氣體動力學基礎2 (11)

1、3.1 描述流動的兩種方法3.2 流動的分類3.5 流體微團運動分析3.4 連續(xù)性方程3.3 流體運動的基本概念35 流體微團運動的分析 考察和分析流體考察和分析流體質點之間的相對位質點之間的相對位移和相對運動。移和相對運動。 談及相對運動就必須把談及相對運動就必須把討論問題的尺度從流體質討論問題的尺度從流體質點擴大到流體微團。點擴大到流體微團。 給出在同一給出在同一時刻流體微團時刻流體微團中任意兩點速中任意兩點速度之間的關系。度之間的關系。分析流體微團分析流體微團的運動形式。的運動形式。 流體微團運動的分析流體微團運動的分析流體微團的運動形態(tài)：流體微團的運動形態(tài)：平移平移旋轉旋轉變形變形線變

2、形線變形角變形角變形線變形線變形 平移平移 轉動轉動角變形角變形平面流動平面流動平移平移 轉動轉動 線變形線變形 角變形角變形瞬時邊長為瞬時邊長為dx,dy,dzdx,dy,dz的平行六面體流體微團的平行六面體流體微團1yVyVyxzdydzdxMxVzV1xV1zVM1yxdydxxxVVdyyyyVVdyyyyyVVVdxdyxyxxxVVVdxdyxyxVyVxxVVdxxyyVVdxx 頂點頂點（x xdxdx，y ydydy，z zdzdz）處速度）處速度分量用泰勞級數展開，略去二階以上小量得分量用泰勞級數展開，略去二階以上小量得: :111xxxxxyyyyyzzzzzVVVVVd

3、xdydzxyzVVVVVdxdydzxyzVVVVVdxdydzxyz以第一式為例，方程右邊作如下變換：以第一式為例，方程右邊作如下變換：1xxxxxVVVVVdxdydzxyzzyVdyxVdzx整理得：整理得：同理第二，三方程作變換得：同理第二，三方程作變換得：1xyxzxyzxxxvvdxdzdydydz1yyzxzyyyyxvvdydxdzdzdx1zzxyxzyzzzvvdzdydxdxdy1xyxzxyzxxxvvdxdzdydydz111()()2211()()22xxxyxxxxyzzVVVVVdxdzdyxzyVVdydzyVVxVxzVxxxxxvxyyyvyzzzvz1

4、()2yzzyvvyz1()2xxzzvvzx1()2yxxyvvyx1()2yzxvvyz1()2xzyvvzx1()2yxzvvxy其中：其中： 各項的物理意義各項的物理意義1 1）xx xx , , yyyy , , zz zz 的意義的意義 xvdxx：點相對于點在：點相對于點在向的相對速度向的相對速度ByVdydtyxVdxdtxdydxACDDCB六面體在六面體在xoy 平面的投影平面的投影 上述兩項使微團在與方向產生線變形上述兩項使微團在與方向產生線變形yvdyy:點相對于點在向的相對速度點相對于點在向的相對速度dtdt內使向右移動的內使向右移動的距離為距離為xvdxdtxyvd

5、ydtydtdt內使內使D D向上移動的向上移動的距離為距離為（1 1） ：代表流體微團沿方向的應變率：代表流體微團沿方向的應變率xxxvx即方向單位長度線段的伸長或縮短變形速度即方向單位長度線段的伸長或縮短變形速度yVdydtyxVdxdtxdydxACDDCB六面體在xoy 平面的投影B同理可知另外兩個量的物理意義同理可知另外兩個量的物理意義yyyvy（2 2） : : 方向的應變率方向的應變率zzzvz（3 3） : : 方向的應變率方向的應變率div0yyzzxxu表明不可壓縮流體體積不變表明不可壓縮流體體積不變xvdyy : :向速度分量在向速度分量在DCDC 和和ABAB層間的速度

