數(shù)列的通項公式的求法以及典型習(xí)題練習(xí)

1、數(shù)列解題方法與學(xué)習(xí)順序第一累加法1 .適用于：an % =an - f (n)答案：裂項求和an =2 -1n這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個方法之一。2 若 an 1 -af(n) (n 一2)，a2 - ai = f a3 - a2 = f (2)III IIIan 1 -an 二 f (n)n兩邊分別相加得an1.-a%f(n)k=1例1已知數(shù)列an滿足an 1 = an 2n 1，a1，求數(shù)列an的通項公式。例2已知數(shù)列 an滿足an i二an 2 3n 1，a3，求數(shù)列an的通項公式。練習(xí)1.已知數(shù)列的首項為1，且an 1 = a2n丨N )寫出數(shù)列(昇的通項公式.2丄”答案：

2、n n 11an _ an 4 ( n _ 2)練習(xí)2已知數(shù)列an滿足a1 =3，n(n 一1)，求此數(shù)列的通項公式累乘法二、累乘法1.適用于：an 1 = f (n)an這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個方法之二。也二 f (n)an2 .若乩二f(n)，則電二f(1),魚二f (2),山川, Ka1a2兩邊分別相乘得，a-1 = a1 '' f (k)3-1k 4例3已知數(shù)列an二an.衛(wèi),a- =2 ，求數(shù)列的通項公式。n 1例4已知數(shù)列 an滿足an 1 = 2(n 1)5n a., a- = 3，求數(shù)列 a.的通項公式。例5.設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且n 1

3、annanan -a 0( n =1，2， 3,)，則它的通項公式是an、待定系數(shù)法 適用于an1 =qan f(n)基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。1形如 an 1 二can d,(c ",其中引二a)型(1) 若c=1時，數(shù)列 an為等差數(shù)列；(2) 若d=0時，數(shù)列 an為等比數(shù)列；(3) 若。"且“=0時，數(shù)列 an為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求待定系數(shù)法：設(shè)齢+人二C(an +九),得弘岀=冋*(C T)人,與題設(shè)弘卅=阿*d,比較系數(shù)得.d/亠c、丄 d/丄 d 、(,所以&quo

4、t;R心0)所以有：an+ 因此數(shù)列所以anC -1構(gòu)成以a1-(a1dC -1C-1為首項，以C為公比的等比數(shù)列,an = (a1即:旦)cn'c 一1+ d 時+丄c（an亠）4亠規(guī)律：將遞推關(guān)系an1can d化為C-1C-1，構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列C-1an +從而求得通項公式亠1 -cc -1逐項相減法（階差法）：有時我們從遞推關(guān)系 an”二can d中把n換成n-1有an =ca2 d ,兩式相減有n-c (a2 - a1 )an 1 _an =c（an _a2）從而化為公比為c的等比數(shù)列an1 _an,進而求得通項公式 再利用類型即可求得通項公式我們看到此方法比較復(fù)雜.

5、例6已知數(shù)列an中，a1 =1,an =2an二1（n _2），求數(shù)列CaJ的通項公式。例7已知數(shù)列an滿足務(wù)1 = 2a4 3，印日，求數(shù)列 a的通項公式。例8在數(shù)列an中，a1 "，an1二3% * 2n,求通項an.（逐項相減法） a1 =匚為an_i =6n3a例9.在數(shù)列 an中，2，求通項an.（待定系數(shù)法）2例10已知數(shù)列an滿足an 2an 3n 4n 5,印=1，求數(shù)列a.的通項公式。例11已知數(shù)列an滿足an 2 =5an 1 一 6務(wù)，務(wù)二T，a2 = 2，求數(shù)列 an的通項公式。六、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項2a例12已知數(shù)列an滿足an 1 ,a1，求數(shù)列an的通項公式。an +2例 13 已知數(shù)列 an滿足 ai =2, a2 =3,an .2 =3an 1 - 2a.(n N )，求數(shù)列 a.的通項 a.解：其特征方程為x =3x '2，解得X"i = 1,冷=2，令a* =