勾股定理培優(yōu)

1、第19講勾股定理考點(diǎn)方法破譯1 會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.2 會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3 勾股定理提示了直角三角形三邊的關(guān)系，對(duì)于線段的計(jì)算，?？捎晒垂啥ɡ砹蟹匠踢M(jìn)行求解；對(duì)于涉及平方關(guān)系的等式證明，可根據(jù)勾股定理進(jìn)行論證.經(jīng)典考題賞析【例1】（達(dá)州）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A B C D的邊長(zhǎng)分別是3, 5, 2, 3，則最大正方形E的面積是（）A. 13B. 26C. 47D. 94【解法指導(dǎo)】 觀察勾股樹(shù)，發(fā)現(xiàn)正方形 A、B的邊長(zhǎng)恰好是一直角三角形相鄰的兩直角邊.此時(shí)直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即

2、兩個(gè)較小正方形面積之和等于較大正方形的面積，從而正方形E的面積等于正方形 A B C D四個(gè)面積之和，故選 C.【變式題組】01.（安徽）如圖，直線I過(guò)正方形ABC啲頂點(diǎn)B,點(diǎn)A, C到直線I的距離分別是1和2,第1題圖第2題圖則正方形的邊長(zhǎng)是02.（浙江省溫州）在直線I上的依次擺放著七個(gè)正方形 （如圖所示），己知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是 1, 2, 3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S, Sa, S3, S,貝U S +S+ S3+ S=.03.（浙江省麗江）如圖，已知 ABC中，/ ABG= 90°, AB= BC三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線11、丨2、13上，且|1、

3、12之間的距離為2,丨2、13之間的距離為 3,貝y AC的長(zhǎng)是（）A. 2 17B. 2 5 C 4 2D 7【例2】（青島）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn) B,那么所用細(xì)線最短需要 cm如果從點(diǎn) A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要 cm【解法指導(dǎo)】細(xì)線纏繞時(shí)繞過(guò)幾個(gè)面，則將這幾個(gè)面展開(kāi)后在同一平面內(nèi)利用線段的公理：兩點(diǎn)之間線段最短畫出線路，然后利用勾股定理解決，應(yīng)填10，2,9一16n2 【變式題組】01.（恩施）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是 （）A

4、. 5.21B. 25C. 10、55D. 355第2題圖15,寬為10,高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5, 一只螞蟻02.（荊州）如圖所示的長(zhǎng)方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為 5X 6 X 10（單位：cn），在上 蓋中開(kāi)有一孔便于插吸管，吸管長(zhǎng)為13cm,小孔到圖中邊 AB距離為1cm到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的長(zhǎng)為hem貝U h的最小值大約為cm（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：V2 = 1. 4, J3 = 1. 7: J5 = 2. 2）03.（荊州）若一邊長(zhǎng)為40cm的等邊三角形硬紙板剛好能不受損地從用鐵絲圍成的圓形鐵圈中穿過(guò)，則鐵圈直徑最小值為 cm（鐵絲粗細(xì)

5、忽略不計(jì)）【例3】（荊州）如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCDf疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處, 點(diǎn)A落在F處，折痕為NM貝熾段CN勺長(zhǎng)是（）A. 3cmB. 4cmC. 5 cmD. 6cm【解法指導(dǎo)】對(duì)折問(wèn)題即對(duì)稱問(wèn)題，設(shè)CN= x, DN= NE= 8-x.在RtA CEN中，(8 x)222=4 + x x= 5.故選 C【變式題組】01 .在四邊形 ABCD,Z B= 90 °, AB= 4, BC= 3, CD= 13, AD= 12.求 S 四邊形 abcdDACB02.如圖， ABC中, AB= 13, AD= 6, AC= 5 , D為 BC邊的中點(diǎn).求 Saabc

6、303.如圖， ABC中，/ ACB= 90° , AD平分/ CAB BC= 4, CD= 求 AC2【例4】(四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 )如圖，直線 OB是一次函數(shù)y= 2x的圖象，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(0 , 2)，在直線OB上找點(diǎn)C,使得 ACC為等腰三角形，求點(diǎn) C坐標(biāo).【解法指導(dǎo)】求C點(diǎn)坐標(biāo)需分類討論(1) 若以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為腰，則C在以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為 半徑的圓與y =- 2x的交點(diǎn)處(2) 若以A為頂點(diǎn)，AO為腰，貝U C在以A為圓心， AO的長(zhǎng) 為半徑的圓與y = 2x的交點(diǎn)處. 若以C為頂點(diǎn)，則C在OA的中垂線與y =- 2x的交點(diǎn)處.【解】若以O(shè)為頂點(diǎn),OA為腰，

