加到聲速時(shí)，即時(shí)，流量達(dá)到最大值 ，此時(shí)的壓強(qiáng)比 稱為臨界壓強(qiáng)比 ?？捎上路ㄇ蟮茫磳?代入式（7-29），得臨界壓強(qiáng)比 （7-31） 也可通過直接對(duì)式（7-30）求導(dǎo)，并令 的方法求得。 再將式（7-31）代入式（7-30）和式（7-27）中，即分別得到臨界流量 ，也就是最大流量 和臨界速度 （也稱為臨界聲速 ）. （7-32） （7-33） 0ambpp0ambpp2Ma12Mamqmq0ambpp12Mama

28、xq100212ppppp0dd2pqmmqVcmaxmq)1(21002max12pAqqmm0012pcV（4） 從 再繼續(xù)降低，即 ，則在整個(gè)噴管內(nèi)部是亞聲速氣流，如圖7-5中ODE曲線所示，這時(shí)的縮放噴管相當(dāng)于文丘里管。 ambp2p0pambp0pambp0pambp0p1pp1pp圖7-5 縮放噴管內(nèi)的壓強(qiáng)和流量變化返回(2)返回(4) （3）如果環(huán)境壓強(qiáng) 繼續(xù)下降到使最小截面上的壓強(qiáng)達(dá)到臨界壓強(qiáng) ，則流量達(dá)到如式（7-34）所示的最大值 這時(shí)在噴管擴(kuò)張部分可能有兩種流動(dòng)狀況：當(dāng) = （ 為噴管中氣流只在喉部達(dá)到聲速其余全為亞聲速時(shí)出口截面的壓強(qiáng)）時(shí)，在整個(gè)噴管擴(kuò)張部分中仍然都是亞

29、聲速氣流，如圖7-5中OCF曲線所示；而當(dāng)環(huán)境壓強(qiáng)等于噴管出口截面上的設(shè)計(jì)壓強(qiáng)時(shí)，即 = ，在整個(gè)噴管的擴(kuò)張部分中都是超聲速氣流，如圖705中OCJ曲線所示，即氣流在縮放噴管內(nèi)壓強(qiáng)從 下降到 （即亞聲速連續(xù)變到超聲速）的連續(xù)變化曲線。ambppmaxmqambpmp2mp2ambp2p2p0p（4）當(dāng)環(huán)境壓強(qiáng)在 和 之間，即 ，氣流在擴(kuò)張部分會(huì)出現(xiàn)壓強(qiáng)的不連續(xù)變化，也就是形成一個(gè)所謂正激波，正激波的位置隨著 的下降，從最小截面處移到噴管出口處， 就是正激波移到噴管最小截面時(shí)的出口壓強(qiáng)，氣流通過正激波從超聲速變成亞聲速，一直到出口截面處，如圖7-5中OCS1S2H線所示。 顯然，對(duì)于縮放噴管，只

30、要 ，不論環(huán)境壓強(qiáng) 怎樣變化，氣流通過縮放噴管的流量將始終保持為最大流量，這是由于噴管最小截面處的臨界參數(shù)沒有變化；當(dāng) 時(shí)，流量將減?。划?dāng) = 時(shí)，流量等于零. 如圖7-5的右圖所示。mp2mp2mp2mp2mp22p2pambpambpambpambpambpambp0p第四節(jié) 正 激 波 一、正激波形成一、正激波形成 本節(jié)以氣體中的微弱擾動(dòng)波在直圓管中傳播的情況為例來(lái)說明正激波形成的物理過程。 如圖7-6所示，在一個(gè)充滿靜止氣體的直圓管中，活塞向右作加速運(yùn)動(dòng)，活塞右側(cè)的靜止氣體受壓后被擾動(dòng)形成一個(gè)壓縮波向右移動(dòng)，已被擾動(dòng)的氣體的壓強(qiáng)從 升高到 ，設(shè) - 是一個(gè)有限的壓強(qiáng)量。為了分析方便起見

