圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題方法

1、【考題回放】1 .已知雙曲線2 x2 a高考在考什么2y2 1 (a>0, b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為b的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C )A.( 1,2)B. (1,2)C. 2,)D.(2,+©X22. P是雙曲線92y_16|PM|1的右支上一點(diǎn)，M、N 分別是圓(x + 5)2 + y2 = 4 和(x|PN |的最大值為(B )3 .拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是(A )478D. 3A.B .C .32 2554 .已知雙曲線xy2,2ab1,(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F

2、1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且| PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率 e的最大值為：(B)5)2 + y2 = 1上的點(diǎn)，則A. 6B.7C.8D.94(A) 3(B) 5(C) 2(D)-335 .已知拋物線y2=4x,過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(X1,y1),B(X2,y2)兩點(diǎn),則y/+y22的最小值是 326.設(shè)橢圓方程為x22y1，過(guò)點(diǎn)M (0 , 1 )的直線1交橢圓于點(diǎn)A、B, O是4uuu坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP1 uuu uuu11(OA OB)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(丄，)，當(dāng)1繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，2 2 2 uuiu求(1 )動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2) | NP |

3、的最小值與最大值【專家解答】(1)法1 :直線l過(guò)點(diǎn)M (0, 1 )設(shè)其斜率為k，則I的方程為y=kx+ 1.記A(X1,y1),B(X2,y2),由題設(shè)可得點(diǎn)A、B 的坐標(biāo)(X1,y1)、(X2,y2)是方程組ykx122 X14X1X2所以y1y2的解將代入并化簡(jiǎn)得(4+k2)x2+2 kx-3=0 ,2k2 j4 k84 k2.設(shè)點(diǎn)1 0OP (OA OB)2P的坐標(biāo)為(X,y )，則k(X1X2 y1 y22 , 2)(7,忌).4k244k2消去參數(shù)k得 4x2+y2_y=0A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0 解法二：設(shè)點(diǎn)22y1彳X11,o),也滿

4、足方程,P的坐標(biāo)為(x,y),因A(X1,y1),B(X2,y2)在橢圓上，所以2比1.42X2一得2Xi2X2所以(XiX2)(Xi當(dāng)XiX2時(shí)，有1 ( 24(yi1(y144(y1y；)并且 yX2)X1X2X1X22y1 y2J21 y1 y2yXX1X2當(dāng)X1 = X2時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(y2)(yiy2) °.y2)0.X-Ix2將代入并整理得4x2+y2-y=0(0, 0)也滿足，所以點(diǎn)P的軌跡方程為2(2)由點(diǎn)P的軌跡方程知X0 , 2 )、( 0，- 2 ),這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1 2(y )2 1.141.所以4£T16142|NP|(X故當(dāng)X(1、2(

5、X 2)1| NP |取得最小值，最小值為 -41 2 1 22) (y 2)4X2 3(X 6)2 121時(shí)，| NP |取得最大值，最大值為高考要考什么【考點(diǎn)透視】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題，因其考查的知識(shí)容量大、分析能力要求高、區(qū) 分度高而成為高考命題者青睞的一個(gè)熱點(diǎn)?！緹狳c(diǎn)透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題的討論常用以下方法解決：(1) 結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；(2) 不等式(組)求解法：禾U用題意結(jié)合圖形(如點(diǎn)在曲線內(nèi)等)列出所討論的 參數(shù)適合的不等式(組)，通過(guò)解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；(3) 函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為

6、自變 量來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的變化范圍。(4) 利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行 巧妙的構(gòu)思；(5) 結(jié)合參數(shù)方程，禾U用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們 的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于： 通過(guò)參數(shù)B簡(jiǎn)明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來(lái)幫助求解諸如最值、范圍等問(wèn)題；(6) 構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式0。 突破重難點(diǎn)2【范例1】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值,31且cos F1 PF2的最小值為.9求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；若已知 D(0,3) , M、

