第五章隨機(jī)數(shù)應(yīng)用

1、1/15隨機(jī)數(shù)應(yīng)用實(shí)驗(yàn)隨機(jī)數(shù)應(yīng)用實(shí)驗(yàn) 隨機(jī)數(shù)與統(tǒng)計(jì)直方圖隨機(jī)數(shù)與統(tǒng)計(jì)直方圖相遇問題與保險(xiǎn)問題相遇問題與保險(xiǎn)問題平面多邊形填充圖平面多邊形填充圖積分計(jì)算蒙特卡羅方法積分計(jì)算蒙特卡羅方法2/15均勻分布隨機(jī)數(shù)均勻分布隨機(jī)數(shù)0, ,1內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法: rand( ) rand(m,n )產(chǎn)生產(chǎn)生mn個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)個(gè)均勻隨機(jī)數(shù). O1引例引例1. 觀察觀察1000 個(gè)隨機(jī)數(shù)在個(gè)隨機(jī)數(shù)在0,0.5,0.5,1分布情況分布情況function F=myrand(n)if nargin=0,n=1000;endX=rand(1,n);Index=find(X0.5);f1=lengt

2、h(Index);F=f1,n-f1;第一次實(shí)驗(yàn)第一次實(shí)驗(yàn): 490 510第二次實(shí)驗(yàn)第二次實(shí)驗(yàn): 497 503第三次實(shí)驗(yàn)第三次實(shí)驗(yàn): 508 492第四次實(shí)驗(yàn)第四次實(shí)驗(yàn): 511 4893/15統(tǒng)計(jì)直方圖統(tǒng)計(jì)直方圖其中其中,data是需要處理的數(shù)據(jù)塊是需要處理的數(shù)據(jù)塊,繪圖原理繪圖原理:利用利用data中最小數(shù)和最大數(shù)構(gòu)成一區(qū)間中最小數(shù)和最大數(shù)構(gòu)成一區(qū)間,將將區(qū)間等分為區(qū)間等分為n個(gè)小區(qū)間，統(tǒng)計(jì)落入每個(gè)小區(qū)間的數(shù)據(jù)個(gè)小區(qū)間，統(tǒng)計(jì)落入每個(gè)小區(qū)間的數(shù)據(jù)量。以數(shù)據(jù)量為高度繪小矩形，形成直方圖。如果省量。以數(shù)據(jù)量為高度繪小矩形，形成直方圖。如果省略參數(shù)略參數(shù)n，MATLAB將將n的默認(rèn)值取為的默認(rèn)

3、值取為10。 直方圖也可以用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算直方圖也可以用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算N=hist(data，n)計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果N是是n個(gè)數(shù)的一維數(shù)組，分別表示個(gè)數(shù)的一維數(shù)組，分別表示data中各個(gè)中各個(gè)小區(qū)間的數(shù)據(jù)量。這種方式只計(jì)算而不繪圖。小區(qū)間的數(shù)據(jù)量。這種方式只計(jì)算而不繪圖。直方圖繪圖方法直方圖繪圖方法: hist(data，n)123450100020004/15N5 = 1969 2010 2018 1999 2004例例5.1 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)10000個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)在五個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)在五個(gè)小區(qū)間的分布個(gè)小區(qū)間的分布 。data=rand(10000,1);figure(1),hist(data,5)N5=his

4、t(data,5)figure(2),bar(N5,r)1234505001000150020002500即觀察即觀察10000 個(gè)隨機(jī)數(shù)在個(gè)隨機(jī)數(shù)在0,0.2,0.2,0.4, 0.4,0.6,0.6,0.8,0.8,1分布情況分布情況00.20.40.60.81050010001500200025005/15引例引例2. 觀察觀察1000個(gè)平面隨機(jī)點(diǎn)在單個(gè)平面隨機(jī)點(diǎn)在單位正方形內(nèi)的分布情況位正方形內(nèi)的分布情況P(x,y)的坐標(biāo)均是的坐標(biāo)均是0,1上均勻隨機(jī)數(shù)上均勻隨機(jī)數(shù), ,function F=myrand2(n)if nargin=0,n=1000;endP=rand(n,2);x=P

