一元多項式環(huán)的概念及其通用性質(zhì)

1、2021/8/1417.1 7.1 一元多項式環(huán)的概念及其通用性質(zhì)一元多項式環(huán)的概念及其通用性質(zhì)2021/8/142 一、多項式一、多項式 定義定義. . 設(shè)設(shè)x是一個變量是一個變量( (文字文字),),n是非負整數(shù)是非負整數(shù). .表表示式示式 anxn+an-1xn-1+a1x+a0 ,其中其中an, an-1,a1, a0全屬于數(shù)域全屬于數(shù)域K,稱為系數(shù)在稱為系數(shù)在數(shù)域數(shù)域K中的中的一元多項式一元多項式,簡稱數(shù)域簡稱數(shù)域K上的一元多上的一元多項式項式.2021/8/143注注: (1) 一元多項式指只含一個變量一元多項式指只含一個變量. (2) n是非負整數(shù)是非負整數(shù). . ( (3) )

2、 多項式常用多項式常用f(x), g(x)等表示等表示,或簡記作或簡記作f, g等等. .2021/8/144 設(shè)數(shù)域設(shè)數(shù)域K K上的多項式上的多項式 f(x) = anxn+an-1xn-1+a1x+a0 , (1) an,an-1,a1,a0稱為稱為f(x)的的系數(shù)系數(shù),系數(shù)全為系數(shù)全為0的多項式稱為的多項式稱為零多項式零多項式,記作記作0. (2) akxk (k=n,n-1,1,0)稱為稱為f(x)的的k次項次項,ak稱稱為為f(x)的的k次項系數(shù)次項系數(shù). (3) 零次項零次項a0也稱為也稱為f(x)的的常數(shù)項常數(shù)項.2021/8/145 (5)(5) 非零常數(shù)是零次多項式非零常數(shù)是

3、零次多項式. . (6)(6) 零多項式是唯一無法確定次數(shù)的多項式零多項式是唯一無法確定次數(shù)的多項式. . (7)(7) 只有只有f(x) 0, degf(x)才有意義才有意義. .(4)(4) 若若an 0, ,稱稱anxn為為f(x)的的首項首項, an稱為稱為f(x)的首項系數(shù)的首項系數(shù), n 稱為稱為f(x)的的次數(shù)次數(shù),常記作常記作degf(x),或或( ).f x 2021/8/146二 多項式的運算 設(shè)設(shè) f(x) = anxn+an-1xn-1+a1x+a0 , g(x) = bmxm+bm-1xm-1+b1x+b0 , 1、相等、相等: f(x)=g(x) 若若f(x)與與g

4、(x)的所有同次項系數(shù)全相等的所有同次項系數(shù)全相等. 2、加、加(減減)法法: f(x) g(x) 將將f(x)與與g(x)的所有同次項系數(shù)相加的所有同次項系數(shù)相加(減減); 若若mn,則則ai=0;若若jm,則則bj=0. . (2)(2)乘法運算式可按豎式進行乘法運算式可按豎式進行. .0()n mkijkij ka bx 2021/8/148乘法運算式乘法運算式 例例1.設(shè)設(shè)f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,則則 f(x)=2x2+3x-1, ) g(x)=x3+2x2-3x+2 . 2x5+3x4- x3 4x4+6x3-2x2 -6x3-9x2+3x 4

5、x2+6x-2 . f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-22021/8/149一些性質(zhì) 1 1、數(shù)域、數(shù)域K K上的兩個多項式經(jīng)過加、減、乘運上的兩個多項式經(jīng)過加、減、乘運算后算后, ,所得的結(jié)果仍然是數(shù)域所得的結(jié)果仍然是數(shù)域K K上的多項式上的多項式 2 2、deg(f(x) g(x) max(deg f(x),deg g(x) deg(f(x)g(x)=deg f(x)+deg g(x) 3、若、若f(x) 0,g(x) 0,則則f(x)g(x) 0,而且而且f(x)g(x)的的首項就等于首項就等于f(x)的首項與的首項與g(x)的首項之積的首項之積; f(x)g(x

6、)的首項系數(shù)等于的首項系數(shù)等于f(x)的首項系數(shù)與的首項系數(shù)與g(x)的首項系數(shù)之積的首項系數(shù)之積. .2021/8/1410運算規(guī)律 1 1、加法交換律、加法交換律 2 2、加法結(jié)合律、加法結(jié)合律 3 3、乘法交換律、乘法交換律 4 4、乘法結(jié)合律、乘法結(jié)合律 5 5、乘法對加法的分配律、乘法對加法的分配律 6 6、乘法消去律、乘法消去律 定義定義 所有系數(shù)在數(shù)域所有系數(shù)在數(shù)域K K中的一元多項式全中的一元多項式全體體, ,稱為數(shù)域稱為數(shù)域K K上的上的一元多項式環(huán)一元多項式環(huán), ,記作記作K K x , , P稱為稱為K x 的的系數(shù)域系數(shù)域. . 2021/8/1411設(shè)設(shè) ( ), (

7、 ), ( ) f x g x h xR x (1) 證明證明: 若若 222( )( )( ),fxxgxxhx 則則 ( )( )( )0f xg xh x =(2) 在復(fù)數(shù)域上在復(fù)數(shù)域上(1)是否成立？是否成立？練習(xí)：練習(xí)：2021/8/1412(1) 證：若證：若 ( )0,f x 則則 222( )( )( )0,x gxhxfx 于是于是 2222( )( )( ( )( )xgxxhxx gxhx 為奇數(shù)為奇數(shù). 故故 ( )0,f x 從而從而 22( )( )0.gxhx從而從而 22( )( )0.gxhx2( )fx 但但 為偶數(shù)為偶數(shù). 這與已知矛盾這與已知矛盾.222( )( )( ),x gxhxfx 2021/8/1413(2) 在在 C上不成立如取上不成立如取 ( )0,( ),( )f xg xixh xx 從而必有從而必有( )( )0