數(shù)學史攜手了,便未曾放開

1、數(shù)學史攜手了，便未曾放開江蘇啟東市中小學教師研修中心蔡宏圣，做案例乘法的初步認識時，我在想：人類是怎樣把相同加數(shù)的加法提升為乘法的，教學能不能呈現(xiàn)這樣的過程。 后來，成文文化視野中的小學數(shù)學教育實踐與思考，獲得了省教育廳辦公室主辦的“教海探航”征文一等獎。 這是我第一次有意識地從數(shù)學史的角度去考慮教學，并嘗到了甜頭。20XX 年暑期，江蘇教育 雜志出刊 “蘇派新生代名師的教學主張” ，我又想：兒童的認知是直觀感性的， 數(shù)學的特性是理性抽象的，數(shù)學教育就是在這兩者間實現(xiàn)平衡，這便是“和諧數(shù)學” 的根本意義。 外人看來，教學主張中看似沒有了數(shù)學史， 但我自己知道數(shù)學史之于“和諧數(shù)學”的作用。后來，

2、形成了成果 “和諧數(shù)學”教學主張的構建及實踐 ，并獲得了江蘇省教學成果一等獎 這一路過來，自從有意識地攜手了數(shù)學史，便未曾放開，越琢磨，越感慨其智慧無邊一、數(shù)學史是歷史的知識，還原省略壓縮的豐富細節(jié)小學生好奇心強，好問“為什么”。如果問“為什么0 沒有倒數(shù)”，可以依據(jù)定義這樣來回答 “因為乘積為1 的兩個數(shù)互為倒數(shù)， 0 和任何數(shù)相乘都得0，找不到一個數(shù)和 0 相乘得 1，所以 0 自然沒有倒數(shù)” 。如果學生問： 小數(shù)不小啊， 為什么要稱為 “小數(shù)”呢？為什么稱未知數(shù)為“元” ，方程的解為“根”呢 諸如此類問題， 那如何回答？可以發(fā)現(xiàn)，有些“為什么”的問題，在邏輯上已經(jīng)無從回答， 即便是一個數(shù)

3、學上滿腹經(jīng)綸的老師都深感棘手。 為什么出現(xiàn)這種狀況？上述的“為什么” ，有學者將它們分成了兩類，一類稱之為“邏輯上的為什么” ，一類稱之為 “歷史上的為什么” 。“邏輯上的為什么”，可以利用教科書中的定義和邏輯作出回答，而“歷史上的為什么”教科書已經(jīng)無能為力了。 師生據(jù)以進行教學活動的教科書，它具有概括性和簡明性，在編寫過程中無奈略去了很多細節(jié)。省略的東西， 用著名數(shù)學家M·克萊因在其著作古今數(shù)學思想序言中的話來說，就是“課本上字斟句酌的敘述， 未能表現(xiàn)出數(shù)學思維創(chuàng)造過程中的斗爭與掙扎、挫折與失敗，以及在建立一個數(shù)學結構之前， 數(shù)學家所經(jīng)歷的艱苦漫長的努力”，只剩下了純粹的概念、符號

4、、公式、定理、問題。所以， “歷史上的為什么”只能超越教科書， 用數(shù)學史來回答。 數(shù)學史，研究數(shù)學知識的起源、形成與發(fā)展，向前能詮釋一個知識、 一個思想乃至一個數(shù)學分支的源，向后能詮釋它們的流。對于尋求理解“現(xiàn)在之所以成為現(xiàn)在這樣子”的人們來說，過去的事情都在歷史里，所以從這個意思上說，數(shù)學史提供了整個課程的概貌。原來，在中國古代數(shù)學著作中， 分、厘、毫、秒、忽等單位經(jīng)常用來表示小數(shù)的位置，它們間的關系便是十進分數(shù)制， “忽”以下的單位不再給予專有的名稱。 三國時代數(shù)學家劉徽他在注九章算術時，對于開不盡的根，將不再命名的“忽”以下的部分稱為“微數(shù)”：微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，再退以百