31、，假定把這個(gè)有限的壓強(qiáng)增量看作是無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)限小壓強(qiáng)增量dp的總和。于是，可認(rèn)為在活塞右側(cè)形成的壓縮波是一系列微弱擾動(dòng)波連接而成的。每一個(gè)微弱擾動(dòng)波壓強(qiáng)增加dp。當(dāng)活塞開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，第一個(gè)微弱擾動(dòng)波以聲速 傳到未被擾動(dòng)的靜止氣體中去，緊跟著第二個(gè)微弱擾動(dòng)波以聲速 傳到已被第一個(gè)微弱擾動(dòng)波擾動(dòng)過的氣體中去。 1p2p2p1p1c2c圖7-6 在圓管中正激波的形成過程 顯然，被第二個(gè)微弱擾動(dòng)波擾動(dòng)過的氣體中的壓強(qiáng)、密度和溫度都比被第一個(gè)微弱擾動(dòng)波擾動(dòng)過的氣體中的相應(yīng)參數(shù)略大一些，根據(jù) ，因此 ，也就是說第二個(gè)微弱擾動(dòng)波的聲速比第一個(gè)微弱擾動(dòng)波的聲速略快一些。與此相類似，第三個(gè)微弱擾動(dòng)波又以比第二個(gè)略快一

32、些的聲速（ ）向右傳播，。如果在某一時(shí)刻波形如圖7-6（a）所示，經(jīng)過一段時(shí)間后，后面的微弱擾動(dòng)波一個(gè)一個(gè)追趕上前面的波，波形變得愈來(lái)愈陡，最后疊加成一個(gè)垂直于流動(dòng)方向的具有壓強(qiáng)不連續(xù)面的壓縮波，這就是正激波，如圖7-6（c）所示。氣流通過激波除壓強(qiáng)突躍地升高外，密度和溫度也同樣突躍地增加，而速度則下降。發(fā)生這種突躍地不連續(xù)變化是在與氣體分子平均自由行程同一數(shù)量級(jí)（在空氣中約310-4mm左右）內(nèi)完成的，也可以說，各氣流參數(shù)是在一個(gè)極小的激波厚度內(nèi)連續(xù)地進(jìn)行變化的。當(dāng)然也可以認(rèn)為，是在一個(gè)幾何面上突然變化的；這就是說，可以把激波看作是一個(gè)不連續(xù)的間斷面，氣流參數(shù)通過激波的變化是突躍的，不連續(xù)的

33、。 RTc2c1c3c2c 二、正激波前后氣流參數(shù)二、正激波前后氣流參數(shù) 如圖7-7所示，正激波前和正激波后各氣流參數(shù)的下標(biāo)分別為1和2。由于圓管的截面積不變，所以連續(xù)性方程可寫成 （a） 若忽略摩擦的影響，則動(dòng)量方程可寫成 或 （b） 氣流通過激波時(shí)受到急劇地壓縮，由于其時(shí)間極短，所產(chǎn)生的熱量來(lái)不及外傳，故使氣流的熵增加。所以氣流通過激波時(shí)的突躍壓縮過程是一個(gè)不可逆的絕熱過程。于是，氣流在激波前后的總能量相等，并保持不變，對(duì)于完全氣體能量方程可寫成 （c）或 （d）式中臨界聲速 也保持不變。2211VV)(121121VVVpp22222111VpVp常數(shù)022212122TcTcVTcVp

34、pp常數(shù)2111121220022221121cppVpVc圖7-7 正激波將氣體狀態(tài)方程應(yīng)用與正激波前、后的狀態(tài)，得 （e）將式（b）的兩邊各除以式（a）的兩邊，得 （f）由能量方程（d）可得 （g） （h）將式（g）和（h）代入式（f），簡(jiǎn)化后得由于 ，所以 （7-35）這就是著名的普朗特公式，再由動(dòng)量方程（b）和連續(xù)性方程（a）可知)(112212TTRpp2122222111VVVpVp212111121Vcp222221121Vcp2122112cVVVVVV12VV 221 cVV12211222211121VVVVVpp 由于激波是壓縮波，即 ，因此 。所以由式（7-35）可得重

35、要結(jié)論：若正激波前是超音速流，則在正激波后必定是亞音速氣流。由于 和 ，則式（b）可改寫成所以 （7-36）又由 代入式（c）得 （i）再由于 ，所以式（i）可寫成 （7-37）2p1p2V1Vpc2cVMa 21122221122221MapMapVVpp22211211MaMappRTMacMaV222211212121TcRTMaTcRTMappRcp12221222112121112112121MaMaMacMacTTpp由狀態(tài)方程和式（a）所以 （7-38）現(xiàn)將式（7-36）和式（7-37）代入式（7-38）得或 1211221122211212RTRTMapMapVpVpppTT2

