平面向量知識點總結(jié)、經(jīng)典例題及解析、高考題50道及答案

1、精品文檔第五章平面向量【考綱說明】1、理解平面向量的概念和幾何表示，理解兩個向量相等及共線的含義，掌握向量的加、減、數(shù)乘運算及其幾何意義，會用坐標(biāo)表示。2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐標(biāo)運算。3、掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算，會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實際問題?！局R梳理】一、向量的基本概念與線性運算1向量的概念：（ 1）向量：既有大小又有方向的量，記作uuuruuurAB ；向量的大小即向量的模（長度），記作| AB|向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。?2）零向量：長度為0的向量，記為 0 ，其方向是任意的，0 與任意向量

2、平行（ 3）單位向量：模為1個單位長度的向量常用 e 表示（ 4）平行向量（共線向量） ：方向相同或相反的非零向量，記作a b 平行向量也稱為共線向量（ 5）相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為ab大小相等，方向相同x1x2(x1 , y1 ) ( x2 , y2 )y2y1（ 6）相反向量：與 a 長度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量記作a , 零向量的相反向量仍是零向量若 a、 b 是互為相反向量，則a = b , b = a , a + b = 02 向量的線性運算：（ 1）向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向

3、量加法有“三角形法則 ”與 “平行四邊形法則 ”（ 2）向量的減法 ：求向量 a 加上 b 的相反向量的運算叫做a 與 b 的差向量的減法有三角形法則，a b 可以表示為從 b 的終點指向 a 的終點的向量（ a 、 b 有共同起點）（ 3）向量的數(shù)乘運算：求實數(shù)與向量 a 的積的運算，記作a aa ；當(dāng)0時， 的方向與a的方向相同；當(dāng)0時， 的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0 ，方向aa。1歡迎下載精品文檔是任意的 數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律3. 兩個向量共線定理：向量 b 與非零向量 a 共線有且只有一個實數(shù)，使得 b = a向量 b 與非零向量 a 共線有兩個均不是零的實數(shù)、 ，

4、使得 ab 0二、平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示1 平面向量的基本定理：如果 e1 , e2 是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a ，有且只有一對實數(shù)1, 2使：a1e12 e2 ，其中不共線的向量e1 , e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2. 平面向量的坐標(biāo)表示：（ 1）在直角坐標(biāo)系中，分別取與rrx 軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量 i, j 作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量rrrrr是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)ra 可表示成axiyj ，由于 a 與數(shù)對 (x,y)叫做向量 a 的坐標(biāo)，rrrrr(0,1) 記作 a =(x,y)，其中

5、 x 叫作 a 在 x軸上的坐標(biāo)， y 叫做在 y 軸上的坐標(biāo) 顯然 0 =（ 0,0 ）， i(1,0) ， juuurrruuuruuur，則 A 點的坐標(biāo)為 (x,y)（ 2）設(shè) OAxiy j . 則向量 OA 的坐標(biāo) (x,y)就是終點 A 的坐標(biāo)，即若 OA =(x,y)，反之亦成立（ O是坐標(biāo)原點） 3 平面向量的坐標(biāo)運算：rx1, y1rx2 , y2rrx1x2 , y1y2 （ 1）若 a, b，則 a buuur（ 2）若 A x1 , y1 , B x2 , y2，則 ABx x , y2y ，211uuurx2 )2( y1 y2 )2 AB(x1rr（ 3）若 a

6、=(x,y) ，則a =( x, y) rx1, y1rx2 , y2rrx1 y2x2 y10 （ 4）若 a, b，則 a / brx1, y1rx2 , y2rry1 y2 （ 5）若 a, b，則 a b x1 x2三、平面向量的數(shù)量積1 兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量rrr rrrrrra 與 b ，它們的夾角為， a ·b 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上的投影的乘積叫做a 與 b 的數(shù)量rrrrrr0積（或內(nèi)積），即 a ·b = a · b cos，規(guī)定 0a。2歡迎下載精品文檔rrrrr2=a b向量的投影：b cosr R，稱為向量

7、b 在 a 方向上的投影投影的絕對值稱為射影| a |3向量的模與平方的關(guān)系：rrr2r 2aaa| a |4 乘法公式成立：rrrrr2r 2rabababarr 2r2rrr2raba2abba2 r 2b ；2r rr22a bb5 平面向量數(shù)量積的運算律：rrrr 交換律成立： a bb a 對實數(shù)的結(jié)合律成立：rrrrrrR aba babrrrrrrrrrr； 分配律成立： abcacbccab特別注意： 結(jié)合律不成立：rrrrrrabca bcrrrrrr 消去律不成立 a ba c不能得到 bc r rrrrr a b =0 不能得到 a = 0或 b = 06 兩個向量的數(shù)量

