第2講,分類討論思想

1、第2講,分類討論思想 分類討論的思想 思想再現(xiàn) 例題精講 所謂分類討論的思想是指當一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時，需要對這個量的各種情況進行分別分析的思想方法。在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，分類討論是一種邏輯方法，也是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略。引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個方面： （1）由數(shù)學概念、性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論； （2）由數(shù)學變形所需要的限制條件所引起的分類討論； （3）由于圖形的不確定性引起的討論； （4）由于題目含有字母而引起的討論。 一般來

2、說，"我不知道你是誰，但我知道你的范圍'，可以考慮適用分類討論的思想一一予以討論求解，或者一道題比較復雜的時候需要分成幾個方面或幾個步驟分別分析，均可以考慮運用分類討論的數(shù)學思想。應用分類討論思想解決問題必須保證分類科學，標準統(tǒng)一，做到不重復，不遺漏，并力求最簡。分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用。 【例1 1 】 由三個邊長為 1 的正方形拼成如圖所示的左右對稱圖形，以圖中正方形的 10 個頂點為頂點可得到許多不同的三角形，那么在這些三角形中，面積為 1 的三角形共有_個。（面積為1 的三角形的三條變中，

3、至少有一條邊是水平或垂直的） 第二講 【例2 2 】 如圖是一個小數(shù)除法豎式，其中算式中所注明的兩個字母要求：AB，那么滿足這個豎式的除數(shù)與商的和是_。 【例3 3 】 如右圖，方格紙上放量二十枚棋子，以棋子為頂點的正方形有_個。 【例4 4 】 某同學把他所有的書按喜愛程度編號為 1，2，3，4，編完之后發(fā)現(xiàn)所有編號的和剛好是 100 的倍數(shù)但是不到 1000。那么他共有_本書。 【例5 5 】 一輛小汽車與一輛大卡車在一段 9 千米長的狹路上相遇，必須倒車，才能繼續(xù)通行。已知小汽車的速度是大卡車的速度的 3 倍，兩車倒車的速度是各自速度的 1/5；小汽車需倒車的路程是大卡車需倒車的路程的

4、4 倍。如果小汽車的速度是 50 千米/小時，那么要通過這段狹路最少要用_小時。 【例6 6 】 有一類自然數(shù)，從第三個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面兩個數(shù)字之和，直到不能再寫為止，如 257，1459，12358 等，這類數(shù)一共有_個。 【例7 7 】 甲乙丙丁四支足球隊進行循環(huán)賽，每兩個隊都要賽一場，勝者得 3 分，負者得 0 分，如果踢平，兩隊各得 1 分?，F(xiàn)在甲、乙、丙分別得 7 分、1 分、6 分，已知甲和乙踢平，那么丁得_分。 【例8 8 】 能否找到自然數(shù) a 和 b，使得a 2 =2021+b 2 ？ 【例9 9 】 N 個同學做游戲，他們在 N 張卡片上分別寫了 N 個不同

5、的非零自然數(shù)。游戲時每人抽取其中一張卡片，記下卡片上的數(shù)字之后再將卡片放回。這樣經(jīng)過 N 次抽取之后，每人記下的所有數(shù)字之和就是他們各自最后的得分，并從大到小排名。若小李 N 次取得的數(shù)字各不相同，其余同學的得分各不相同，他們（不包括小李）得分之和是 2021。那么 N 可以等于多少？小李最高能排第幾名？ 課堂練習 【隨練1】 由四個邊長為 1 的正方形拼成如圖所示的對稱圖形，以圖中正方形的 14 個頂點為頂點可得到許多不同的三角形，那么，在這些三角形中，面積為 1 的三角形共有_個。（面積為 1的三角形中至少有一條邊是水平或垂直的） 【隨練2】 五位數(shù) abcde 是用 1，2，3，4，5

6、構成的。小明發(fā)現(xiàn)：4 能整除 abc ，5 能整除 bcd ，3 能整除 cde ，那么這個數(shù)是_。 【隨練3】 下列算式中，相同漢字代表相同數(shù)字，不同漢字代表不同數(shù)字，那么五位數(shù)"風箏飛飛飛'的所有可能值是_。 家庭作業(yè) 【作業(yè)1】 用 0，1，2，3，4 五個數(shù)字組成 4 位數(shù)，每個四位數(shù)中的數(shù)字都不同（如 1023，2341），求全體這樣的四位數(shù)的和。 【作業(yè)2】 有一批長度分別為 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 厘米的細木條，它們的數(shù)量都足夠多，從中選出適當?shù)哪緱l作為三邊可圍成三角形。如果規(guī)定底邊長是 11 厘米，那么可以圍成三角形的選擇共有多少種？ 【作業(yè)3】 2021 個球平均分給若干個人恰好分完。若有一人退出，則他的球夠給其他人每人多分 2個還有剩余，但不夠給每人多分 3 個。那么原來平均每人分到多少個球？ 【作業(yè)4】 如圖兩條線段 AB 和 CD 垂直，交點為 E。已知 DE=2CE，BE=3AE。在 AB 和 CD 上取不全共線的 3 個點可以畫一個三角形，那么要怎樣取這 3 個點，畫出的三角形面積最大？ 【作業(yè)5】 五個足球隊進行單循環(huán)賽，每兩個隊之間都要賽一場。每場比賽勝者得 3 分、負者得 0