7、N在動(dòng)點(diǎn)(2)范圍.講解P的軌跡上且 DM DN，求實(shí)數(shù) 的取值cos(1)由題意c2=5 設(shè)|PF 1|+|PF 2|= 2a ( a J5),由余弦定理，得 匹1.IPF2IFiPF2|PFj2 |PF2|2 廳店2|22|PF1 | |PF2 |2a2又 |PF1 | |PF2 |(|PF1 |PF2|)22 當(dāng)且僅當(dāng) |PF 1|=|PF 2| 時(shí)，|PF 1| |PF 2a2 10此時(shí)cos F1PF2取最小值21，令a2 |取最大值，2a2 102a解得a2=9 ,c . 5b2=4，故所求P的軌跡方程為19，2丄1(2)設(shè) N(s,t), M(x,y)，則由 DM DN，可得(x

8、 , y-3) = (s , t-3), 故 x= s, y=3+(t- 3). M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，2 st21且(s)2(t33 )2 .94941 ?消去s 可得(t 33)22t212解得t 1354? 加十1 'J 16又|t|2,丨135I 2 ,解得15,- 1 65故實(shí)數(shù)1的取值范圍是,5.5【點(diǎn)晴】為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方 法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等.【文】已知點(diǎn)M(-2，0)，N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM | PN | 2 2.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.(I)求W的方程；ULU UUU(H)若

9、A, B是W上的不同兩點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，求OA OB的最小值解：(I)依題意，點(diǎn) P的軌跡是以M , N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，2 2所求方程為：y =1( x>o)2 2(H)當(dāng)直線 AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為x = Xo, .22UUU UUU此時(shí) A (X。, ylx0 2 ), B (X。，一 Jx02 ), OA OB = 2當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y= kx + b ,2 2代入雙曲線方程 =1中，得：(1 k2)x2 2kbx b2 2 = 02 2依題意可知方程1 °有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)A(Xi,yi),B(X2,y2),則X

10、1X24k2b2 4(12kb1 k2k2)?( b2 2) 0解得|k|>1 ,=(1 + k2) X1X2 + kb (X1 + X2) + bUUU UUU綜上可知OA OB的最小值為2x1x2 22 0k2 1UUU UUU又 OA OB = X1X2 + y1y2 = X1X2 +( kx 1 + b) (kx 2 + b)2k2 + 2,42 = 2+ >2 k 1k 12x【范例2】給定點(diǎn)A(-2,2)，已知B是橢圓 一252y161上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，當(dāng)3解析：因?yàn)闄E圓的 e ,所以AB5到左準(zhǔn)線的距離。 和最小，過(guò)點(diǎn) 義IBF |IBN |5|bf3故本題可化為

11、，在橢圓上求一點(diǎn)AB-BF，而-BF為動(dòng)點(diǎn)B eB，使得它到 作I的垂線，垂點(diǎn)為 N,過(guò)A作此準(zhǔn)線的垂線,eA點(diǎn)和左準(zhǔn)線的距離之 垂點(diǎn)為M，由橢圓定其中,I BN |IBF |e53|BF|AB3bf|AB|BN | | AN | AM 為定值當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)AM與橢圓的定點(diǎn)時(shí)等點(diǎn)成立，此時(shí)5.3所以，當(dāng)AB55x/33|bf取得最小值時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(T,2)【點(diǎn)晴】在處理許多與焦點(diǎn)有關(guān)的距離和差最值問(wèn)題時(shí)，常常用圓錐曲線的定義化折為直，是一種簡(jiǎn)便而有效的好方法。【文】點(diǎn)A( 3, 2 )為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2=4x 的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2=4x上移動(dòng)，若|PA|+|PF| 取得最小值，求點(diǎn)

12、P的坐標(biāo)。解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=- 1 ,設(shè) P 到準(zhǔn)線的距離為 d , 則 |PA|+|PF|=| PA|+ d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由圖 3可知過(guò)A占 八、的直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入 y2=4x，得 P (1 , 2 )。2x2【范例3】已知P點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓y 1上移動(dòng)，試9求|PQ|的最大值。解：故先讓 Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過(guò)圓心 01時(shí)| PQ|最大，因此要求| PQ|的最大值，只要求| O1Q|的最大值.設(shè)Q(x, y),則|O1Q|2= x2+(y-4)2因Q在橢圓上，則x2=