6、差。層間的速度差。yvdxx : :向速度分量在向速度分量在B B C C和和ADAD層層間間的速度差。的速度差。速度差使相鄰兩層流體產生剪切變形速度差使相鄰兩層流體產生剪切變形2yyvdxdtvxddtdxxAB在在dtdt內轉動的角度為內轉動的角度為:2) 2) xyxy , , yzyz , , x xz z的物理意義的物理意義2yvddtx單位時間內單位時間內AB邊的轉角為邊的轉角為DxVdydtyyVdxdtxdydxACDCBBd2d1同理，同理，ADAD在在dtdt內轉角為：內轉角為：1xxvdydtvyddtdyy單位時間內單位時間內ADAD邊的轉角為邊的轉角為1xdvdty1

7、211()()22yxvddvddtdtdtxy所以所以1()2xyyxvvxy : : 流體微團在平面內剪切變形流體微團在平面內剪切變形 的平均角速度，或稱的平均角速度，或稱剪切應變率剪切應變率。同理可證另外兩個量的物理意義，有：同理可證另外兩個量的物理意義，有：1()2xzxzvvzx（3 3） ：xzxz平面上剪切應變率。平面上剪切應變率。1()2yxxyvvxy（1 1） ：流體微團在：流體微團在xyxy平面內剪切變形平面內剪切變形 的的平均角速度平均角速度，或稱，或稱剪切應變率剪切應變率。1()2yzzyvvyz（2 2） ：yzyz平面上剪切應變率。平面上剪切應變率。211()21

8、 ()2yxdddvvdtxy 流體微團的平均旋轉角速度流體微團的平均旋轉角速度: :單位時間內單位時間內AEAE的旋轉角度的旋轉角度。設設dtdt時間內旋轉時間內旋轉dada3 3） 的物理意義的物理意義,yzzDxVdxdtxyVdxdtxdydxACDCBBd2d1EEdaAE:AE:流體微團角平分線流體微團角平分線1()2yxvvddtxy微團角分線的旋轉角速度為：微團角分線的旋轉角速度為：由此可知：由此可知：1()2yxzvvxy 代表流體微團繞過點并平行于軸的軸代表流體微團繞過點并平行于軸的軸線旋轉的平均角速度。線旋轉的平均角速度。DxVdxdtxyVdxdtxdydxACDCBB

9、d2d1EEda同理得另外兩個量的物理意義，三個方向有：同理得另外兩個量的物理意義，三個方向有：1()2yxzvvxy（1 1） : :流體微團繞點并平行于流體微團繞點并平行于軸軸的軸線旋轉的平均角速度。的軸線旋轉的平均角速度。1()2yzxvvyz（2 2） : :流體微團繞點平行于軸的流體微團繞點平行于軸的軸線旋轉的平均角速度。軸線旋轉的平均角速度。1()2xzyvvzx（3 3） : :流體微團繞點平行于軸的流體微團繞點平行于軸的軸線旋轉的平均角速度。軸線旋轉的平均角速度。2Rotv 流體微團繞過點旋轉的平均角速度。流體微團繞過點旋轉的平均角速度。1122xyzijkRotvv其矢量形式

10、其矢量形式速度向量的旋度速度向量的旋度，表示微團旋轉的程度。，表示微團旋轉的程度。流體微團的運動由如下三部分：流體微團的運動由如下三部分： 線變形使六面體微團體積擴大或縮小，角變線變形使六面體微團體積擴大或縮小，角變形使六面體微團的形狀改變。形使六面體微團的形狀改變。平移運動平移運動：速度為（：速度為（v vx x，v vy y，v vz z）；）；旋轉運動旋轉運動：角速度為（：角速度為（x x，y y，z z）；）；變形運動變形運動：線變形速度（：線變形速度（ xx,yy，zz ）和角）和角 變形速度為（變形速度為（xyxy, ,xzxz, ,yzyz ）的剪）的剪 切變形運動。切變形運動。