5、(:,1);y=P(:,2);I1=find(x0.5&y=0.5&y=0.5&y=0.5);I4=find(x=0.5);F(1,1)=length(I1);F(2,1)=length(I2);F(2,2)=length(I3);F(1,2)=length(I4);bar3(F,c)ans = 244 233 259 2646/15引例引例3. 實(shí)驗(yàn)觀察實(shí)驗(yàn)觀察10個(gè)個(gè)1 14 4之間隨機(jī)數(shù)情況之間隨機(jī)數(shù)情況 1+3*rand(12,1) 一般區(qū)間一般區(qū)間a，b上的均勻隨機(jī)數(shù)上的均勻隨機(jī)數(shù) 產(chǎn)生方法產(chǎn)生方法R=a+(b-a)*rand 3.5715 3.8260 2.

6、2964 1.5788 3.2588 2.7813 1.5296 3.6680 3.0507 3.2386第第1 1次次 3.1760 1.9510 3.3711 1.1578 2.9026 3.3670 1.5339 1.0643 1.5349 1.5648第第2 2次次 2.7197 3.9160 2.8790 1.8892 3.5416 1.7736 1.4228 1.8419 1.1686 1.8978第第3 3次次7/15均勻分布隨機(jī)變量均勻分布隨機(jī)變量 X U(0 , 24), Y U(0 , 24)如果甲船到達(dá)碼頭后停留如果甲船到達(dá)碼頭后停留2小時(shí)小時(shí),乙船到達(dá)碼頭后停留乙船到達(dá)

7、碼頭后停留1小時(shí)小時(shí). .問兩船相遇的概率有多大？問兩船相遇的概率有多大？ 例例5.2 相遇問題相遇問題: 甲甲、乙兩船在乙兩船在24小時(shí)內(nèi)獨(dú)立地隨機(jī)到小時(shí)內(nèi)獨(dú)立地隨機(jī)到 達(dá)碼頭達(dá)碼頭. 設(shè)兩船到達(dá)碼頭時(shí)刻分別為設(shè)兩船到達(dá)碼頭時(shí)刻分別為 X 和和 Yfunction F=shipmeet(N)if nargin=0,N=2000;endP=24*rand(2,N);X=P(1,:);Y= P(2,:);I=find(X=Y&Y=X+2);J=find(Y=X&X=Y+1);F=(length(I)+length(J)/NF = 0.1185概率值概率值: P = 0.1207

8、8/15例例5.5 有一千名以上的小學(xué)生參加保險(xiǎn)公司的平安保有一千名以上的小學(xué)生參加保險(xiǎn)公司的平安保險(xiǎn)險(xiǎn), ,參加保險(xiǎn)的小學(xué)生每人一年交保險(xiǎn)費(fèi)參加保險(xiǎn)的小學(xué)生每人一年交保險(xiǎn)費(fèi)50元元. .若一年若一年內(nèi)出現(xiàn)意外事故內(nèi)出現(xiàn)意外事故, ,保險(xiǎn)公司賠付一萬元。統(tǒng)計(jì)表明，保險(xiǎn)公司賠付一萬元。統(tǒng)計(jì)表明，每年一千名小學(xué)生中平均有兩名學(xué)生出事故。模擬保每年一千名小學(xué)生中平均有兩名學(xué)生出事故。模擬保險(xiǎn)公司獲利的數(shù)據(jù)險(xiǎn)公司獲利的數(shù)據(jù) 分析：小學(xué)生出意外事故的概率為分析：小學(xué)生出意外事故的概率為p=0.002，由于對(duì)出由于對(duì)出事故的小學(xué)生，保險(xiǎn)公司一次性賠付一萬元事故的小學(xué)生，保險(xiǎn)公司一次性賠付一萬元。一年中一年

9、中保險(xiǎn)公司賠付費(fèi)不超過總的保險(xiǎn)收費(fèi)則會(huì)獲利，每年保險(xiǎn)公司賠付費(fèi)不超過總的保險(xiǎn)收費(fèi)則會(huì)獲利，每年保險(xiǎn)公司所獲利潤為總保險(xiǎn)收費(fèi)減去總的賠付費(fèi)。保險(xiǎn)公司所獲利潤為總保險(xiǎn)收費(fèi)減去總的賠付費(fèi)。模擬八年中每年出事故的小學(xué)生人數(shù)模擬八年中每年出事故的小學(xué)生人數(shù), ,以及八年中保險(xiǎn)以及八年中保險(xiǎn)公司獲利的數(shù)據(jù)。公司獲利的數(shù)據(jù)。9/15function puples,profits=safely(N)p=0.002;join=50;pay=10000;all=join*NX=rand(N,8);puples=;for k=1:8 Xk=X(:,k); Ik=find(Xk=p);pk=length(Ik); p