7、如圖設(shè)q t, 2t)，則在 COD中,oC= oD+cD4 = t2+ ( 2t)2 5t2= 4 c(54,5若以A為頂點(diǎn)，AO為腰，如圖，設(shè)C(t, - 2t)，在 Rt ACE中AC= CE + AE 22= t2+ ( 2t 2)2t = 0 （舍去），t =8 16G（ 5 ,虧）若C為頂點(diǎn)，C在 OA勺中垂線上. G（12，1)【變式題組】01若A （3, 2）, B為x軸上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若厶AOB是等腰三角形求B點(diǎn)坐標(biāo).02.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,B點(diǎn)坐標(biāo).點(diǎn)坐標(biāo).03.如圖.在平面直角坐標(biāo)系中,【例5】（福建省漳州）幾何模型：條件：如下左圖，A、B是直線I同旁的兩個(gè)

8、定點(diǎn).問(wèn)題：在直線I上確定一點(diǎn)P,使PA PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A，連接A' B交I于點(diǎn)P,則PA+ PB= A' B的值最?。ú槐刈C明）.模型應(yīng)用：如圖 1正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為2, E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接BD由正方形對(duì)稱性可知， B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于P,則P聊PE的最小值是【解】PO= 10, Q R分別是(1) 5(2) 如圖2，作P關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)Pi,關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)P2,連接PF2,交0B于R交0A于 Q則厶PRQ勺周長(zhǎng)最小，且此時(shí)厶 PRC的周長(zhǎng)為 PF RQ + QP= F1F2.連接 OP, OP,T/

9、 1 = Z 2，/ 3 =Z 4,Z 2+Z 3= 45°/ PiOP= 90°, OP = 0P= OP,在 RtA OPP2 中，pP = 0審 + OP", PiP2= 10 2【變式題組】01.(荊門)一次函數(shù)y= kx + b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn) A (2, 0), B (0, 4).求該函數(shù)的解析式;最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) OA、AB的中點(diǎn)分別為 C、D,02.(四川聯(lián)賽試題)已知矩形ABCD勺AB= 12, AD= 3, E、F分別是AB DC上的點(diǎn)，則折線N03.（陜西）如圖，在銳角厶ABC中, AB= 4、5，

10、/ BAG 45°,/ BAC勺平分線交BC于點(diǎn)D,M N分別是AD和 AB上的動(dòng)點(diǎn)，貝U BW MN的最小值是 【例6】求X 4 +8 x 216的最小值.【解法指導(dǎo)】所求的兩個(gè)根式之和的最小值，因被開(kāi)方數(shù)不是完全平方式而無(wú)法化簡(jiǎn)，用代數(shù)方法求解困難，但被開(kāi)方數(shù)的特點(diǎn)x2 + 4 = x2 + 22, （8 x） 2+ 16= （8 x）2 + 42 均為平方和結(jié)構(gòu)，由此聯(lián)想到勾股定理，題目就是求以 x2 22 , 8 x 2 42為斜邊的兩邊之和的最小值,于是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化為構(gòu)造圖形問(wèn)題來(lái)解決【解】如圖，作 AB= 8, Ad AB BDL AB AC= 2, BD=是

11、AB上一動(dòng)點(diǎn).設(shè) AE= x.則 BE =8 x. CE= x2 22 , DE= , 8 x 2 42 .所以求代數(shù)式最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在 AB 上求一點(diǎn)E,使C曰DE值最小.根據(jù)線段公理，連接 CD交AB于H,則CD為所求.作CF丄DB交DB延長(zhǎng)線于F.在Rt CDF中, CD= sCF2 DF2 = 10. 所求最小值為10.【變式題組】01.（恩施自治州）如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn) B、D作ABL BD EDL BD連接AC EC 已知 AB= 5, DE= 1, BD= 8,設(shè) CD= x.用含x的代數(shù)式表示AO CE的長(zhǎng)；請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AO CE的值最??？根據(jù)中的

12、規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式02.（咸寧）問(wèn)題背景：在厶ABC中，AB BC AC三邊的長(zhǎng)分別為5、10、 13，求這個(gè)三角形的面積小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)絡(luò)（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)厶 ABC即厶ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處 ），如圖1所示.這樣不需求 ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積請(qǐng)你將厶ABC的面積直接填寫在橫線上 ；思維拓展：我們把上述求厶 ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若厶ABCE邊的長(zhǎng)分別為 J5a、2罷a、17a（a>0），請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 a）畫出相應(yīng)的 ABC并求出它的面積；探索創(chuàng)新：若 A