8、積的坐標(biāo)運算：已知兩個向量rra·(x2 , y2 )，則 rr =x1 x2y1 y2a( x1 , y1 ),bb7 向量的夾角：已知兩個非零向量rruuurruuurr（ 00a 與 b ，作 OA =a ,OB = b , 則 AOB=夾角rrrrx1 x2y1 y2cosa b,rrcos =a b=a bx1 2y1 2x2 2y2 2當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量rr0rr0a 與 b 同方向時， =0 ，當(dāng)且僅當(dāng)a 與 b 反方向時 =180 ，同時談夾角這一問題8 垂直：如果rr的夾角為900rr垂直，記作rra 與 b則稱 a 與 ba b1800）叫做向量rra 與 b

9、的r0 與其它任何非零向量之間不a b· Ox x2y y20a b11【經(jīng)典例題】【例 1】（2010 全國 ， 8） ABC中，點 D 在邊 AB上， CD平分 ACB，若 CBa ，。3歡迎下載精品文檔CAb， a 1, b2，則 CD =（）（ A） 1 a2 b（ B） 2 a1 b（ C） 3 a4 b（ D） 4 a3 b33335555【答案】 Buuuuruuuur,uuur2uuuruuur2【解析】由角平分線的性質(zhì)得AD2 DB即 有AD3(CBCA)(a b) 從 而uuuruuuruuur2 (a b)2 a1 b 故選 B3bCDCAAD333【例 2】（

10、 2009 北京， 2）已知向量 a、b 不共線， ck ab( kR), d ab, 如果 c / d，那么（）A k 1 且 c 與 d 同向B k 1 且 c 與 d 反向C k1 且 c 與 d 同向D k 1 且 c 與 d 反向【答案】 D【解析】取 a1,0 ， b0,1 ，若 k1 ，則 cab1,1， d a b1,1，顯然， a 與 b 不平行，排除 A、 B若 k1 ，則 cab1,1 ，dab1,1 ，即 c / d 且 c 與 d 反向，排除 C，故選 D【例 3】（2009 湖南卷文） 如圖， D，E， F 分別是ABC的邊 AB， BC， CA的中點，則 ()uu

11、uruuuruuurrA ADBECF0AuuuruuuruuurrB BDCFDF0FuuuruuuruuurrDC ADCECF0uuuruuuruuurrDBDBEFC0【答案】 ABCEuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr【解析】 Q ADDB ,ADBEDB BEDEFC ,得 ADBECF0uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr或 ADBECFADDFCFAFCF0 【例 4】（2009 寧夏海南卷文） 已知 a3,2 ,b1,0，向量a b 與 a2b 垂直，則實數(shù)的值為()A.1B.1C.1D.1

12、7766【答案】 A。4歡迎下載精品文檔【解析】向量a b （ 31，2）， a2b （ 1,2 ），因為兩個向量垂直，故有（31， 2 ）×（1,2 ） 0，即 3 14 0，解得：1 ，故選 A7【例 5】（2009 全國卷 文）設(shè)非零向量 a 、 b 、 c 滿足 | a | | b | | c |, abc ，則a,b（）A 150°B.120°C.60°D.30°【答案】 B【解析】由向量加法的平行四邊形法則，知a 、 b 可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，且a 、 b 為起點處的對角線長等于菱形的邊長，故選擇 B【例 6】（ 2009 安徽卷

13、文） 在平行四邊形ABCD中，E 和 F 分別是邊 CD和 BC的中點，或=+，其中，R ，則+= _ 【答案】 4 31 r1 ruuurruuurruuurruuurruuurrr【解析】設(shè) BCb 、 BAa 則 AFba ,AEba ,ACba2422代入條件得uu33【例 7】（ 2009 遼寧卷文） 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，四邊形 ABCD的邊 ABDC,AD BC,已知點 A( 2，0) ，B（ 6，8），C(8,6),則 D 點的坐標(biāo)為 _【答案】 (0, 2) uuuruuuruuuruuur【解析】平行四邊形ABCD中, OBODOAOCuuuruuuruuuruuur