5、為母，退之彌下，其分彌細?？梢?， 劉徽所說的微數(shù)就是我們今天所說的帶小數(shù)的小數(shù)部分，確實是較小的數(shù)。今天，我們所說的“小數(shù)”不再只限于純小數(shù)，也就是說，隨著時間的推移，概念名稱的字面意義已經(jīng)和概念內(nèi)涵分道揚鑣了 一個概念為什么這么稱謂，不會無緣無故，一定有合情合理的一段歷史。教科書不僅省略了許多， 而且也壓縮了不少數(shù)學知識逐步約定、逐步完善的過程。例如復雜的計算， 需要分解為多個簡單數(shù)目的計算，為了不遺忘中間步驟的計算結果，就需要進行記錄，這便是計算豎式的由來。翻讀歷史，你可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)代樣式的計算豎式，都不是一蹴而就形成的， 曾經(jīng)在歷史上留下痕跡的豎式用現(xiàn)代的眼光看， 都留有明顯的缺陷。既如此，

6、 我們?yōu)槭裁床蝗菰S學生在剛學寫豎式的時候“丟三落四”呢？計算方法的約定也有個過程。 多位數(shù)的加減，我們現(xiàn)在約定從個位算起， 為什么這樣約定？因為從高位算起， 如果后面計算中遇到進位或退位， 那就必須回頭重新調(diào)整已經(jīng)完成的高位計算結果。 而從個位算起，不存在這種麻煩。但問題是，人類祖先如果沒有經(jīng)歷這樣的麻煩，未必會作出“從個位算起”的規(guī)定。既如此，學生首先學習不進位的加法和不退位的減法，也就不必咬牙切齒地訓斥從高位算起的學生。讓他們在后面的學習中遇見那些麻煩，讓他們自己去改只要是正常的人，誰會一直樂意遭受麻煩呢？教科書中的數(shù)學從概念到定理那么嚴謹自如， 從例子到公式那么理所當然， 但數(shù)學史卻告訴

7、我們， 每一個數(shù)學成果都是點點滴滴累積而成的， 常常幾十年乃至幾百年的努力才能邁出有意義的幾步。 懂得 “怎么變成現(xiàn)在這樣子”了， 教學無疑更為從容和淡定。二、數(shù)學史是開掘的路徑， 揭示教學智慧的其他可能牛頓說：“如果我比別人看得遠些，那是因為我站在巨人的肩上” 。的確，牛頓沒有說錯。數(shù)學上的每一項成果都是世代累積的結果， 但即便如此，也不可否認杰出數(shù)學家在關鍵節(jié)點推動數(shù)學向前發(fā)展的決定性作用。不過，杰出數(shù)學家也是人，所以，歷史上便有數(shù)學家之間的“口水仗” 。這其中最典型的要數(shù)牛頓和萊布尼茨之間關于微積分發(fā)明優(yōu)先權的爭吵。 1665 年開始，牛頓把自己關于微積分的想法陸續(xù)告訴了周圍的朋友。 1

8、669 年他完成了關于微積分的重要著作， 并遞給了英國皇家學會會員，但很遺憾論文被拖到了 1711 年才得以發(fā)表。萊布尼茨在 1675 年 11 月完成了關于微積分的歷史性手稿， 獨立于牛頓創(chuàng)造了微積分，并在 1684 年發(fā)表了論文。 1712 年，英國皇家學會公開指責德國數(shù)學家萊布尼茨剽竊英國數(shù)學家牛頓的微積分思想， 萊布尼茨及其追隨者群起而反擊， 一場曠日持久的口水仗便開始了。隨著爭論的升級， 幾乎整個歐洲都卷了進來， 演變成了英國和歐洲大陸之間的榮譽之爭， 而不僅僅是兩個數(shù)學家之間的恩怨，即使兩人先后去世后， 紛爭還沒有停止。 這也使得英國在相當長的時間里，都拒絕使用在歐洲大陸更為流行、

