微積分下考試重點(diǎn)全總結(jié)

1、抓住微積分，它是高數(shù)的核心，理解好導(dǎo)數(shù)和積分的含義。 題記高等數(shù)學(xué)，是某些自考專業(yè)的重要課程。但對(duì)于如何通過(guò)考試，如何學(xué)好這門課程，許多朋友都是百展莫愁，頭痛不已。而高數(shù)及格率又是所有科目中及格率最低的幾門之一，成為許多考生能否順利完成專業(yè)課程的主要障礙。 數(shù)學(xué)，是一門深?yuàn)W而又有趣的課程。如果增加對(duì)這門課程的自信心，不要畏懼它，你會(huì)很容易接受這門課，你也會(huì)發(fā)覺(jué)其實(shí)這門課程并不難，這對(duì)于學(xué)好數(shù)學(xué)是一個(gè)非常必要的條件。 培根說(shuō)，“數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙。”的確，數(shù)學(xué)是科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（包括線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程，等等）是各專業(yè)的重要基礎(chǔ)理論課。在會(huì)計(jì)專

2、業(yè)里，比如財(cái)務(wù)成本管理，審計(jì)，評(píng)估，管理會(huì)計(jì)，等等科目里都有高等數(shù)學(xué)的影子；在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域里，更是如此。無(wú)論微觀經(jīng)濟(jì)還是宏觀經(jīng)濟(jì)的經(jīng)典理論里都有高等數(shù)學(xué)的烙印函數(shù)、極限與連續(xù)(一)基本概念1函數(shù)：常量與變量，函數(shù)的定義2函數(shù)的表示方法：解析法，圖示法、表格法3函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性4初等函數(shù)：基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)，分段表示的函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系5極限：數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限、極限四則運(yùn)算，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量，無(wú)窮小量的性質(zhì)，無(wú)窮小量的比較，兩個(gè)重要極限6連續(xù)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，左右連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點(diǎn)及其分類，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的敘述

3、重點(diǎn)：函數(shù)概念，基本初等函數(shù)，極限的計(jì)算難點(diǎn)：建立函數(shù)關(guān)系，極限概念 (二)基本要求1. 理解函數(shù)的概念，了解分段函數(shù)。能熟練地求函數(shù)的定義域和函數(shù)值。2. 了解函數(shù)的主要性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性)。3. 熟練掌握六類基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。4. 了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念。5. 會(huì)列簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。6. 了解極限的概念，知道數(shù)極限的描述性定義，會(huì)求函數(shù)的左、右極限。7. 了解無(wú)窮小量的概念，了解無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無(wú)窮大量的關(guān)系，以及無(wú)窮小量的比較等關(guān)系。8. 掌握極限的四則運(yùn)算法則.9. 掌握用兩個(gè)重要極限求一些極限的方法。1

4、0. 了解函數(shù)連續(xù)性的定義，會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。11. 了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。12. 記住初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)的性質(zhì)，知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)。一元函數(shù)微分學(xué)(一)基本概念1導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義，函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，隱函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法舉例，用參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法則，高階導(dǎo)數(shù)2微分：微分的概念與運(yùn)算，微分基本公式表，微分法則，一階微分形式的不變性3中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的敘述4導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：用洛比達(dá)法則去求七種未定式極限問(wèn)題，函數(shù)的單調(diào)性判別法，函數(shù)的極值

5、及其求法，函數(shù)圖形的凹凸性及其判別法，拐點(diǎn)及其求法，水平與垂直漸近線，最大值、最小值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的應(yīng)用重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，極值，最大利潤(rùn)問(wèn)題難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)基本要求1. 理解導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。會(huì)求曲線的切線和法線方程。知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。2. 熟記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式，熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則。3. 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。4. 掌握隱函數(shù)的微分法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，以及用參數(shù)表示的函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)的方法。5. 知道一階微分形式的不變性。6. 了解高階導(dǎo)數(shù)概念，掌握求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的方法。7. 了解羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論；

6、知道柯西定理的條件和結(jié)論。會(huì)用拉格朗日定理證明簡(jiǎn)單的不等式. 掌握洛比達(dá)法則求極限問(wèn)題9.了解駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、凹凸、拐點(diǎn)等概念10.掌握用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點(diǎn)（包括判別）的方法，了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件。知道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系11.掌握用二階導(dǎo)數(shù)求曲線凹凸（包括判別）的方法，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)12.會(huì)求曲線的水平漸近線和垂直漸近線13. 掌握求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中最大值和最小值的方法不定積分 (一)基本概念1不定積分：原函數(shù)、不定積分概念，不定積分的性質(zhì)，基本積分公式表2積分法：第一換元積分法，第二換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)積分舉例，三角有理式積分

7、舉例，積分表的使用重點(diǎn)：積分概念與計(jì)算，在幾何上的應(yīng)用難點(diǎn)：積分的計(jì)算及其應(yīng)用(二)基本要求1.理解原函數(shù)與不定積分概念，了解不定積分的性質(zhì)以及積分與導(dǎo)數(shù)(微分)的關(guān)系2.熟記積分基本公式，熟練掌握第一換元積分法和分部積分法3.了解不定積分概念(定義、幾何意義、物理意義)和不定積分的性質(zhì)4.熟練掌握求解不定積分的方法 最后一點(diǎn)，還要提醒大家的就是復(fù)習(xí)時(shí)的注意事項(xiàng)。在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)該注意調(diào)整我們的狀態(tài)和注意休息，一般地說(shuō)，我們的大腦集中于某一學(xué)科的時(shí)間不是很長(zhǎng)的，時(shí)間一長(zhǎng)，我們的思維就可能處于停滯的狀態(tài)，所以我們應(yīng)該合理地安排時(shí)間，爭(zhēng)取在復(fù)習(xí)時(shí)將所學(xué)的幾門學(xué)科都能夠交叉安排，這樣保證