36、112212MapMapTT2122222122211112111211MaMaMaMaMaMa422121221211121MaMaMaMa2122212122121121MaMaMaMaMa021121Ma簡(jiǎn)化成或 （7-39）式（7-39）最簡(jiǎn)單但無(wú)意義的解是 ，即上、下游的馬赫數(shù)相等，無(wú)正激波存在的情況。式（7-39）的另一個(gè)解就是正激波前、后馬赫數(shù)的關(guān)系式 （7-40）0211121212122414221MaMaMaMaMaMa0211212122212122MaMaMaMaMa21MaMa 21211212122MaMaMa將式（7-40）代入式（7-36）和式（7-37），得

37、（7-41） （7-42）再將式（7-41）和式（7-42）代入式（7-38），得 （7-43）式（7-40）至（7-43）表示正激波前、后各氣流參數(shù)之比都是波前馬赫數(shù)的函數(shù)。所以，當(dāng)波前各氣流參數(shù)已知時(shí)，就可以從這些公式求得波后各氣流參數(shù)之值。1122112Mapp111121212121212MaMaMaTT21212112112MaMaVV第五節(jié) 應(yīng) 用 舉 例 【例例7-1】 空氣從大容器經(jīng)喉部直徑為25mm的縮放噴管流向大氣，設(shè)大容器中的計(jì)示壓強(qiáng)和溫度各為690kPa和40，大氣壓強(qiáng) 101.3kPa（abs.）。若不計(jì)空氣流過噴管時(shí)的損失，試求臨界流速、出口流速、出口馬赫數(shù)和出口截

38、面的直徑以及 。空氣 J/（kgK）， 1.4。 解析 【例例7-2】 在亞聲速飛行的飛機(jī)上，裝有皮托管和靜壓管，用來(lái)測(cè)量飛機(jī)的飛行速度。今測(cè)得大氣的靜壓 0.75105Pa，氣溫 -10，動(dòng)壓 0.25105Pa。試計(jì)算飛機(jī)的飛行速度。 解析pt0pmp2287Rpp0 【例例7-3】 核爆炸產(chǎn)生的爆震波（激波）以16000m/s的速度在靜止的大氣中傳播，原來(lái)空氣的壓強(qiáng)為1.0133105Pa，溫度為300K，試計(jì)算： (1)激波相對(duì)靜止空氣的馬赫數(shù) ； (2)激波后相對(duì)靜止觀察者的壓強(qiáng)和溫度的滯止值。 解析【解解】 空氣的臨界壓強(qiáng)由式（7-25） 0.528（690+101.3）=417.

39、7（kPa）而 101.3kPa，于是 ，故采用縮放噴管。 空氣的氣體常數(shù) J/（kgK），則 （kg/m3）臨界流速由式（7-33） （m/s）出口速度為 返回【例例7-1】*p2p*2pp 287R81. 8)40273(28710) 3 .101690(3000RTp32481. 810) 3 .101690(08. 108. 1300*pcV102002112pppV4 . 114 . 133 .1016903 .101181. 810) 3 .101690(14 . 14 . 12528（m/s）空氣的定壓比熱 J/（kgK），則 ，由式（7-11）所以 K=-99出口馬赫數(shù)為通過噴

40、管的流量為 1005pcTchp200222212VTcVTcpp)(2202022TTcVVp00V)40273(1005252822T1742T21742874 . 1528222cVMa)1(2100*max12pAqqm) 14 . 1 (214 . 13214 . 1281. 810) 3 .101690(4 . 114. 310002541887. 0（kg/s）返回【例例7-1】出口密度為 （kg/m3）出口截面積為 （m2）出口直徑為 （m） （mm）可由式（7-30）求得經(jīng)試算，得=0.909，則029. 2174287103 .1013222RTp000828. 0528029. 2887. 0222VqAm0325. 014. 3000828. 04422Ad5 .3210220200212pppppAqmmm4 . 114 . 1024 . 1202381. 810) 3 .101690(