9、 符號合理、使用方便的萊布尼茲的微積分方法，妨礙了英國 18世紀在數(shù)學分析方面的發(fā)展。除了微積分優(yōu)先發(fā)明權的紛爭外， 歷史上還有笛卡爾和費馬互相指責對方抄襲自己的解析幾何方法， 匈牙利數(shù)學愛好者鮑耶誤會俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基剽竊自己的非歐幾何思想 （高斯死后公布的信件、 日記、書稿表明，他也獨立地提出了非歐幾何）等等。數(shù)學史中關于某個數(shù)學成果優(yōu)先發(fā)明權的紛爭， 有力地表明了存在著這樣一種歷史現(xiàn)象，即不同的數(shù)學家獨立地在不同的時間里創(chuàng)造了同一個數(shù)學成果。向前追溯，這種現(xiàn)象同樣存在于人類數(shù)學的萌芽時期： 所有的古代文明都有刻痕計數(shù)和結繩記事的方法，豐富的考古資料和事實根據(jù)支持這個觀點所有這些表明：

10、 在一定的情境中，人類的思維按照邏輯走下去， 創(chuàng)造出某個數(shù)學成果是必然的，只不過創(chuàng)造的時間、創(chuàng)造的人不同而已。 基于數(shù)學史作這樣的提煉，我們也就能推測， 學生數(shù)學學習的認知過程和人類數(shù)學創(chuàng)造的發(fā)展過程相類似。只要認知擴展的情境在，只要人類思維的邏輯在，那么數(shù)學家們曾經(jīng)經(jīng)歷的認知提升過程，曾經(jīng)經(jīng)歷的認知困惑、認知挫折等，人類的孩子自然也會經(jīng)歷。著名數(shù)學教育家波利亞說， “只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識， 我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷” 。教學“用字母表示數(shù)” ，一個公認的教法是利用教師和學生間的年齡關系，老師問“當某同學10 歲時，老師多少歲？”學生答： “

11、老師 10+16=26 歲”；老師再問“當某同學15 歲時，老師多少歲？”學生答“老師 15+16=31 歲”；然后老師問 “當某同學a 歲時，老師多少歲” ，由此引出了“用字母表示數(shù)” 。 ，我讀這樣的案例不禁琢磨，通過這樣的學習，學生理解的知識意義與客觀的數(shù)學本質(zhì)有多少距離？“用字母表示數(shù)” 到底意味著什么？這樣的問題如同一個“暗箱” ，你不可能通過詢問學生得到清晰的答案， 只有從歷史中去尋找。對于“用字母表示數(shù)” ，初等代數(shù)史上有兩個經(jīng)典時刻。一個是公元3 世紀， 古希臘的丟番圖在其著作算術中首次用字母表示數(shù)，他用音節(jié)第一個字母的縮寫來表示未知量。未知量不同， 音節(jié)不同， 表示未知量的縮

12、寫字母不同，列出的方程也就不同，解方程的方法當然也不同。 因而，丟番圖解一個方程用一種方法，全憑高度的技巧。難怪有人說：研究了丟番圖一百個方程的解法后，還是不知道怎樣去解第一百零一個方程。第二個歷史的經(jīng)典時刻是 16 世紀，法國數(shù)學家韋達實現(xiàn)了歷史性的突破， 他不僅用固定的幾個字母表示未知數(shù)， 而且用某幾個字母表示已知數(shù)，因而方程有了更一般的形式， 解法也就有了更通用的辦法，開創(chuàng)了符號代數(shù)的時代。把兩個歷史時刻聯(lián)系起來看，學習“用字母表示數(shù)” 最重要的一點是體會用字母去概括已知量， 這才是對人類原有認知極限的突破。牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的第一代微積分，應用解決實際問題很管用， 但數(shù)學原理上說不清楚

13、。 130 多年后，柯西和魏爾斯特拉斯等建立了第二代微積分， 把微積分建立在嚴謹?shù)臉O限理論上。 數(shù)學分析雖然嚴密了，但由于概念和推理煩瑣迂回， 對于一般要學習高等數(shù)學的人來說，是聽不明白的微積分。第三代微積分， 是正在創(chuàng)建發(fā)展的新一代微積分不但嚴謹，而且直觀易懂。三代微積分，在具體計算方法上沒有不同，不同的只是對原理的說明。微積分發(fā)展的這段歷史，清楚地說明了一個數(shù)學成果的史學形態(tài)和最終的學術形態(tài)是有距離的， 但史學形態(tài)卻展示了一個數(shù)學成果逐漸完善嚴謹?shù)倪^程，這樣的過程對于學習者理解學術形態(tài)的表達，是有重要啟示意義的。 這正如英國數(shù)學家阿蒂亞爵士所言的： 一個新思想最有意義的部分， 常常不在那些