8、大腦的高效率。同時(shí)，還應(yīng)該注意休息?？荚嚻陂g的復(fù)習(xí)效率很低，那時(shí)看看書適當(dāng)放松，把習(xí)題簡(jiǎn)單回顧一下足矣?？记白⒁獗３殖渥愕乃撸F(xiàn)在很多同學(xué)在期末考試前點(diǎn)燈熬夜，晚上不注意休息，考試沒(méi)有精神，甚至睡著了，導(dǎo)致很容易的題目也沒(méi)有時(shí)間做了；還有不容忽視的一點(diǎn)就是，在考試的過(guò)程中，要注意卷面干凈、書寫整潔，還要有清晰的解題思路和完整的答題步驟，對(duì)于沒(méi)有思路的題可以先放放以免耽誤答題時(shí)間，否則會(huì)影響自己的卷面得分。最后，希望大家保持一個(gè)健康的身體和良好的心態(tài)，做好期末復(fù)習(xí)，祝大家取得好成績(jī)！提前祝大家元旦快樂(lè)！ 第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 函數(shù)§1.1 函數(shù)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖區(qū)間定義域不等式

9、 定義集合對(duì)應(yīng)法則 表格法 表達(dá)方法 圖象法初等函數(shù)解析法非初等函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)的特性 奇偶性函數(shù)周期性有界性定義反函數(shù) 重要的函數(shù)存在性定理復(fù)合函數(shù)符號(hào)函數(shù)：幾個(gè)具體重要的函數(shù) 取整函數(shù)：，其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù).狄里克雷函數(shù)：§1.2 內(nèi)容提要與釋疑解難 一、函數(shù)的概念 定義:設(shè)A、B是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集，如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，使得對(duì)A中任何一個(gè)實(shí)數(shù)x，在B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與x對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)法則f是A上的函數(shù)，記為 .y稱為x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，記為 .其中x叫做自變量，y又叫因變量，A稱為函數(shù)f的定義域，記為D（f）， , 稱為函數(shù)的值域，記為R（f），在平面坐標(biāo)系Oxy下

10、，集合 稱為函數(shù)y=f(x)的圖形。函數(shù)是微積分中最重要最基本的一個(gè)概念，因?yàn)槲⒎e分是以函數(shù)為研究對(duì)象，運(yùn)用無(wú)窮小及無(wú)窮大過(guò)程分析處理問(wèn)題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。 1、由確定函數(shù)的因素是定義域、對(duì)應(yīng)法則及值域，而值域被定義域和對(duì)應(yīng)法則完全確定，故確定函數(shù)的兩要素為定義域和對(duì)應(yīng)法則。從而在判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，只要看這兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同，至于自變量、因變量用什么字母，函數(shù)用什么記號(hào)都是無(wú)關(guān)緊要的。 2、函數(shù)與函數(shù)表達(dá)式的區(qū)別：函數(shù)表達(dá)式指的是解析式子，是表示函數(shù)的主要形式，而函數(shù)除了用表達(dá)式來(lái)表示，還可以用表格法、圖象法等形式來(lái)表示，不要把函數(shù)與函數(shù)表達(dá)式等同起來(lái)。 二、反函數(shù)

11、定義 設(shè)y=f(x)，若對(duì)R(f)中每一個(gè)y，都有唯一確定且滿足y=f(x)的與之對(duì)應(yīng)，則按此對(duì)應(yīng)法則就能得到一個(gè)定義在R（f）上的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為f的反函數(shù)，記作 .由于習(xí)慣上用x表示自變量，y表示因變量，所以常把上述函數(shù)改寫成. 1、由函數(shù)、反函數(shù)的定義可知，反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，值域是原來(lái)函數(shù)的定義域。 2、函數(shù)y=f(x)與x=f-1(y)的圖象相同，這因?yàn)闈M足y=f(x)點(diǎn)（x,y）的集合與滿足x=f-1(y)點(diǎn)(x,y)的集合完全相同，而函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。 3、若y=f(x)的反函數(shù)是x=f-1(y)，則 4、定理1（反函數(shù)存在定

12、理）嚴(yán)格增（減）的函數(shù)必有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)。三、復(fù)合函數(shù) 定義 設(shè)，若，則y通過(guò)u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為由y=f(u)與復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱為復(fù)合函數(shù)，記作。復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，其中x稱為自變量，y稱為因變量，u稱為中間變量，稱為內(nèi)函數(shù)，f(u)稱為外函數(shù)。1、在實(shí)際判斷兩個(gè)函數(shù)能否構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，只要看的定義域是否為非空集，若不為空集，則能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，否則不能復(fù)合函數(shù)。2、在求復(fù)合函數(shù)時(shí)，只要指出誰(shuí)是內(nèi)函數(shù)，誰(shuí)是外函數(shù)，例如y=f(x), y=g(x),若y=f(x)作為外函數(shù)，y=g(x)作為內(nèi)函數(shù)。則復(fù)合函數(shù)，若作為外函數(shù)，作為內(nèi)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為y=g(f(x)。3、我們要學(xué)會(huì)分析復(fù)合

13、函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，既要會(huì)把幾個(gè)函數(shù)復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，又要會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分拆成幾個(gè)函數(shù)的復(fù)合。四 初等函數(shù)常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。大家一定要記住基本初等函數(shù)的定義域，值域，會(huì)畫它們的圖象，并且要知道這些函數(shù)在哪些區(qū)間遞增，在哪些區(qū)間遞減，是否經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是什么？以后我們常常要用到。由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。不是初等函數(shù)稱為非初等函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，例如 ，是由復(fù)合而成。五 具有某些特性的函數(shù)1奇（偶）函數(shù)定義 設(shè)D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)