14、 (8,6) (6,8) (0, 2) ODOAOCOB ( 2,0)即 D點坐標(biāo)為 (0, 2) 【例 8】（ 2012江蘇） 如圖 , 在矩形 ABCD 中 ,AB2 ，BC2，點 E為uuuruuuruuur uuurBC 的中點， 點 F 在邊 CD 上 , 若 AB g AF2 , 則 AE g BF 的值是 _【答案】2 uuuruuuruuur uuurFABuuur【解析】由 AB g AF2 , 得 AB g AF gcos2 , 由矩形的性質(zhì) , 得 AF gcos FAB =DF AB2， 2 DF2，DF 1CF2 1 uuur uuur， AEB,FBC記 AE 和B

15、F 之間的夾角為，則又 BC2 ，點 E 為 BC的中點， BE1uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurBF= AEBF cos= AEBFcos= AEBFcos cossin sinAEggggggg。5歡迎下載精品文檔uuuruuuruuuruuurABgCF1 22212 .= AE cosg BF gcosAE sing BF sin =BEgBC本題也可建立以AB , AD 為坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系, 求出各點坐標(biāo)后求解uuuruuuruuuruuur3BC2 ，求角 A， B， C的大小【例 9】 (2009 湖南卷理 ) 在ABC ，已知 2ABAC3 A

16、BAC【答案】 A, B, C2663【解析】解：設(shè)BCa, AC b, ABcuuuruuur3uuuruuur3bc ，所以 cos A3由 2AB ACABAC 得 2bc cos A2又A (0,),因此 A6uuuruuur3BC 2得 bc3a2 ，于是 sin Csin B3 sin2 A3由 3ABAC4所以 sin Csin( 5C )3， sin C(1 cosC3 sin C )3，因此642242sin CcosC23 sin 2 C3,sin 2C3 cos 2C0，既 sin(2C)0543由 A=知 0 C， 2C，從而，所以366332C0,或2C3,，既 C,

17、 或 C2, 故363A, B2 , C, 或 A, B, C2 636663【課堂練習(xí)】一、選擇題1. （ 2012 遼寧理） 已知兩個非零向量,b滿足 |+|=|ab|,則下面結(jié)論正確的是（）aa bA abB a bC 0,1,3D a+b=a b2. (2009 年廣東卷文 ) 已知平面向量=，=2，則向量a（ x,1） ba b()（ x, x ）A. 平行于 x 軸B.平行于第一、三象限的角平分線C. 平行于 y 軸D.平行于第二、四象限的角平分線3. （ 2012天津文） 在ABC中 ,A90,AB1 ,AC=2, 設(shè)點 P,Q 滿足uuuruuur uuur(1uuuruuur

18、uuur2APAB, AQ) AC,R.若BQCP, 則()。6歡迎下載精品文檔（）A 1B 2C 4D 23334. （ 2009 浙江卷理） 設(shè)向量 a ， b 滿足： | a |3， | b |4， a b0 以 a ， b ， ab 的模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為 1的圓的公共點個數(shù)最多為()A 3B.4C 5D 65. （ 2012重慶理） 設(shè) x, yR, 向量 ax,1 , b1, y ,c2, 4, 且 arrc, b / c , 則 ab（）A 5B 10C2 5D 106. （ 2009浙江卷文） 已知向量 a(1,2)， b(2,3)若向量 c 滿足 (ca) /

19、 / b ， c(ab) ，則 c（）A (7,7)B(7,7)C (7,7)D( 7, 7)933939937（ 2012浙江理） 設(shè)a, b 是兩個非零向量 .（）A若 | a+b|=| a|-|b|,則 a bB若 a b, 則 | a+b|=|a|-|b|C若 |+|=| |-|,則存在實數(shù) ,使得 =a bababD若存在實數(shù) ,使得a=, 則 |+ |=|a|-|b|ba b8. （ 2009 全國卷 理） 設(shè)a、b、c是單位向量，且a· 0，則ac ? bc的最b小值為()A. 2B.22C.1D.129. （ 2012天津理） 已知 ABC 為等邊三角形, AB=2

20、, 設(shè)點P,QuuuruuuruuuruuurR , 若滿足 AP=AB ,AQ =(1)AC ,uuuruuur3,則 =BQ CP=（）2A 1B 122C1 10D32222210. （ 2009全國卷 理） 已知向量 a2,1 , a b10,| ab |52 ，則 | b |()A.5B.10C.5D.2511. （ 2012ABC 中,uuurruuurrrrrruuur大綱理）AB 邊上的高為 CD , 若 CBa,CAb, a b0,| a |1,|b |2,則AD（）A1 r1 rB2 r2 rC3 r3 rD4 r4 r3ab3a3b5aba5b355uuuruuuruuu