13、9(1- y2)AB |BF|取得最小值時(shí)，試求B點(diǎn)的坐標(biāo)。將代入得 | OiQ| 2= 9(1-y2)+(y-4)2271因?yàn)镼在橢圓上移動(dòng)，所以-1 y 1，故當(dāng)y $時(shí)，0Q|max 此時(shí) PQmax 3.3 1【點(diǎn)晴】1.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題往往與圓心有關(guān)；332.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問(wèn)題的首選方法,其中所涉及到的函數(shù)最常見(jiàn)的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視2X2【文】設(shè)P是橢圓一2 y 1 a 1短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), a求| PQ|的最大值。解：依題意可設(shè)P(0,1), Q(x,y),則| PQ|=：'x2+(y - 1)2

14、 ,又因?yàn)镼在橢圓上，所以 x2=a2(1 y2) , | PQ| 2= a2(1 y2)+y2 2y+1=(1 a2)y2 2y+1+ a2=(1 a2)(y 2“ 2+1+ a因?yàn)?I y| w 1,a>1,a > .-'2,則 | PQ|取最大值若1<a< .'2,則當(dāng)y = 1時(shí),|PQ|取最大值<2喚【范例4】已知 OFQ的面積為2 6 , OF FQ(1 )設(shè) 6 m 4. 6，求 OFQ正切值的取值范圍;(2)設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) Q(如圖)，|Of| c,m (坐 1)c24uuu當(dāng)|OQ|取得最小值時(shí)，求此雙曲線的

15、方程。解析：(1)設(shè) OFQ =iuuruuu| OF | | FQ | cos( ) m1 uuiruur- tan|OF | |FQ|sin 2 .6Qm 4.64 tan 12 2xy2,2abS OFQuuu1(a0,b0),Q(X1,yJ,則 FQ (x1 uuur4、6-|OF | |y1| 2,6 , %2g %)(2)設(shè)所求的雙曲線方程為uuur uur 又 OF FQumr uuu. q 2m , OF FQ (c,0)(為 c, yj (x1 c) c (1 c4Xi|OLQ| ,xfuuu96 3c2當(dāng)且僅當(dāng)c=4§ 2 a2a【點(diǎn)晴】時(shí),8辰.|OQ |最小，

16、此時(shí)Q的坐標(biāo)是(、6,飛)或G.6, 、6)22 2a4xy2，所求方程為一 L 1.b2 124 12b2 1 b216當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù),求其目標(biāo)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有：一元二次函數(shù)法、基本不等式法、判 別式法、定義法、函數(shù)單調(diào)性法等?！疚摹恳阎獧E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為Fi (0,- 2 2 ),對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 y2 4心率e滿足：一,e,成等差數(shù)列。3 3(1) 求橢圓方程；(2) 是否存在直線I，使I與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、N，且線段1x 平分，若存在，求出2l的傾斜角的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2.2 c a2 ,Q 3 c a

17、 = 3, c= 2 2 , b = 1 ,(1)解：依題意e92 c42、2MN恰被直線又 F1(0, 2 2), 對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y9-2橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為 x2-(2)假設(shè)存在直線I，依題意I交橢圓所得弦MN直線y由2xI的斜率存在。kx mv2 消去19設(shè)直線y，整理得I: y = kx + m22(k + 9)x + 2kmx +m2 9 = 0N,/1與橢圓交于不同的兩點(diǎn) = 4k2m2 4(k2 + 9)(m2 9) > 0 即 m 捲 x2km2 k292 k2 9 v 0設(shè) M(xi,yi),N(X2,y2)k2 92k92 2把代入式中得色旦-4k. k 、3