14、集，y=f(x)為定義在D上 的函數(shù)，若對(duì)每一個(gè)，都有，則稱y=f(x)為D上的奇（偶）函數(shù)。 （1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件。 （2）若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0，事實(shí)上，由定義知f(-0)=-f(0)，有f(0)=-f(0)，得f(0)=0. 2周期函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在某個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)一切，都有f(x+T)=f(x)，則稱y=f(x)為周期函數(shù)，T稱為y=f(x)的一個(gè)周期。 顯然，若T是f(x)的周期，則也是f（x）的周期，若周期函數(shù)f(x)的所有正周期中存在最小正周期，則稱這個(gè)最小正周期為f(x)的基本周期，一般地，函

15、數(shù)的周期是指的是基本周期。 必須指出的是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，例如f(x)=c（c為常數(shù)），因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)常數(shù)T，都有f(x+T)=f(x)=c。所以f(x)=c是周期函數(shù)，但在實(shí)數(shù)里沒(méi)有最小正常數(shù)，所以，周期函數(shù)f(x)=c沒(méi)有最小正周期。 如果f(x)為周期函數(shù)，且周期為T，任給，有f(x)=f(x+kT)，知。所以D是無(wú)窮區(qū)間，即無(wú)窮區(qū)間是周期函數(shù)的必要條件。 3單調(diào)函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對(duì)D中任意兩個(gè)數(shù)x1,x2且x1<x2,總有 ，則稱y=f(x)為D上的遞增（遞減）函數(shù)，特別地，若總成立嚴(yán)格不等式 ，則稱y=f(x)為D上嚴(yán)格遞增（遞減）

16、函數(shù)。 遞增和遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格遞減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。 4分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)應(yīng)于不同的x范圍有著不同的表達(dá)形式，則稱該函數(shù)為分段函數(shù)。注意分段函數(shù)不是由幾個(gè)函數(shù)組成的，而是一個(gè)函數(shù)，我們經(jīng)常構(gòu)造分段函數(shù)來(lái)舉反例，常見的分段函數(shù)有符號(hào)函數(shù)、狄里克雷函數(shù)、取整函數(shù)。 5有界函數(shù)與無(wú)界函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在常數(shù)NM，使對(duì)每一個(gè)，都有 則稱f(x)為D上的有界函數(shù)，此時(shí)，稱N為f(x)在D上的一個(gè)下界，稱M為f(x)在D上的一個(gè)上界。由定義可知上、下界有無(wú)數(shù)個(gè)，我們也可寫成如下的等價(jià)定義，使用更加方便。定義 設(shè)y=f(x)為定義

17、在D上的函數(shù)，若存在常數(shù)M>0，使得對(duì)每一個(gè)，都有 則f(x)為D上的有界函數(shù)。幾何意義，若f(x)為D上的有界函數(shù)，則f(x)的圖象完全落在直線y=-M與y=M之間。注意：直線y=-M，y=M不一定與曲線相切。有界函數(shù)定義的反面是定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對(duì)每一個(gè)正常數(shù)M（無(wú)論M多么大），都存在，使，則稱f(x)為D上的無(wú)界函數(shù)。 6函數(shù)的延拓與分解 有時(shí)我們需要由已知函數(shù)產(chǎn)生新的函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，這里我們從函數(shù)的特性出發(fā)，開拓由已知產(chǎn)生新的函數(shù)的方法。 設(shè)，我考慮區(qū)間-a,a上的函數(shù)F(x)，它是偶函數(shù)，且在0,a上，使F(x)=f(x)，則應(yīng)有稱F（x）是f(x)

18、的偶延拓同樣可給出f(x)的奇延拓，即函數(shù)F（x）在-a,a上的奇函數(shù)，且在（0,a）上，F(xiàn)（x）=f(x)，則應(yīng)有這樣，研究f(x)只要，研究F（x）就可以了。 同樣，對(duì)于函數(shù)y=f(x),，可以構(gòu)造一個(gè)以（b-a）為周期的周期函數(shù)F（x），在（a,b）上，F(xiàn)（x）=f(x)，則有這就是函數(shù)f(x)的周期延招，研究f(x)只要研究F（x）就可以了。 此外，定義在區(qū)間（-a,a）上的任何一個(gè)函數(shù)f(x)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)和事實(shí)上設(shè) 由奇偶函數(shù)的定義知，f1(x)是奇函數(shù)。 f2(x)是偶函數(shù)，且.我們還可以證明f1(x)，f2(x)是唯一存在，如果,其中g(shù)1(x)是奇函數(shù)，g2

19、(x)是偶函數(shù)，于是,解得，§1.3解題基本方法與技巧一、求函數(shù)定義域的方法1若函數(shù)是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式子，則其定義域應(yīng)是使這式子有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，且在（1）分式的分母不能為零； （2）偶次根號(hào)下應(yīng)大于或等于零；（3）對(duì)數(shù)式的真數(shù)應(yīng)大于零且 底數(shù)大于零不為1； （4）arc sin 或arc，其；（5），其 （6）若函數(shù)的表達(dá)式由幾項(xiàng)組成，則它的定義域是各項(xiàng)定義域的交集；（7）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。2.若函數(shù)涉及到實(shí)際問(wèn)題，定義域是除了使數(shù)學(xué)式子有意義還應(yīng)當(dāng)確保實(shí)際有意義自變量取值全體組成的集合。3.對(duì)于抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題，要依據(jù)函數(shù)定義及題設(shè)條

20、件。 例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2） 解（1）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足?；?jiǎn)有 ,即 .解之，得定義域?yàn)?。?）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足 ，即，化簡(jiǎn)有，不等式各邊除以（-2）有，各邊取倒數(shù)得，。解之，得函數(shù)的定義域?yàn)椤?例2 不清設(shè)，求f(x)的定義域。 解 要使函數(shù)式子有意義，必須滿足 即 故所給函數(shù)的定義域?yàn)?。注意：如果把化?jiǎn)為，那么函數(shù)的定義域?yàn)榈囊磺袑?shí)數(shù)，因此，求函數(shù)的定義變形式時(shí)需特別小心，避免出錯(cuò)。 例3 已知且，求并寫出它的定義域。 解 由，得，由，得，即x0，所以 。 例4 設(shè)f(x)的定義域?yàn)?，1，試求f(x+a)+f(x-a)的定義域（a>0