13、BC三邊的長(zhǎng)分別為.m2 16n2、. 9m2 4n2、2 . m n （m>0, n> 0,且 仆n）,試運(yùn)用構(gòu)圖法.求出這三角形的面積【例7】.（天津）已知RtAABC中，/ ACB= 90°, CA= CB有一個(gè)圓心角為 45°,半徑 的長(zhǎng)等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線 CE CF分別與直線 AB交于點(diǎn)M N當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在/ ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖 1,求證：mN = aM+ bN；【思路點(diǎn)撥】考慮aM+ bN符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決.可將 ACM沿直線 CE對(duì)折，得 DCM連接DN只需證 DN= BN, / MD比9

14、0°就可以了 . 請(qǐng)你完成證明過(guò)程：當(dāng)扇形GEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，關(guān)系式MN= AM+ BN是否仍然成立？若成立， 請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 【解法指導(dǎo)】觀察求證的結(jié)論容易發(fā)現(xiàn)mN= aM+ bN符合勻股定理的結(jié)構(gòu)形式因此我們?cè)O(shè)法構(gòu)造以MN為斜邊的直角三角形.【解】（I）證明：將厶ABM沿直線CM對(duì)折，得 DCM連DN/ ACIWA DCMaZ 1 = / 2, AC= CD / A=Z MDC/ AC=CD= BC/ MC比 45°,/ 1 + /4=Z 2+Z 3 =Z 4在厶 DCNA BCN中,CD= CBZ 3 =Z 4 CDN2A CBN /./ C

15、DN=Z B= 45°, BN= DNCN= CN Z MDH 90° 在 Rt DMN中, mN= DlM+ dN. NlM= aM+ bN將 ACM沿直線CM寸折，得 GCM連接GN/ACM CGMZ CAM 135° ,Z 1 = Z 2, AM= GM/ BCN= 90°Z 3= 90° (45 ° -Z 1) = 45°+Z 1 = 45°+Z 2Z CG=Z 1 + Z 3 +Z 2 = 45°+Z 2 Z BCMZ CGN在厶 BCNFHA GCN中CNGN= BNIZ BCN=Z CGNB

16、CNA GCNZ CGMZ B= 45CB= CG Z MGM135° 45°= 90°，在 Rt MGb中, mN= Md gN'. mN= aM+ bN【變式題組】01.在 RtA ABC中 ,Z C= 90°, D為 AB邊的中點(diǎn)，DEI DF 求證：eF= AW+ bF02.我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊寫出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的一種圖形的名稱;如圖1,請(qǐng)你在圖中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA OB為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四

17、邊形OAM；如圖2,將厶ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60°,得到 DBE連接AD DC Z DCB=30° .求證：四邊形 ABCD是勾股四邊形03.（臺(tái)州）如圖 1, Rt ABC Rt EDF / ACB=Z F= 90°,/ A=Z E= 30° . EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE DF分別交線段AC于點(diǎn)M K觀察：如圖2、圖3，當(dāng)/ CDF= 0°或60°時(shí)，AMF C MK填“”、“V” 或“=”）.如圖 4,當(dāng)/ CDF= 30。時(shí)，AMFC MK（只填“”或 “V” ）.猜想：如圖1,當(dāng)0°v/ CDV

18、 60°時(shí)，AMF C MK證明你所得到的結(jié)論如果mK+ cK= AM,請(qǐng)直接寫出/ CDF的度數(shù)和 業(yè) 的值A(chǔ)M演練鞏固反饋提高可得 ABC則AC邊上的高為（）A.B.10D. 401.如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn),A. 21B. 15C. 6D. 21 或 902.（哈爾濱）如圖，長(zhǎng)方形紙片 ABCDK AB= 8cm,把長(zhǎng)方形紙片沿直線 AC折25疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F,若AF=cm貝卩AD的長(zhǎng)為（）4A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7 cm03.（濱州）已知 ABC中,AB= 17, AC= 10, BC邊上的高 AD為8，則邊BC的

19、長(zhǎng)為（）04在同一平面內(nèi)把邊 BC= 3, AC= 4, AB= 5的三角形沿最長(zhǎng)邊 AB翻折后得到 ABC，則CC的長(zhǎng)等于（）A.12513B.-Ic|D.24T05.個(gè)三角形三邊長(zhǎng)度之比為3:4:5，則這個(gè)三角形的三邊上高的之比為（）A. 3:4:5B.5:4:3C. 20:15:12D. 9:16:2506.（山西）如圖，在 RtABC中，/ ACB= 90°,BC= 3, AC= 4, AB的垂直平分線 DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,貝U CE的長(zhǎng)為（3A.-27B.-6C.25D. 207.（湖州）如圖，在正三角形 ABC中, AB= 1, D E、F分別是BC AC AB上的

