第六講空間桿系分析

1、1第六講第六講 空間桿系結構有限元分析空間桿系結構有限元分析 桿系結構定義：桿系結構定義： 由桿件組成的空間結構稱桿系結構。 桿件指細長的構件，構件的幾何特征是一個方向的尺寸遠大于其它兩個方向的尺寸。 桿系結構根據(jù)桿件兩端與其它構件連接方式的不同，可以分為桁架和剛架。桁架(桿)由兩端鉸接的桿件構成的空間結構。剛架(梁)亦稱為框架，指由兩端固接的桿件構成的空間結構。26-1 空間桁架結構有限元分析（桁架單元）空間桁架結構有限元分析（桁架單元）eiueivejuejvejweiweiqejqijYxXZ xu 由于兩端鉸接，不能承受力矩，假定每個節(jié)點三個自由度，在整體參考系有： jjjiiiewv

2、uwvu 為方便研究，在單元上取一個局部參考系，以 為原點，由 點指向 點為 軸的正向。iijx在局部參考系中有： ejeieqqq一、桁架單元剛度矩陣一、桁架單元剛度矩陣3ijx xu在單元中假定：bxaxu)( 利用節(jié)點處的位移連續(xù)性條件可以解出 和 ，代回原式有： eejeieeqNqqLxLxxu 1ab其中單元長度為：222ijijijeZZYYXXLeeeeqLxLxxqNxxxu1)(ejeiejeieeqqBqqLL1,1eiqejq4 dxBDBAdvBDBkeeLTeTve11111,111eeeeeeeeeeLEALLLLELA其中 為單元截面積， 為單元材料楊氏模量。e

3、AeE 需要指出，以上單元剛度是基于局部參考系得到的，由于不同的單元，其局部參考系的方位各不相同。因而，局部參考系中的單元節(jié)點位移向量的方向也各不相同，局部參考系中的剛度矩陣不具有可累加性。 這就要求我們將局部參考系下的單元剛度矩陣變換到整體參考系中。5二、坐標變換矩陣二、坐標變換矩陣局部參考系與整體參考系中單元節(jié)點位移向量的變換關系為：ewejeiejeieieieiwnvmulqwnvmulq寫成矩陣形式為：jjjiiuejeiwvuwvunmlnmlqq000000簡記為： eeq其中：eijLXXleijLYYmeijLZZn6單元彈性應變能在整體參考系中的表達式為： eeTeeK21

4、單元彈性應變能在局部參考系中的表達式為： eeTeeqkq21 eeq將： 代入上式有： eeTTeeeTeekqkq2121將該式與整體參考系中的單元彈性應變能對比可知： eTekK7三、等效單元體力載荷向量三、等效單元體力載荷向量桁架單元的等效體力載荷向量可以簡單地表示為： ),(),(),(10001000110001000121cccbzcccbycccbxeeebZYXFZYXFZYXFLAPcccZYX,其中： 為單元形心坐標 ，可以由下式給出： jicXXX21jicYYY21jicZZZ218四、單元應力計算四、單元應力計算 eeeeeBEqBEE96-2 平面剛架（框架）結構

5、有限元分析平面剛架（框架）結構有限元分析一、平面剛架單元受力分析與變形分解一、平面剛架單元受力分析與變形分解XYjiyxeiueieivejejvejueq1eq3eq2eq5eq4eq6 該單元可以承受 和 方向的力以及繞 軸方向的力矩。XYZ 在整體參考系中單元節(jié)點位移向量為： ejejejeieieievuvu 為方便研究，在單元上取一個局部參考系，以 為原點，由 點指向 點為 軸的正象。iijx10yxeq1eq3eq2eq5eq4eq6)(xv)(xu 在局部參考系中單元所受載荷可以分解為：1）軸向拉壓，主要引起單元的軸向變形。2）橫向載荷及繞平面法向的彎矩，主要引起單元的彎曲。 為

6、研究方便，我們在做剛架結構有限元分析時，也將單元變形分解為軸向變形與彎曲變形兩部分，分別進行研究。 在小變形條件下，可以認為單元的軸向變形與彎曲變形是相互獨立的并符合迭加原理迭加原理。因此，我們可以分別計算兩種基本變形的剛度，在進行迭加。 剛架結構的有限元分析在研究彎曲變形時采用了材料力學梁的基本假定，因此，有時也將剛架單元稱為梁單元。111）單元軸向變形剛度矩陣）單元軸向變形剛度矩陣yxeiqejq)(xu 與軸向變形相關的節(jié)點位移分量有 和 ，假定在軸向載荷作用下單元內單元內任意點的位移為：eiqejqexejeeeqNqqLxLxxu11)(與軸向變形對應的剛度矩陣為： 1111eeee

7、xLEAkeiqeiqejqejqji二、平面剛架單元兩種基本變形的的剛度矩陣二、平面剛架單元兩種基本變形的的剛度矩陣122）單元彎曲變形剛度）單元彎曲變形剛度yxeieivejvej)(xv 與彎曲變形相關的節(jié)點位移分量有 、 、 和 。eiv假定在軸向載荷作用下單元內單元內任意點的撓度為：中性層上的362543)(xxxxv根據(jù)節(jié)點處的位移連續(xù)性條件有：6 , 5 , 4 , 3,ii解出 ， 代回撓度函數(shù)經整理可得：在 點：eivv)0(jiji撓度的導數(shù)eixxv00 x在 點：ejevLv)(ejLxexveLx 小變性、中心平面、eiejvej13撓度函數(shù)為：其中：單元中性層外任意