21、）。 解 要使f(x+a)+f(x-a)有意義，必須滿足 得 當(dāng)時(shí)，由，知函數(shù)的定義域?yàn)?。?dāng)時(shí)，由a>1a，知定義域不存在。二、求函數(shù)值域的方法1. 由定義域x的范圍，利用不等式求出f(x)的范圍；2. 若y=f(x)有反函數(shù)x=f-1(y)，求出反函數(shù)的定義域就是函數(shù)的值域；3. 利用一元二次方程的判別式求函數(shù)的值域。 例5 求下列函數(shù)值域：（1）； （2）； （3）。 解（1）令，于是。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，。故函數(shù)的值域是。 （2）由，得(x+3)y=x+1，解之，是的反函數(shù)，而的定義域是，故函數(shù)值域是。（3）由原函數(shù)式變形，得 ，即 。當(dāng)y-1=0，即y=1時(shí)，x=0；當(dāng)，即。故函數(shù)的

22、值域?yàn)?，4。 三、判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的方法 例6 判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)： （1）（i）； （ii） （2）（i）； （ii）。 解（1）由y=sinx的定義域是0，的定義域是0，。知兩函數(shù)定義域相同，又知兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則相同，故（i）（ii）為同一函數(shù)。 （2）由的定義域是的全體實(shí)數(shù)，的定義域是的全體實(shí)數(shù)，知兩函數(shù)定義域不同，盡管當(dāng)時(shí)，知兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則相同，但（i）（ii）不是同一個(gè)函數(shù)。 四、求反函數(shù)方法 步驟：1. 從y=f(x)中解出x=f-1(y) ;2.改寫成y=f-1(x),則y=f-1(x)是x=f-1(y)的反函數(shù). 例7 求下列函數(shù)的反函數(shù): (1)； （2）

23、； （3） 解（1）由，知反函數(shù)為， 。 （2）由兩邊立方得即 解之 。所以反函數(shù)為（3）由 則反函數(shù)為 五、求復(fù)合函數(shù)的方法。 1代入法 某一個(gè)函數(shù)中的自變量用另一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式來(lái)替代，這種構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的方法，稱之為代入法，該法適用于初等函數(shù)的復(fù)合，關(guān)健搞清誰(shuí)是內(nèi)函數(shù)，誰(shuí)是外函數(shù)。2分析法根據(jù)外函數(shù)定義的各區(qū)間段，結(jié)合中間變量的表達(dá)式及中間變量的定義域進(jìn)行分析，從而得出復(fù)合函數(shù)的方法，該方法用于初等函數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)與分段函數(shù)的復(fù)合。例8 設(shè).解 ， ，猜想 。當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論已成立，假設(shè)n=k時(shí)，成立，當(dāng)n=k+1時(shí)， 。即n=k+1時(shí)結(jié)論成立，故。 例9 設(shè)。 解 當(dāng)，當(dāng)。故 f(

24、f(x)=1。 例10 設(shè)。 解 由（1）當(dāng)時(shí)或?；颍?）當(dāng)時(shí)或?；虻?六、判斷奇偶函數(shù)的方法 偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 1. 奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)，偶函數(shù)的代數(shù)和仍為偶函數(shù)。 2. 偶數(shù)個(gè)奇（偶）函數(shù)之積為偶函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積為奇函數(shù)。 3. 一奇一偶的乘積為奇函數(shù) 4. 兩個(gè)奇函數(shù)復(fù)合仍為奇函數(shù)，一奇一偶復(fù)合為偶函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)復(fù)合仍為偶函數(shù)。判斷方法 1用定義 2.若f(x)+f(-x)=0，則f(x)為奇函數(shù)，這種方法適合用定義比較困難的題目。 例11 判斷下列函數(shù)的奇偶性： （1）； （2）； （3）（a>0

25、,a1常數(shù)） 解（1）由，知f(x)為偶函數(shù) （2）由 知f(x)為奇函數(shù)。 （3）由 ，知f(x)為奇函數(shù) 七、周期函數(shù)的判斷與周期的求法 1周期函數(shù)周期的求法 （1）若T為f(x) 的周期，則f(ax+b)的周期為 （2）若f(x)的周期為T1，g(x)的周期為T2，則c1f(x)+c2g(x)的周期為T1，T2的最小公倍數(shù)。 2周期函數(shù)的判斷方法。 （1）用定義。 （2）用周期函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。常見函數(shù)的周期：sinx,cosx,其周期T=2；其周期T=。 例12 求下列函數(shù)周期 （1）； （2）； （3）。 解（1）由的周期，的周期。故f(x)的周期性期為6。 （2）由 ，知f(x)的周

26、期。 （3）設(shè)，T為任意整數(shù),由知任意整數(shù)均為其周期，則最小周期T=1。 例13 若函數(shù)的圖形關(guān)于兩條直線x=a和x=b對(duì)稱（b>a），則f(x)為周期函數(shù)。 證 由條件函數(shù)的對(duì)稱性知 ， （1） ， （2）故函數(shù)在a,b中點(diǎn)(a+b)/2處的值等于點(diǎn)a/和處的函數(shù)值從而猜想如果f(x)為周期函數(shù)，則周期應(yīng)為 。事實(shí)上 所以f(x)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù)。 八、單調(diào)函數(shù)的判斷方法1用定義。2利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)。 （1）兩個(gè)遞減（增）函數(shù)的復(fù)合是遞增函數(shù)，一個(gè)遞增、一個(gè)遞減函數(shù)的復(fù)合是遞減函數(shù)。 例14 設(shè)及f(x)為遞增函數(shù)證明：若 （1） 則 （2） 證 設(shè)x0為三個(gè)函數(shù)公共