10、uples=puples,pk;endPays=pay*puples;profits=all-Pays;p1,p2=safely(1500)p1 = 3 7 1 1 2 1 2 2P2=45000 5000 65000 65000 55000 10/15x1=0:.01:1;y1=sqrt(x1);x2=1:-.01:0;y2=x2.2;fill(x1,x2,y1,y2,r) 平面多邊形填充圖方法平面多邊形填充圖方法 fill( )y1=-1:.1:2;y2=2:-.1:-1;x11=y1.*y1;x22=y2+2;fill(x11,x22,y1,y2,r) x1=-1:0.1:1; y1=x

11、1.2.(1/3); x2=1:-0.1:-1; y2=2-x2.2; fill(x1,x2,y1,y2,c)y =x2 , x = y 2 所圍區(qū)域所圍區(qū)域y= x 2 與與 y2 = x 所圍區(qū)域所圍區(qū)域y =2 x2 , ,y3 = x2 所圍區(qū)域所圍區(qū)域11/15例例5.13計(jì)算兩條拋物線計(jì)算兩條拋物線 y =x2 ，x = y 2 所圍圖形的面積所圍圖形的面積. 蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法，或稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基，或稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于于“隨機(jī)統(tǒng)計(jì)隨機(jī)統(tǒng)計(jì)”的計(jì)算方法。方法源于美國在第二次的計(jì)算方法。方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的世界大戰(zhàn)中研制原子彈的

12、“曼哈頓計(jì)劃曼哈頓計(jì)劃”。在正方形區(qū)域在正方形區(qū)域D內(nèi)投入內(nèi)投入N個(gè)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)坐標(biāo)滿足個(gè)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)坐標(biāo)滿足 xyx 2的點(diǎn)的點(diǎn)P(x，y)的數(shù)目的數(shù)目M。面積近似。面積近似計(jì)算公式為：計(jì)算公式為：S=M/N data=rand(1000,2);x=data(:,1);y=data(:,2);II=find(y=x.2);M=length(II);S=M/1000S = 0.327612/15例例5.14計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 Ddxdyxy2其中其中D為為 y= x 2 與與 y2 = x 所圍區(qū)域所圍區(qū)域。 分析分析：由于由于D的邊界曲線交點(diǎn)為的邊界曲線交點(diǎn)為：(1，- -1)，(4，2)，被

13、積函數(shù)在求積區(qū)域內(nèi)的最大值為被積函數(shù)在求積區(qū)域內(nèi)的最大值為16。積分值是一個(gè)積分值是一個(gè)三維圖形所圍體積，該三維圖形位于立方體區(qū)域三維圖形所圍體積，該三維圖形位于立方體區(qū)域 (x，y，z) |0 x 4，1 y 2，0 z 16 該立方體區(qū)域的體積為該立方體區(qū)域的體積為192 192 13/15function V=mlab514(N)data=rand(N,3);x=4*data(:,1);y=-1+3*data(:,2);z=16*data(:,3);II=find(x=y.2&x=y+2&z=x.*(y.2);M=length(II);V=192*M/N;蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法:7.1040 8.4480 8.0640 8.2560符號(hào)結(jié)果符號(hào)結(jié)果：7.5857 14/15給定曲線給定曲線 y =2 x2 和和 y3 = x2，用定積分計(jì)算兩曲線圍成平面用定積分計(jì)算兩曲線圍成平面區(qū)域面積區(qū)域面積 顯然曲線的交點(diǎn)為顯然曲線的交點(diǎn)為：P1( 1，1 )、P2( 1，1 ) .平面區(qū)平面區(qū)域位于矩形區(qū)域內(nèi)域位于矩形區(qū)域內(nèi)(x，y) | 1 x 1， 0 y