20、點(diǎn)，DEL AC EF± AB FDL BC 則厶 DEF面積為.08.（安順）如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.若AC= 6，BC= 5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為 6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得 到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是 .09.（安徽）長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成 45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60°角（如圖所示），則 梯子的頂端沿墻面升高了 m10. （濱州）某樓梯的側(cè)面視圖如圖所示，其中AB= 4米，/ BAC= 30°，/ C= 90°，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在 AB

21、段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為 .11. （湖州）如圖，已知在 RtABC中,/ ACB= 90°，AB= 4，分別以AC BC為直徑作半圓， 面積分別記為 S、S2則S+ Sa的值等于 .12. （呼和浩特）如圖，四邊形 ABDC中, / ABD= 120°, ABL AC BDLCD AB= 4, CD= 5/3 ,則該四邊形的面積是.13.已知等腰三角形 ABC勺底邊AB= 20cm P是腰AC上一點(diǎn)，且 AP= 12cm BP= 16cm 則腰長(zhǎng)是14. （滬州）如圖， ABC中, AB= BC= 2,Z ABC= 90°, D是BC的中點(diǎn)，且它關(guān)于 AC的對(duì)稱

22、點(diǎn)為D'，貝U BD =.15. 如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y -的圖象上，OA= 4, ACLx軸，OA的中垂線交x軸于B.求 ABC的周長(zhǎng).x16. 有一人字形屋架（等腰三角形），其頂角為120。，兩腰長(zhǎng)均為4米，現(xiàn)擬定以其中一腰和底重新組成一個(gè)三角架，試問(wèn)將屋架的第三邊改為多少時(shí)，新的三角架為直角三角形 ？17. （牡丹江）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊分別為6m 8m現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以原來(lái)綠地8m長(zhǎng)的邊為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)18如圖A（3 , 4） , B（a, 1） , AB= 5, C D分別為x軸、y軸上的兩動(dòng)點(diǎn).求

23、四邊形ABC凋B(a,1長(zhǎng)的最小值.Ox19.如圖，在正 ABC中, DC= 4, DB= 3, DA= 5,求/ CDB20.如圖，在 RtAABC中，/ ACB= 90°, AC= BC D 為三角形內(nèi)一點(diǎn)， DC= 2, DB= 1, DA=3.求/ CDB培優(yōu)升級(jí)？奧賽檢測(cè)01.如圖，在 RtA ABC中, AB= AC D E在斜邊BC上且/ DAE= 45°，將 ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使 AC與 AB重合，得到 AFB連接EF,則下列結(jié)論：厶AED AEF； ABE ACDBE+ DC= DEBE+ DC= dE其中正確的是（）A.B.C.D.02.（四川聯(lián)賽

24、試題）BD> ABC的中線，AC= 6 且/ ADB= 45°,/ C= 30°，則 AB=（）A. 、6B. 2 2C. 3、2D. 603.（江西競(jìng)賽）若將三條高線長(zhǎng)度分別為x、y、z的三角形記為（x, y, z），現(xiàn)在以下四個(gè)三角形（6 , 8, 10） , （8 , 15, 17） , （12 , 15 , 20） , （20 , 21 , 29）中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)04.（北京競(jìng)賽）如圖，ABCD是一張長(zhǎng)方形紙片，將 AD BC折起、使 A B兩點(diǎn)重合于 CD邊上的P點(diǎn)，然后壓平得折痕 EF與GH若PE= 8cm

25、 PG= 6cm EG= 10cm,則長(zhǎng)方形紙片ABCD勺面積為（）cmD.AB CD EF GH四條線段，其中能構(gòu)成A.B.C05.如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)出了一個(gè)直角三角形三邊的線段是 （）A. CD EF GHB. AB CD EFC. AB CD GHD. AB EF GH06.（四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）如圖，等邊三角形 ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P向三邊作垂線， 垂足分別為S、Q R,且PQ= 6, PR= S, PS= 10,則厶ABC的面積等于（）A. 190.3B. 192.3C. 194、_3D. 196307.（四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 ）如圖所示，在 ABC中, Z BAC= 120° , AB= AC= 10、3 cm一動(dòng)點(diǎn)P從B向C以每秒2cm的速度移動(dòng)，當(dāng) P點(diǎn)移動(dòng)秒時(shí)，PA與腰垂直.08