18、 或 k v、32(k 9)直線I傾斜角2(2，自我提升x21 .設(shè)AB是過(guò)橢圓a則厶F1AB的面積最大為（1(a0）中心的弦,橢圓的左焦點(diǎn)為Fi（-c, 0）,2 .已知的最大值為（A. 10B . abA ( 3 , 2 )、B (- 4 , 0 ), P 是橢圓ae2x25D . b21 上一點(diǎn)，則 | PA| + |PB|3 .已知雙曲線C )B . 10.5 C .2 20 £ 1,16910,510過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線I交雙曲線于AB，若 |AB |=5 ,則直線I有（B ）A. 1條4 .已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，設(shè)P到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為d1,至煩線x+2y+

19、10=0 的距離為d2,則d1+d2的最小值為 （C ）11(D)5115C .52x5.設(shè)F是橢圓一72 , 3，），使 | FP1| ,圍為2-1的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有6| FP2| , | FP3|，組成公差為 d21個(gè)不同的點(diǎn)Pi （i=1 ,的等差數(shù)列，貝U d的取值范1 11?0）（°羽6 .拋物線y2=2x上到直線x-y +3=0距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為2 2x y7 .如圖，已知 A、B是橢圓1的兩個(gè)頂點(diǎn)，169AB兩側(cè)，則四邊形 ABCDC、D是橢圓上兩點(diǎn)，且分別在 面積的最大值是12 J28 .如圖3，拋物線y2=4x2的一段與橢圓4<7P 2V.匸，1）2y

20、 1的一段圍成封閉圖形，點(diǎn)3八yBNx圖11=|BC|+-|BD|=|BC|+|BD|-|BD|2211=|CD|-嚴(yán)=:5-_|BD|22口15Q4 2|BD|4 , 即 卩 1-|BD | -323 NAB 的周長(zhǎng) l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|N (1 , 0 )在x軸上，又A、B兩點(diǎn)分別在拋物線及橢圓上，且AB/X 軸，求 NAB的周長(zhǎng)I的取值范圍。解：易知N為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，又為橢圓的右焦點(diǎn)， 拋物線的準(zhǔn)線li: x=-1，橢圓的右準(zhǔn)線12: x=4，過(guò)A作AC li于C,過(guò)B作BD I2于D，則C、A、B、D在同一條與x軸平行的直線上。y2 4x一 2

21、由x2V2，得拋物線與橢圓的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x134 3而 |BN|=e|BD|=- |BD|,|AN|=|AC|21034，即1的取值范圍為(10,4)9 .求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使拋物線y2=x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 y=m(x-3)對(duì)稱解法1 :設(shè)拋物線上兩點(diǎn)M(x,y),則當(dāng)m= 0 時(shí)，有直線2仃V1x當(dāng)m 0時(shí)，2V2X2A(xi,yi),B(X2,y2)關(guān)于直線 y=m (x-3)對(duì)稱, y=0,顯然存在點(diǎn)關(guān)于它對(duì)稱。力 v 11 丄x-i x2y1 y2 2y mA, B中點(diǎn)所以y m，所以m的坐標(biāo)為 5, m ,. m在拋物線內(nèi)，2 2 22則有5 m ，得 -10 m .10且m 0,綜上所述，m -、10,-、102 2解法2 :設(shè)兩點(diǎn)為 A(X1, y1),B(X2, y2)，它們的中點(diǎn)為的方程為x=-my+b，與方程y2=x聯(lián)立，得y2+my-b =0M(x, y),兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)連線所以 y1 + y2= -m，即 y又因?yàn)橹悬c(diǎn) M在直線y=m (x-3)上，所以得 M的坐標(biāo)為5 m2' 2又因?yàn)橹悬c(diǎn) M在直線x=-my+b 上, b 52m210 m . 10。P與A、B兩點(diǎn)連線的斜率分別為 kPAF1, F2，若曲線C上存在點(diǎn) Q使得解：(1 )設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),依題意得一yx2xy =ty2=t（x2 4）2x22222+