27、域內(nèi)的任一點(diǎn)，則 由（1）以及函數(shù)f(x)的遞增性知，；從而 同理可證 。由x0的任意性知，于是（2）式成立。 九、函數(shù)有界性的判斷 判斷函數(shù)是否有界，經(jīng)常用定義。 例15 判斷下列函數(shù)是否有界： （1）； （2）。 解（1）由f(x)的定義域是R。當(dāng)，當(dāng)，知，所以f(x)為有界函數(shù)。 （2）。 由無(wú)界函數(shù)的定義知f(x)在（0，1）上無(wú)界。第二節(jié) 函數(shù)極限與連續(xù)§2.1 函數(shù)極限內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的閉區(qū)間上連續(xù)最大（?。┲刀ɡ砹阒迭c(diǎn)定理（根的存在定理）介值定理函數(shù)極限與連續(xù) 夾逼定理判斷函數(shù)極限存在準(zhǔn)則 單調(diào)有界定理單側(cè)極限與雙側(cè)極限函數(shù)極限與數(shù)列

28、極限歸結(jié)原則。關(guān)系定理 函數(shù)極限與無(wú)窮小 無(wú)窮大與無(wú)窮小無(wú)窮小的階高階、同階、等價(jià)。函數(shù)連續(xù)定義 可去間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)分類 第二類間斷點(diǎn) §2.2內(nèi)容提要與釋疑解難一、函數(shù)極限的概念1.。2. 把1中“”換成“”。3 把1中“”換成“”。定理且4設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)有定義，若存在一個(gè)常數(shù)A，都有。5 設(shè)在的某左半鄰域內(nèi)有定義，若存在一個(gè)常數(shù)A，時(shí)，都有。此時(shí)也可用記號(hào)或表示左極限值A(chǔ)，因此可寫成6. 設(shè)在的某右半鄰域內(nèi)有定義，若存在一個(gè)常數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有。此時(shí)也可用或表示右極限。因此可寫成。定理 且該定理是求分界點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同的分段函數(shù)在該分界點(diǎn)極限是否存在的方法

29、，而如果在的左右極限存在且相等，則在該點(diǎn)的極限存在，否則不存在。7時(shí)，都有。此時(shí)稱時(shí)，是無(wú)窮大量。而，只要把公式中“”改成“”，只要把上式中“”改成“”。8.。當(dāng)時(shí)，都有。讀者同理可給出定義。注：（常數(shù)）與的區(qū)別，前者是表明函數(shù)極限存在，后者指函數(shù)極限不存在，但還是有個(gè)趨于無(wú)窮大的趨勢(shì)。因此，給它一個(gè)記號(hào)，但還是屬于極限不存在之列，以后，我們說(shuō)函數(shù)極限存在，指的是函數(shù)極限值是個(gè)常數(shù)。9。稱當(dāng)是無(wú)窮小量。這里的可以是常數(shù)，也可以是。定理 。其中。10若時(shí)，都有，稱時(shí)是有界量。二、無(wú)窮小量階的比較，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量關(guān)系設(shè)，（這里可以是常數(shù)，也可以是，以后我們不指出都是指的這個(gè)意思）（1）若，稱當(dāng)

30、時(shí)是的高階無(wú)窮小量，記作。（2）若，稱時(shí)是的同價(jià)無(wú)窮小量。（3）若，稱時(shí)是的等價(jià)無(wú)窮小量，記作，此時(shí)（2）式也可記作。（4）若，稱時(shí)是的k階無(wú)窮小量。由等價(jià)無(wú)窮量在求極限過(guò)程中起到非常重要的作用，因此，引入若。記作，如果均是無(wú)窮小量，稱為等價(jià)無(wú)窮小量；如果均是無(wú)窮大量，稱為等價(jià)無(wú)窮大量；如果既不是無(wú)窮小也不是無(wú)窮大，我們稱為等價(jià)量。例如 ，則。注：A不能為零，若A=0，不可能和0等價(jià)。無(wú)窮小量的性質(zhì)：1若均為無(wú)窮小量，則（i）其中均為常數(shù)。（ii）。2若時(shí)是有界量，則。無(wú)窮大量的性質(zhì)：1有限個(gè)無(wú)窮大量之積仍是無(wú)窮大量。2有界量與無(wú)窮大量之和仍是無(wú)窮大量。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系：若；若。三

31、、函數(shù)連續(xù)的概念。定義1 若處連續(xù)。用語(yǔ)言可寫為定義 設(shè)的某鄰域內(nèi)有定義，若時(shí)，都有，稱連續(xù)。用函數(shù)值增量形式可寫為定義 若，稱在處連續(xù)。若,稱處左連續(xù)。若稱處右連續(xù)。定理處連續(xù)處既是左連續(xù)又是右連續(xù)。如果處不連續(xù)，稱為的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)的分類：（1）若點(diǎn)。若為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，只須補(bǔ)充定義或改變函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。但須注意，這時(shí)函數(shù)與已經(jīng)不是同一個(gè)函數(shù)但僅在處不同，在其它點(diǎn)相同。我們正是利用這一性質(zhì)去構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，使在某閉區(qū)間上處處連續(xù)，因而有某種性質(zhì)。當(dāng)時(shí)，也具有這種性質(zhì)。而時(shí)，所以在的范圍內(nèi)也具有這種性質(zhì)，從而達(dá)到了我們的目的。例如 ，但 則在處連續(xù)，但與定義域不同，雖然，又如知。設(shè)則在處

32、連續(xù)，雖然與定義域相同，但在處，兩個(gè)函數(shù)值不同，知與不是同一函數(shù)，但僅在不同，其余點(diǎn)函數(shù)值處處相同。（2）若但，稱為的跳躍間斷點(diǎn)，稱的跳躍度。（1）（2）兩種類型的特點(diǎn)是左右極限都存在，我們統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)。（3）若處，左、右極限至少有一個(gè)不存在，我們稱。若，我們也稱為的無(wú)窮型間斷點(diǎn)，屬于第二類間斷點(diǎn)。四、函數(shù)極限的性質(zhì)在下述六種類型的函數(shù)極限：（1） （2） （3） （4） （4） （6）它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，我們以為例，其它類型極限的相應(yīng)性質(zhì)的敘述只要作適當(dāng)修改就可以了。性質(zhì)1（唯一性）若極限存在，則它只有一個(gè)極限。性質(zhì)2（局部有界性）若極限存在，則存在的某空心鄰域，使在內(nèi)