14、最一般的深刻定理之中，而往往寓于最簡單的例子、 最原始的定義，以及最初的一些結果。 最重要的信息卻常常包括在容易的部分， 甚至在幾個簡單且深刻的觀察之上！由此看來，教學中要組織教育形態(tài)的數(shù)學， 要注意從數(shù)學史中去尋找教學智慧， 一個知識產(chǎn)生、 完善過程中的磕磕碰碰，雖然對于知識本身來說沒有意義，但對于學習者來說， 卻是一條產(chǎn)生深度理解的路徑。三、 數(shù)學史是厚實的背景， 構建教師個人的教學哲學關于教師在課堂教學中的角色和地位，我們有很多種提法，但無論怎樣， 我們都不可否認教師的價值引領作用。 正由于教師在教學活動中發(fā)揮了不可缺失的引領作用， 所以，教師所具有的觀點與信念，特別是關于“數(shù)學”以及由

15、此派生出的關于 “數(shù)學教育”的觀念，對于數(shù)學教育就有著特別重要的影響。換言之，無論是有意識還是無意識，教師所具有的數(shù)學觀念在很大程度上決定了他以什么樣的方式從事數(shù)學教學活動。 限于篇幅，我們從歷史的角度只討論數(shù)學教育最重要的使命是什么。為了增強說服力，我們回到數(shù)學的源頭。數(shù)和形是怎么起源的，是數(shù)學史研究饒有興趣的重要課題。 由于這段歷史發(fā)生在史前時期， 所以研究的成果都帶有推測性，但這不妨礙人們對數(shù)形起源的正確解讀。遠古時代， 原始人為了生存最關心的問題是今天“有”還是“沒有（無） ”果實或獵物，在進一步認識“有”的過程中，逐漸分辨出了“多”與“少” 。促進人類先祖計數(shù)活動進一步發(fā)展的是食物的

16、分配和交換活動，比如以羊群中的羊去換牛群中的牛，一只對著一只牽出，直到合適為止，在這樣的活動中漸漸獲得了 “一一對應” 、“一樣多”的認識。“數(shù)（ sh）數(shù)（shù）階段”的后期，因為計數(shù)范圍的不斷擴大，計數(shù)數(shù)目的不斷增多，過渡到了“實物計數(shù)”階段，也就是用石子、樹枝、泥丸、結繩、獸骨刻痕等器物（或辦法）來幫助計數(shù)。有時候，為了不丟失這些計數(shù)工具， 就把果核等串在小棒或細繩上， 這怕是最原始的計數(shù)器了。也有時候， 湊巧沒有這些實物計數(shù)工具， 人們還學會了利用自己的手指來計數(shù)。手指計數(shù)的障礙在于“手僅十指”，所以人類最初借用其他人的手指一起來計數(shù)，比如用“3 人4 指”來表示用完了3

17、個人的手指還多4 個手指。漸漸地， 人們意識到當用完了自己的全部手指后， 可以在旁擺一塊石子或一根樹枝，這樣就能“解放”自己的手指繼續(xù)開始計數(shù)了！這便是十進制計數(shù)法的雛形。 當然，歷史上還曾經(jīng)出現(xiàn)其他進制的計數(shù)法， 但人類最終廣泛使用了十進制計數(shù)法， 因為絕大多數(shù)人生來有 10 個手指?！笆种赣嫈?shù)”促成了進位制計數(shù)方法的出現(xiàn)， 進而進一步促成了數(shù)的表達和記錄符號的出現(xiàn)， 數(shù)字符號的出現(xiàn)標志著數(shù)概念的形成。從“基本數(shù)覺數(shù)數(shù)階段實物計數(shù)手指計數(shù)生成計數(shù)符號”，每一次的進步都無比艱辛。 相對于數(shù)概念的起源來說，古人對形的認識要更為直接具體，因為大自然始終把它的種種模樣展現(xiàn)在他們面前。但這不等于人類能

