數(shù)列求和7種方法方法全_例子多

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應的練習）一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減 法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法n1,八3、Snkn(n 1)k 125、Snnk31 2丁(n 1)2k 12例1已知x1 2,求 x x2解:由等比數(shù)列求和公式得g an)2na1n(n21)dna1(q1)a1 (1 qn1 q)a11anqq(q1)4、Snnk2k 111

2、n(n 1)(2n1)63xnx的前n項和Snx x2x3nx（利用常用公式）x(1x )=2(11)2n) = 1 1 1 2n21x11、 等差數(shù)列求和公式：Sn2、 等比數(shù)列求和公式：Sn例 2設 S= 1+2+3+ +n, n N,求 f (n)Sn(n 32)Sn i的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得Sn】n(n21),1Sn-(n 1)( n 2)2 f(n)Sn n(n32) Sn 12 n34n 64 1 1164 n 34 -n(n,n)5050當n8 ，即 n= 8 時，fn(n) max150（利用常用公式）二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的

3、方法，這種方法主要用于求數(shù)列項和，其中 a n 、 b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3（2n 1）xn 1解：由題可知， （2n 1）xn1的通項是等差數(shù)列2n 1的通項與等比數(shù)列 xn設 xSn 1x 3x2 5x3 7x4一得（1 x）Sn 1 2x 2x2再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1(2n1)xn2x32x42xn1(2n1)xnx)Snn 1 c 1 x1 2x1 x(2n1)xna n bn的前 n1的通項之積（設制錯位）（錯位相減）Sn(2n 1)xn 1(2n1)xn (1 x)(1 x)2例4求數(shù)列2上2目 也，前n項的和2'

4、;2 ' 2 ' '2n解：由題可知,設Sn22222空 2n4尹423的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列1三的通項之積2_6_尹6242n2n2* 11一得（1）Sn22.2223_422nnn2222 22 212n22n12n1n 2Sn42n1（設制錯位）（錯位相減）練習題 1 已知，求數(shù)列 an的前n項和S.答案：練習題的前 n 項和為答案：、逆序相加法求和這是推導等差數(shù)列的前 n 項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序） ，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個 (a1an).例5 求證： Cn0 3Cn15Cn2(2n1)Cnn證明： 設 S

5、n Cn03C1n5Cn2(2n把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn (2n 1)Cnn (2n 1)Cnn 1 又由 Cnm Cnn m 可得Sn (2n 1)Cn0 (2n 1)Cn1+得 2Sn (2n 2)(Cn0 C1n(n 1)2ni)cn. 3Cn1 Cn0（反序）n1 n3CnCn. Cnn 1 Cnn) 2(n 1) 2n（反序相加）Sn(n1) 2題 1 已知函數(shù)1）證明：2）求的值 .解：（ 1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊2）利用第（ 1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得：所以四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為

6、幾個等差、常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1丄a例7求數(shù)列的前n項和：11解：設 Sn (11)(a4)4,4t 7,a1(p 7) a1n 1a(丄a3n 2，3n 2)等比或?qū)⑵涿恳豁棽痖_再重新組合得1Sn (1 一a當a = 1時,Sn1F)(1 a(3n1)n3n 2)當a 1時,例 8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)(3n1)n（分組）（分組求和）(3n 1)n的前n項和.解：設 akk(k 1)(2k 1)2k33k2(3n 1)n2nSn k(k 1)(2kk 11)n(2 k313k2k)將其每一項拆開再重新組合得nS= 2k3k 1k2（分組）=2(1323n3) 3(

7、1222n2) (1 2n)五、裂項法求和2 2n (n 1)22n(n 1) (nn(n 1)(2 n 1) n(n 1)2)（分組求和）這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n )2(2n 1)(2 n 1)1 112(2n 12n 1)(5)ann(n 1)( n 2)12n(n 1)(nann 21n(n 1) 2n2(n1) nn

8、(n 1)12n1 1n 1nn 2 (n 1)2,則Sn1(n 1)2n(7)(8)例9anan(An B)(A n C) C B( A n B1AnC)求數(shù)列1解：設an則Sn的前n項和.（裂項）（裂項求和）=(.2 .1)(.3(. n 1、n）例10在數(shù)列an中，an2an an 1求數(shù)列b n的前n項的和.解:ann 12n n 12（裂項）數(shù)列b n的前n項和11Sn8(1-)(221=8(1 )=n 113)8nn 11 1(3 4)1(-nG)（裂項求和）（2009年廣東文）20.（本小題滿分14分)(n) c,.Sn1 n 1 1 n ,Snn2當n 2,bn&Si

9、12n 1 2n 1 ；1已知點（1,丄）是函數(shù)f（x） ax（a 0,且a 1）的圖象上一點，等比數(shù)列%的前n項和為3數(shù)列bn(bn 0)的首項為c,且前n項和Sn滿足S*Sn1 =Sn+ .Sn1(n 2)（1）求數(shù)列an和bn的通項公式;0.【解析】(1)1 » f 1Ia153f x1 %312a1f 1 cc , a2f2 cf 1 c539a3f 3cf 2c2274又數(shù)列ar,成等比數(shù)列，a12a.2 1c，所以c 1 ;a323 327又公比qa2-，所以an2 _-n 121n*n Na133 ；331 bSnSn1忑JSn 1怎Sn 1怎Sn 1n2又bn050,

10、 & 1 1;11000（2）若數(shù)列前n項和為Tn，問Tn>-000的最小正整數(shù)n是多少bn bn 12009數(shù)列、Sn構(gòu)成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列,bn 2n 1( n N)；（2）Tnb|b2b?b3bsb47 HI(2n 1)12n 1由Tn練習題112n2n 11.1000 得2009 寸HI2n 112n 112n 1n;2n 11000，滿足Tn 1000的最小正整數(shù)為92009112.練習題2。答案:求數(shù)列通項公式的常用方法(1)求差(商)法5練習數(shù)列an滿足Sn Sn 1 an仆a1 4，求a*3S注意到ani Sn 1 Sn，代入得也4又$ 4 , A S

11、*是等比數(shù)列，& 4*Sn；n 2 時，anSn Sn 1-34n 1(2)疊乘法如：數(shù)列an中，ai 3,也，求anan n 1練習數(shù)列an 中，ai1,n 1an 3an 1求anan(已知數(shù)列an滿足a1an，求an。解：由條件知：an 1an1n(n 1)分別令 n 1,2,3,(n1)，代入上式得(n1)個等式累加之,(a2印)(a3a2)(a4a3)1、1 1、11、(1)( )()22 334所以ana11 1n1113 1a1,an1 22n2 n(an an 1 )n 1 n(4)等比型遞推公式an can 1 d ( c d 為常數(shù),c0, c 1， d 0)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設an x c an 1 x an can 1 c 1 x令(c 1)x d , xan 是首項為a1c 1,c為公比的等比數(shù)列解a2 a3aaa?an1.2M2 3n 1anna11又a1n3 a 3n .(3)等差型遞推公式由 an an 1 f(n).aao,求an，用迭加法a2af(2)n 2 時，a3 a2f(3)兩邊相加得an a1f (2