33、有界。注意：存在，只能得出在的某鄰域內(nèi)有界，得不出在其定義域內(nèi)有界。性質(zhì)3 若，則存在的某空心鄰域，使時(shí)，都有。性質(zhì)4（局部保號(hào)性） 若，則對(duì)任何常數(shù)，存在的某空心鄰域，使得對(duì)一切，都有 成立。性質(zhì)5（不等式）若，且存在的某空心鄰域，使得對(duì)一切，都有。性質(zhì)6 （復(fù)合函數(shù)的極限）若，且存在的某空心鄰域，當(dāng)時(shí)， ，則。性質(zhì)6是求極限的一個(gè)重要方法變量替換法，即。性質(zhì)7（函數(shù)極限的四則運(yùn)算）若均存在，則函數(shù)（1）； （2）；（3）；又若在時(shí)的極限也存在，且有（4）。利用極限的四則運(yùn)算，可得下列重要結(jié)果。上面的結(jié)論可作為公式用。性質(zhì)8（歸結(jié)原則或海涅（Heine）定理）存在的充要條件是：都存在且相等。

34、逆否定理若存在兩個(gè)數(shù)列=且或存在不存在，則不存在。此定理是判斷函數(shù)極限不存在的一個(gè)重要方法。五、函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)若函數(shù)處連續(xù)，即，利用極限的性質(zhì)1-5可得到函數(shù)在連續(xù)的局部有界性，局部保號(hào)性，不等式等，只要把即可，讀者自己敘述出來(lái)。利用極限的四則運(yùn)算，我們有性質(zhì)1（連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算）若處連續(xù)，則。性質(zhì)2 若處連續(xù)，則處也連續(xù)且在滿足性質(zhì)2的條件下，極限符號(hào)與外函數(shù)可交換順序，如果僅要可交換順序，有推論 若。證 設(shè)則處連續(xù)，又處連續(xù)，由性質(zhì)2知。由于。在這里，我們巧妙地利用可去間斷點(diǎn)的性質(zhì)，構(gòu)造一個(gè)連續(xù)函數(shù)，以滿足所需的條件，上面的性質(zhì)2及推論也是求函數(shù)極限的一個(gè)重要方法。即極限符號(hào)與外函數(shù)交換

35、順序，把復(fù)雜函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)極限。定理 初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)。六、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理 （最大值與最小值定理）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一定能取到最大值與最小值，即存在，使得對(duì)一切，都有。推論1 若上連續(xù)，則上有界。定理（根的存在定理或零值點(diǎn)定理）若函數(shù)上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)。推論1 若函數(shù)上連續(xù)，且之間的任何常數(shù)，則至少存在一點(diǎn)。推論2 若函數(shù)上連續(xù)，則。這幾個(gè)定理非常重要，請(qǐng)大家要記住這些定理的條件與結(jié)論，并會(huì)運(yùn)用這些定理去解決問(wèn)題。七、重要的函數(shù)極限與重要的等價(jià)量利用初等函數(shù)的連續(xù)性及極限符號(hào)與外函數(shù)的可交換性及等價(jià)量替換，夾逼定理可得到下面的重要的函數(shù)極限。1 2. .3

36、.4.5. .6、.7.8.9 .10 .11若=即 。注：不僅要記住這些公式的標(biāo)準(zhǔn)形式，更要明白一般形式。即上面公式中的可換成，只要時(shí)，結(jié)論依然成立。利用上述重要極限，我們可以得到下列對(duì)應(yīng)的重要的等價(jià)無(wú)窮小量，在解題中經(jīng)常要利用他們當(dāng)時(shí)，.注：上式中的可換成，只要時(shí)，.結(jié)論依然成立。例如 。此外，若.§2.3 解題基本方法與技巧一、求函數(shù)極限的有關(guān)定理等價(jià)量替換定理，若（1）；（2）；，則.證,即.這個(gè)定理告訴我們，在求函數(shù)極限時(shí)，分子、分母中的因式可用它的簡(jiǎn)單的等價(jià)的量來(lái)替換，以便化簡(jiǎn)，容易計(jì)算。但替換以后函數(shù)極限要存在或?yàn)闊o(wú)窮大。需要注意的是，分子、分母中加減的項(xiàng)不能替換，應(yīng)分

37、解因式，用因式替換，包括用等價(jià)無(wú)窮小量、等價(jià)無(wú)窮大量或一般的等價(jià)量來(lái)替換。夾逼定理 若 ，且存在的某空心鄰域，使得對(duì)一切，都有，則 。單調(diào)有界定理（1）若在內(nèi)遞增（或遞減）有下界（或上界），則存在。（2）若在內(nèi)遞增（或遞減）有下界（或上界），則存在。請(qǐng)讀者給出的敘述。函數(shù)的單調(diào)有界定理應(yīng)用的較少，大家只要了解就可以。洛必達(dá)法則I 設(shè)（1）；（2）存在的某鄰域，當(dāng)時(shí)，都存在，且 ；（3），則.洛必達(dá)法則II，設(shè)（1）；（2）存在的某鄰域，當(dāng)時(shí)，都存在且 ；（3），則.1上述兩個(gè)法則中的改成時(shí)，條件（2）只須作相應(yīng)的修改，結(jié)論依然成立。2在用洛必達(dá)法則求極限之前，應(yīng)盡可能把函數(shù)化簡(jiǎn)，或把較復(fù)雜的因