18、自動化地從大自然那里獲得各種幾何圖形的認識，促使人類脫離具體實物體會各種形狀、形狀間的不同大小、彼此間的關系等，還是制作勞動工具、編織、建屋、圖騰崇拜等實踐活動。這些活動提供了不斷相互比較的機會， 讓人們最終找出了不同物體外在形狀方面的共同之處， 從而形成了幾何圖形。人類的歷史約有680 萬年，在前 500 萬年，人類基本上還只有單音節(jié)語言，近 200 萬年以來，產(chǎn)生了多音節(jié)語言，而現(xiàn)在我們普遍使用的阿拉伯數(shù)字，實際上源自印度，這個歷史僅有千余年。數(shù)學的起源與進步，不是輕松的過程，即便是最簡單的數(shù)學知識，也是人類思維抽象概括的結果。我們的教科書同樣非常鮮明地表達了這個過程，即便是要認識數(shù) “

19、1”，也必須從情境中的實物出發(fā)，剝離各種無關緊要的東西，只保留它量方面的特性，以一粒算珠 （在量的特征上，它和 1 個小朋友拉手風琴是等價的，但更為抽象）為橋梁，逐步抽象成符號“1”。正因為是抽象來的，所以便具有了廣泛的代表性，具有模型的意義，“ 1 還能代表什么”的追問正是這個意思的體現(xiàn)。數(shù)字、基本幾何圖形是數(shù)學里不能再簡單的知識，即便是這樣，它們的形成也離不開抽象概括的思維活動。數(shù)學越往后發(fā)展，數(shù)學來自于人心智的本性就越發(fā)突出。歐幾里得的幾何原本是成熟最早的分支，是影響最為深遠的學說，它所體現(xiàn)的公理思想，已經(jīng)和任何自然現(xiàn)象沒有了關系，如果非要找緣由的話， 那就是來自于古希臘圣賢們心智中的邏

20、輯思想。 很多時候， 一個數(shù)學教師對自己的使命常常搖擺和迷失， 那么現(xiàn)在很顯然，既然數(shù)學是人想出來的，那數(shù)學教育最重要的使命，便是千方百計地讓學生去思考， 通過思考學會思考。可思考是 “苦”事，怎么讓孩子們喜歡思考？8 月，陳省身先生為中國青少年數(shù)學論壇題辭“數(shù)學好玩” ，與此同時，他還曾論及“雖然數(shù)學的成果都是創(chuàng)新的， 畢竟還有好的數(shù)學和不大好的數(shù)學之分” 。最終證明費馬大定理的數(shù)學家安德魯·霍爾斯10 歲時已經(jīng)著迷于數(shù)學。他回憶起第一次看到費馬大定理時這么說： “看上去如此簡單，但歷史上所有大數(shù)學家都未能解決它，這里正擺著一個我一個10 歲的孩子能理解的問題，從那個時刻起，我知道

21、我永遠不會放棄它，我必須解決它”。安德魯·霍爾斯的回憶為“好的數(shù)學”作了最好的注釋，那就是簡單而又豐富。 簡單， 讓起始的學習順暢自然；豐富，讓后續(xù)的學習別有洞天。數(shù)學能讓一部分人終生追隨，不是因為簡單，恰恰是因為有點難。因為有點難，所以就有“輾轉反側、冥思苦想繼而石破天驚、豁然開朗”的智力高峰體驗，數(shù)學也就變得那么有魅力！ 不少人覺得數(shù)學難，所以不愛數(shù)學。實際上這是表面現(xiàn)象，問題的本質(zhì)在于，對他們來說，面前的數(shù)學“難”得不合適?！扒Х桨儆嫷刈寣W生去思考”，數(shù)學史給出的技巧是呈現(xiàn)與學生認知水平相匹配的那些數(shù)學能解決又不能隨手可得、有信心又需要再作努力的那些數(shù)學，而從此愛上思考的技巧是

22、讓孩子不斷地克服“小難”，不斷積淀思考成功的快樂。這樣，即便遇到了“大難”，學生也絕不會感到數(shù)學不好玩，恰恰會勾起其克服“大難”的斗志。而越是“大難”，克服后獲得的情感體驗越酣暢淋漓、越震撼心靈。對，讓你的學生在追隨你的日子里享受那怕一次的智力高峰體驗！若能如此，你的教學就有境界了。四、數(shù)學史是思考的視角，保持熱點紛爭的應有定力回顧歷史， 數(shù)學完全是由偉大數(shù)學家的偉大創(chuàng)造締造的。無論那本數(shù)學史著作，如果要列舉若干位世上最偉大的數(shù)學家及其成果的話， 里面肯定有古希臘歐幾里得和他的幾何原本 。通覽幾何原本 ，通篇都是前人業(yè)已發(fā)現(xiàn)提出的各種數(shù)學結論。歐幾里得的偉大， 只是重新組織使得它們不再零散。他