11、平面流動平面流動平移平移 轉動轉動 線變形線變形 角變形角變形xxxvxyyyvyzzzvz1()2yzyzvvyz1()2xzxzvvzx1()2yxxyvvxy1()2yzxvvyz1()2xzyvvzx1()2yxzvvxy線變形率線變形率角變形速度角變形速度旋轉角速度旋轉角速度=0的流動稱為的流動稱為無旋流動無旋流動，0的流動稱為的流動稱為有旋流動。有旋流動。例例1 1：已知流場的速度分布為：已知流場的速度分布為 和和 判斷流場流動是否有旋？判斷流場流動是否有旋？ ,xuyz,yuzx,zuxy解：由旋轉角速度解：由旋轉角速度121212yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy111

12、0211102111020,xyzijk可知可知 故為無旋流動。故為無旋流動。例例1 1：已知流場的速度分布為：已知流場的速度分布為 試分析這一流動。試分析這一流動。 -,xucy,yucx解：解：（1 1）速度大小速度大小 2222xyuuuc xycr速度與極坐標速度與極坐標r r成正比成正比 （2 2）由流線微分方程可得）由流線微分方程可得 dxdyyx積分可得流線方程為積分可得流線方程為 22xyc流線為以原點為圓心的同心圓簇。這是一穩(wěn)流線為以原點為圓心的同心圓簇。這是一穩(wěn)定流動，所以跡線與流線重合定流動，所以跡線與流線重合 （3 3）線變形速率）線變形速率 0 ,00yxxxyyxx

13、yyuuxydivu由此可知，無線變形，且流動不可壓縮由此可知，無線變形，且流動不可壓縮 （4 4）角變形速度）角變形速度 110 22yxxyyxuuccyx 由此可知，無角變形由此可知，無角變形（5 5）旋轉角速度）旋轉角速度 11 22yxzuucccxy由此可知，旋轉角速度為由此可知，旋轉角速度為c c，流動有旋。，流動有旋。例例2 2：已知流場速度分布為：已知流場速度分布為u ux x=-cx=-cx，u uy y=-cy=-cy，u uz z=0=0。C C為常數。求為常數。求（1 1）歐拉加速度）歐拉加速度a a；（；（2 2）流動是否有）流動是否有旋？（旋？（3 3）是否角變形

14、？（）是否角變形？（4 4）求流線方程。）求流線方程。解解(1)(1)加速度公式加速度公式整理，得：整理，得：220ac xic yj220 xxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzuuuauuuc xxyzuuuauuucyxyzuuuauuuxyz(2)(2)旋轉角速度旋轉角速度102102102yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy可知可知0 xyzijk，故為無旋流動。，故為無旋流動。(3)(3)由角變形速度公式由角變形速度公式102102102yxxyxzxzyzzyuuxyuuzxuuzy可知為無角變形?？芍獮闊o角變形。(4)(4)將速度分布代入流線微分方程將速度分布代入流線

15、微分方程=dxdycxcy變形得：變形得：=dxdyxy兩邊積分，可得流線方程兩邊積分，可得流線方程=xcy流線為一簇射線。流線為一簇射線。例例3 3：已知流場速度分布為：已知流場速度分布為：u=xu=x2 2yi-3yj+2zyi-3yj+2z2 2k k（1 1）屬于幾元流動？）屬于幾元流動？（2 2）求（）求（x x，y y，z z）= =（3 3，1 1，2 2）點的加速度？）點的加速度？解解（1 1）由流場的速度分布可知由流場的速度分布可知 u ux x=x=x2 2y y u uy y=-3y=-3y y yz z=2z=2z2 2屬于三元流動屬于三元流動解解（2 2）由加速度公式

16、）由加速度公式xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyz得得32232398xyzax yx yayaz過（過（3 3，1 1，2 2）點的加速度點的加速度27964xyzaaa矢量形式為：矢量形式為：27964aijk大?。捍笮。?0a 例例4 4：某一平面流動的速度分量：某一平面流動的速度分量：u ux x=-4y,u=-4y,uy y=4x=4x，求流線方程？求流線方程？解解：由流線微分方程由流線微分方程xydxdyuu將速度分量代入流線微分方程并化簡得：將速度分量代入流線微分方程并化簡得：dxdyyx整理，得：整