38、式用簡(jiǎn)單等價(jià)的因式來(lái)替換，以達(dá)到簡(jiǎn)化，再利用洛必達(dá)法則。3利用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，可在計(jì)算的過(guò)程中論證是否滿足洛必達(dá)法則的條件，若滿足洛必達(dá)法則的條件，結(jié)果即可求出；若不滿足，說(shuō)明不能使用洛必達(dá)法則，則需用其它求極限的方法。此外，可重復(fù)使用洛必達(dá)法則，但只能用有限次。注：洛比達(dá)法則是第三章內(nèi)容。二、函數(shù)極限的類型1 若是初等函數(shù)，的定義域，由初等函數(shù)的連續(xù)性知.2若，則（1）（2）對(duì)于因式中含有對(duì)數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)時(shí)，一般放在分子、否則利用洛必達(dá)法則很繁，或求不出來(lái)。（3）當(dāng)同號(hào)時(shí)，這時(shí)，把化成分式，通分、化簡(jiǎn)，化成“”或“”，再利用洛必達(dá)法則。（4）(i)當(dāng)時(shí)，我們有兩種方法求該未定式的極限

39、，一種方法利用重要極限來(lái)計(jì)算，另一種方法，化為以e為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達(dá)法則。即解法一 再根據(jù)具體情況化成。解法二 這兩種方法，我們經(jīng)常還是利用解法一方便。（ii）當(dāng)時(shí)，（iii）當(dāng)時(shí)這時(shí)，只有化成以e為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達(dá)法則。即.而不屬于未定式，因?yàn)?。三、已知函?shù)的表達(dá)式，求函數(shù)的極限1求函數(shù)極限的四種重要方法 （1）極限的四則運(yùn)算；（2）等價(jià)量替換；（3）變量替換；（4）洛必達(dá)法則。對(duì)于未定式的極限，先用等價(jià)量替換或變量替換或極限的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用洛必達(dá)法則求極限。很多情況下，這幾種方法常常綜合運(yùn)用。例1 求.解 （）=。例2 求.解 ,由得原式=。注：本題雖然是未定式，

40、但巧妙地用變量替換，并沒(méi)用洛必法則就直接求出了極限。例3 求。解 原式，由時(shí)，得原式。例4 求.解 原式，由時(shí)，得原式 .例5 求.解 原式.例6 求.解法一 由，故原式=.解法二 原式,由，得原式.例7 求.解法一 原式,且時(shí)，原式=.解法二 原式 例8 求.解 原式 由。得原式.例9 求.解 原式由，得原式.例10 求.解 原式.例11 求.解 原式.例12 求.解 原式.例13 求.解法一 原式.解法二 原式.例14 求.解 原式 .例15 求.解 例16 求.解 .例17 求.解 例18 設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，求解 于是=例19 求.分析 因?yàn)?，所以洛必達(dá)法則不適用，宜改用其它方法。解

41、原式例20 求.無(wú)限循環(huán)，所以不能用洛必達(dá)法則.解 原式.2利用泰勒公式求函數(shù)極限。若。事實(shí)上，.因此，利用帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式可以求出某些函數(shù)極限，當(dāng)時(shí)，若 則例21 求.解 由于,，所以 .對(duì)于求時(shí)的函數(shù)極限，若用泰勒公式求極限，可令，變成求時(shí)的的函數(shù)極限，再利用上述的方法去解決。3利用夾逼定理求函數(shù)極限。例22 求.解 .由，根據(jù)夾逼定理知，.例23 求.分析 本題雖然屬于型，但不能用洛必達(dá)法則，因?yàn)椴淮嬖?。因此，用其它方法，?對(duì)任意自然數(shù) ，有 ，當(dāng)時(shí)，成立不等式 .由根據(jù)夾逼定理知原式=.注：這里是的函數(shù)，是分段函數(shù)，即.4利用定義證明函數(shù)極限的存在利用函數(shù)極限定義證

42、明函數(shù)極限與利用數(shù)列極限定義證明數(shù)列極限存在完全類似，在這里我們就不再重復(fù)了，一般情況，能不用盡量不用。除非要求用定義證，且考研出這種題的可能性較小。例24 用定義證明。證 不妨設(shè)，則，任給，要使，由，只要時(shí)，都有，由定義知。注：這里用了公式。至于用函數(shù)極限的單調(diào)有界定理求函數(shù)極限的可能性更小。四、已知函數(shù)極限且函數(shù)表達(dá)式中含有字母常數(shù)，確定字母常數(shù)數(shù)值。這種題型考的可能性更大，因?yàn)檫@種題型更能考察考生運(yùn)用無(wú)窮小量階的比較和洛必達(dá)法則分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。例25 求，求常數(shù)a, b.解 令，于是原式，由，知分子當(dāng)時(shí)，是分母的同階無(wú)窮小量，所以.得原式。例26 設(shè)，求常數(shù)解 ，由，知分子是分

43、母的同階無(wú)窮小量，得有，解得。例27 試確定常數(shù)。解 由題意知.由于=arcsin,所以,必有例28 已知為常數(shù)，求常數(shù)a和k，使時(shí)，解 ，由，知，從而，得例29 確定常數(shù)的值，使，解 由 知分子、分母是同階無(wú)窮小量有，且故,注： （1）必有，與（1）矛盾，若。故。例30 設(shè)在存在二階導(dǎo)數(shù)，且 ，求。分析：這里表面上沒(méi)有字母常數(shù)，實(shí)際上 就是待求的字母常數(shù)。解法一 由，得.由。于是。由。從而，得，注：求時(shí)不能用下述方法，。雖然結(jié)論對(duì)了，但過(guò)程是錯(cuò)的。因?yàn)榇嬖?，推不出在的某空心鄰域?nèi)存在且在不知是否連續(xù)，所以。解法二 由，利用在處的帶有二階余項(xiàng)的佩亞諾展開式，得由 從而有又。于是，所以五、判斷函