23、首先把人們公認的事實列為公理或定義，然后用演繹推理的方式推導出其他所有的定理。就這樣，他創(chuàng)造了一種從公理、定義出現(xiàn)，不斷論證命題得到新定理的構造數(shù)學理論的方法，把數(shù)學從現(xiàn)實、經(jīng)驗的領域里提升為脫離實際充滿演繹與證明的純粹數(shù)學。自此以后，歐幾里得的幾何原本一直是數(shù)學家工作的楷模和典范（而實際上，它的影響遠遠不止數(shù)學家） 。到了 17-19 世紀，歷史重復著這樣的片段，只不過公理化對人類的心智提出了更大的挑戰(zhàn)。先是牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造了微積分， 許多疑難問題運用這一工具后變得易如反掌， 不過無限小概念的隨意與混亂遭致了不少質(zhì)疑與批評。而實際上， 先前的數(shù)學家們是從現(xiàn)實生活中抽象出概念， 而更多數(shù)學家

24、們則是在自己的心智中創(chuàng)造出概念。 由于這些概念及方法還很能解決實際問題，因而，這種創(chuàng)造變得越來越自由自在和毫無忌憚， 越來越多的從人思考中產(chǎn)生的觀念進入了數(shù)學， 以微積分為源頭衍生出許多重要的數(shù)學方法， 但那些數(shù)學在邏輯上都不能得到保證。 數(shù)學充溢著直覺、歸納推理以及似是而非的證明，這樣的狀況讓另一部分數(shù)學家從19 世紀 20 年代開始掀起了數(shù)學公理化運動，直到19 世紀 70年代，魏爾斯特拉斯、康托爾、戴德金建立了實數(shù)理論， 解決了因微積分基礎不牢而造成的三百多年爭論這就是數(shù)學史上的第二次數(shù)學危機。抓住歐幾里得及其幾何原本 、數(shù)學史的第二次數(shù)學危機加以分析， 如果高度概括數(shù)學發(fā)展的話， 數(shù)學

25、史實際上只有兩種歷史片段： 其一是數(shù)學結論的創(chuàng)造階段， 這里往往是偉大數(shù)學家的大膽猜測、 直覺或類比推理起著更大的作用； 其二是數(shù)學理論的構建階段， 把已經(jīng)被創(chuàng)造出來的數(shù)學結論用演繹推理的方式賦予邏輯性。也就是說，盡管數(shù)學的最終表現(xiàn)形式是嚴格的演繹方式， 但又只有依靠直覺、 大膽的猜測，并通過多次的反復（猜測、反駁、再猜測、再反駁） ，我們才能發(fā)現(xiàn)并最終獲得可靠的知識。 用演繹推理的方式證明，雖然是數(shù)學的靈魂，但干這個活之前，總得明確要證明什么， 所以從這個意義上愛因斯坦說： “解決問題也許是一個數(shù)學上或實驗上的技能而已， 而提出新的問題、新的理論，從新的角度去看舊的問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學的真正進步” 。數(shù)學學習不僅要學習如何用演繹的方式去證明， 也要有大量的機會去體會如何猜測、 如何類比和歸納，這才是完整的數(shù)學學習生活！一個對數(shù)學看得越透徹的老師， 也就越能在數(shù)學教育的各種紛爭中保持應有的定力。當下，數(shù)學課堂中“先學后教、以學論教”的實踐如火如荼。 這樣做的理論基礎是：學生是有學習能動的人， 不是一張白紙，因而憑什么把所學知識給藏起來怕孩子先知道？難道只是為了確保教師在課堂里更像個權威？這一番理論很有說服力， 讓學生先學起來，把孩子從原先的學習被動狀態(tài)中解放出來，也肯定沒有錯