21、ruuuruuuruuur12. （ 2008湖南） 設(shè) D、E、F 分別是 ABC的三邊 BC、 CA、AB上的點，且 DC2BD ,CE2EA, AF2FB, 則。7歡迎下載精品文檔uuuruuuruuuruuurADBECF 與BC()A. 反向平行B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13. （ 2008 廣東） 在平行四邊形ABCD 中， AC 與 BD 交于點 O， E 是線段 OD 的中點， AE的延長線與 CD 交uuuruuuruuur于點F若 ACa ， BD b ，則 AF（）A 1 a1 bB 2 a1 bC 1 a1 bD 1 a2 b4233243314

22、. （ 2007 湖北） 設(shè) a(4，3) ， a 在 b 上的投影為 52 ， b 在 x 軸上的投影為 2，且 | b | 14 ，則 b 為2（）A (2，14)B 2，2C2D (2，8)72，715.（ 2012 安徽理） 在平面直角坐標(biāo)系中,uuuruuurO(0,0), P(6,8) , 將向量 OP 按逆時針旋轉(zhuǎn)3 后, 得向量 OQ 則點 Q 的坐標(biāo)4是（）A (72,2)B (7 2,2)C( 46, 2)D (46, 2)二、填空題uuur uuur16. （ 2012 浙江文） 在 ABC中 ,M 是 BC的中點 ,AM=3,BC=10, 則 AB AC =_.17.

23、（ 2009uuuruuur安徽卷理） 給定兩個長度為1 的平面向量 OA 和 OB ，它們的夾角為 120o .uuuv如圖所示，點C在以 O為圓心的圓弧 AB 上變動 .uuuruuuruuurR , 則 x y若 OCxOAyOB, 其中 x, y的最大值是 _.18.（ 2012 上海文）在知形 ABCD中 , 邊 AB、AD的長分別為2、1. 若 M、N分別是邊 BC、CD上的點 , 且滿足 | BM |CN |,|BC |CD |則 AM AN 的取值范圍是 _ .19. （ 2012課標(biāo)文） 已知向量 a , b 夾角為 450 , 且 | a |=1,| 2a b |=10,則

24、|b |=_.AP 3uuuv uuuv20. （ 2012湖南文） 如圖 4, 在平行四邊形 ABCD中 ,AP BD,垂足為P,且AP ACg = _.。8歡迎下載精品文檔ADPBCrr(1,1), 則21.（ 2012湖北文） 已知向量 a(1,0), brr_;( ) 與 2ab 同向的單位向量的坐標(biāo)表示為rrr( ) 向量 b3a 與向量 a 夾角的余弦值為 _.（ 2012uuuruuur22.北京文） 已知正方形 ABCD的邊長為 1, 點 E 是 AB邊上的動點 , 則 DE CB 的值為 _.（ 2012rrrrrr23.安徽文） 設(shè)向量 a(1,2m), b( m 1,1)

25、,c(2, m) , 若 (ac) b , 則ra _ .24.（2012江蘇） 如圖 , 在矩形 ABCD 中 ,AB2 ，BC2，點E為BC的中點,點F在邊uuur uuuruuur uuurCD 上 , 若 AB g AF2 , 則 AE g BF 的值是 _.rrrrr r25.（ 2012安徽理） 若平面向量 a,b 滿足 : 2ab 3 ; 則 agb 的最小值是 _三、解答題26.(2009 年廣東卷文 ) （已知向量a(sin, 2) 與 b(1, cos) 互相垂直，其中(0,)2（ 1）求 sin 和 cos 的值（ 2）若 5 cos() 35 cos ， 0, 求 co

26、s 的值2ur(a, b) ，27. （ 2009上海卷文） 已知ABC的角 A、 B、 C所對的邊分別是a、b、 c，設(shè)向量 mrur(b2, a 2) .n (sin B,sin A) ， purr（ 1）若 m /n ，求證：ABC為等腰三角形；urur（ 2）若 m p ，邊長 c = 2 ，角 C =，求 ABC的面積 .328. 已知 A 、 B 、 C 分別為 ABC 的三邊 a 、 b 、 c 所對的角，向量 m(sin A,sin B) ， n(cosB, cos A) ，且m nsin 2C .（ ）求角 C 的大??；。9歡迎下載精品文檔（ ）若 sin A ， sinC ， sin