44、數(shù)極限不存在的方法。1若極限不存在。例31 討論極限.解 取取而不存在。2若例32 討論極限.解 取，知不存在。六、關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用和間斷點(diǎn)的討論。1函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用例33 設(shè)在區(qū)間X上的連續(xù)，且在有理點(diǎn)處都等于0，則。證取有理數(shù)列，使，由，根據(jù)歸結(jié)原則知。例34 若在區(qū)間X上連續(xù)，當(dāng)為有理數(shù)，則在區(qū)間X遞增。證，取有理數(shù)列, 根據(jù)條件有由于，在不等式（1）中，令，得。所以在區(qū)間X是遞增函數(shù)。注：這里區(qū)間X可以是閉區(qū)間、開區(qū)間、半閉半開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間。例35 設(shè)在上連續(xù)，若，證明：存在一，使。證 由閉區(qū)間上連續(xù)，則在一定能取到最小值，最大值M，且值域,有又，于是。故至少存在一點(diǎn)，使得。例3

45、6 證明：若函數(shù)在上連續(xù)，且對(duì)任何，存在相應(yīng)的，使得。 證 ，由條件知存在，使，同樣存在使，如此下去，存在數(shù)列，使，由 對(duì)于一切，都有，從而。令，得，由是上任意一點(diǎn)，故。例37 設(shè)。證明：若對(duì)任何，都有，則為常值函數(shù)。證 （i）當(dāng)時(shí)，由條件得是常值數(shù)列。又在處連續(xù)，由歸結(jié)原則，（ii）當(dāng)時(shí)，由條件得是常值數(shù)列。由，而，知，且由，知，知。2間斷點(diǎn)的討論如果初等函數(shù)，若在處沒(méi)有定義，但在一側(cè)或兩側(cè)有定義，則是間斷點(diǎn)，再根據(jù)在處左右極限來(lái)確定是第幾類間斷點(diǎn)。如果是分段函數(shù)，分界點(diǎn)是間斷點(diǎn)的懷疑點(diǎn)。例38 求極限，記此極限為，求函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出其類型。解 ，由于在處沒(méi)定義，而在兩側(cè)有定義，故是間斷點(diǎn)

46、。又所以是函數(shù)的第一類（可去）間斷點(diǎn)。例39 討論的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型。解 由于所以是第二類間斷點(diǎn)。例40 討論的間斷點(diǎn)，并指出類型。解 由于且所以是跳躍間斷點(diǎn)。七、關(guān)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)連續(xù)性的討論。例41 設(shè)。解 由。故。注：由是初等函數(shù)表達(dá)式。在處有意義知連續(xù)且為左連續(xù)，以后遇到類似情況，我可直接得出左連續(xù)，從而只要右連續(xù)即可。例42 已知解 因?yàn)椤Ｋ浴０?、雜題例43 若。解法一 由于，故從而。解法二 .例44 設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，求.解 令,于是 ， 故 原式。例45 設(shè)存在，證明證：由存在，知時(shí)，存在。當(dāng)充分小時(shí)，在上對(duì)應(yīng)用拉格朗日定理得，其中。 由且，由夾逼定理知而 ，

47、故 .例46 求.分析 這題雖然是“”型，但直接用洛必達(dá)法則或等價(jià)量替代，都不能求出結(jié)果。然而從被求的式子構(gòu)成形式，啟發(fā)我們用微分中值定理解原式 .注：由于介于之間，當(dāng)時(shí)，根據(jù)夾逼定理知例47 .解原式 .注：此題也可用微分中值定理去求。第三節(jié) 數(shù)列極限§3.1 數(shù)列極限內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖兩個(gè)子列極限存在但不相等數(shù)列極限數(shù)列極限的定義用定義證明數(shù)列極限的方法直接證法間接證法收斂數(shù)列的性質(zhì)唯一性有界性不等式保號(hào)性四則運(yùn)算判斷數(shù)列收斂的準(zhǔn)則夾逼定理單調(diào)有界定理判斷數(shù)列發(fā)散的準(zhǔn)則有一個(gè)子列發(fā)散數(shù)列無(wú)界重要的數(shù)列極限(k>0常數(shù))（|q|<1常數(shù)）(a>0常數(shù))§3.2

48、內(nèi)容提要與釋疑解難一、數(shù)列極限的概念定義 設(shè)an是一個(gè)數(shù)列，a是一個(gè)確定的常數(shù)，若對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在一個(gè)自然數(shù)N，使得n>N時(shí)，都有，則稱數(shù)列an的極限是a，或者說(shuō)數(shù)列an收斂于a，記作。注意：1. 的任意性，的作用在于衡量an與a的接近程度，從而限制小于某一個(gè)正常數(shù)，不影響衡量an與a接近的程度，但不能限制大于某一個(gè)正常數(shù)，定義中的可用2、或2等本質(zhì)上是任意的正常數(shù)來(lái)替代，同樣也可把“<”號(hào)換成“”號(hào)。2. N的相應(yīng)性。一般說(shuō)，N是隨著的變小而變大，但并不是由唯一確定，因?yàn)榻o定，確定N，當(dāng)n>N，有，則N+1，N+2，同樣也符合要求。此外，n>N中的N只是下標(biāo)的一個(gè)界線，要求n是自然數(shù)，故N可以是實(shí)數(shù)，而且n>N也可改成nN。3.幾何意義：，表明a的任何給定的鄰域中都含有數(shù)列an中除了有限項(xiàng)以外的全有項(xiàng)。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1 （唯一性）若數(shù)列an極限存在，則極限值是唯一的。性質(zhì)2 改變數(shù)列的有限項(xiàng)，不改變數(shù)列的收斂性與極限。有了性質(zhì)2，對(duì)于判定數(shù)列斂散性的定理中要求從第一項(xiàng)就具有某種性質(zhì)的條件可減弱為從某一項(xiàng)開始具有該性質(zhì)，結(jié)論依然成立。性質(zhì)3（有界性）數(shù)列an收斂，則an為有界數(shù)列，即存在某正常數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，都有。推論 若數(shù)列an無(wú)界，則數(shù)列an發(fā)散。該推