8、點沿局部參考系 方向得位移可以表示為：x與假定坐標方向相隔轉角方向xxvyyxu)(),(yx),(yx),(yxuxy exyNxv)( 4321NNNNN 223432332223233231/32/2/32LLxxxNLLxxxNLxLLxxxNLLLxxxN ejejeieiexyvv14 xyxxBxxvyxu22單元中性層外任意點沿局部參考系 方向得應變可以表示為：x ByLxLLxxLLxLyB26612466123 222232046266126122646612612LLLLLLLLLLLLLEIDEDdAydxBBEdVBDBkxxALTTVexye彈性矩陣在這里其中：在局

9、部參考系中單元剛度矩陣可以表示為其中：dAyIAzz2繞 軸截面彎曲慣性矩yejejve3eiveive3ejvej15將軸向變形與彎曲變形的剛度迭加，可以得到平面剛架單元的剛度矩陣。 LEILEILEILEILEILEILEILEILEALEALEILEILEILEILEILEILEILEILEALEAkzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzze460260612061200000260460612061200000222323222323eiueieivejuejvejeiueieivejuejvej166-3 空間剛架（框架）結構有限元分析空間剛架（框架）結構有限

10、元分析XYjiZeQ1eQ3eQ2eQ6eQ5eQ4eQ7eQ8eQ9eQ10eQ11eQ12一、空間剛架單元受力分析與變形分解一、空間剛架單元受力分析與變形分解 該單元可以承受三個方向的力以及繞三個軸的力矩。 在整體參考系中單元節(jié)點位移向量為：eeeeeQQQQQ12321 為方便研究，在單元上取一個局部參考系，以 為原點，由 點指向 點為 軸。以截面的兩個慣性主軸分別為局部參考系的 軸和 軸。iijxyz17xyjizeq7eq9eq8eq12eq11eq10eq1eq2eq3eq4eq5eq61) 在軸向載荷的作用下，將產生軸向拉壓變形，與之相關的節(jié)點位移分量為： eeexqqq712)

11、 在繞軸向載荷（扭矩）的作用下，將產生扭轉變形，與之相關的節(jié)點位移分量為： eeetqqq1043) 在 向載荷及繞軸 力矩的作用下，將產生 平面內的彎曲變形，與之相關的節(jié)點位移分量為：zxy eeeeexyqqqqq12862y4) 在 向載荷及繞軸 力矩的作用下，將產生 平面內的彎曲變形，與之相關的節(jié)點位移分量為：yxzz eeeeexzqqqqq1195318二、空間剛架單元四種基本變形的剛度矩陣二、空間剛架單元四種基本變形的剛度矩陣1）單元軸向變形剛度矩陣）單元軸向變形剛度矩陣yxeq1eq7)(xu 與軸向變形相關的節(jié)點位移分量有 和 ，假定在軸向載荷作用下單元內單元內任意點的位移為

12、：eq1eq7 exeeeeqNqqLxLxxu711)(與軸向變形對應的剛度矩陣為： 1111eeeexLEAKeq1eq1eq7eq7ji192）繞單元軸向扭轉變形剛度矩陣）繞單元軸向扭轉變形剛度矩陣yxeq4eq10)(x 與扭轉變形相關的節(jié)點位移分量有 和 ，假定在軸向載荷作用下單元內單元內任意點的扭轉角為：eq4eq10 eteeeeqNqqLxLxx1041)(ji在單元中假定：bxax)(在 點：eq4)0(ji0 x在 點：eeqL10)(eLx 解出 和 代回插值函數(shù)有：ab eeeexqqLrLrdxdr104 eeLrLrB對于圓形截面有：其幾何矩陣為：20與軸向變形對應

13、的剛度矩陣為： eq4eq4eq10eq10 xxG GD dArdxLLLLGdVBDBkALeeeeTVete201111 1111eetLGJk根據(jù)應力應變關系可以得到則扭轉變形剛度矩陣為：dArJA2令：圓形截面的扭轉慣性矩。說明：說明： 對于非圓截面前面的應變位移關系及扭轉慣性矩算式 不成立，但剛度矩陣是普遍適用的，只是扭轉慣性矩需要用其它方法獲得，如：近似公式計算、實驗等。213）單元）單元 平面內彎曲變形剛度矩陣平面內彎曲變形剛度矩陣yxeq6eq2eq8eq12)(xv 與彎曲變形相關的節(jié)點位移分量有 、 、 和 。eq6eq2eq8eq12假定在橫向載荷和彎矩作用下單元內單元

14、內任意點的撓度為：362543)(xxxxv根據(jù)節(jié)點處的位移連續(xù)性條件有：6 , 5 , 4 , 3,ii解出 ， 代回撓度函數(shù)經整理可得：在 點：eqv2)0(jijiexqxv600 x在 點：eeqLv8)(eLxqxve12eLx xy22撓度函數(shù)為：其中：單元中性層外任意點沿局部參考系 方向得位移可以表示為：xxxvyyxuxy)(),(yx),(yx),(yxuxy 223432332223232231/32/2/32LLxxxNLLxxxNLxLLxxxNLLLxxxN eeeeexyqqqqq12862 4321NNNNN exyqNxv)(23 xyxyxxqBxxvyxyx

15、u22,單元中性層外任意點沿局部參考系 方向得應變可以表示為：x ByLxLLxxLLxLyB26612466123 222232046266126122646612612LLLLLLLLLLLLLEIdAydxBBEdVBDBkxxALTTVexye其中：在局部參考系中單元剛度矩陣可以表示為其中：dAyIAzz2繞 軸截面慣性矩yeq12eq8eq6eq2eq6eq8eq12eq2244）單元）單元 平面內彎曲變形剛度矩陣平面內彎曲變形剛度矩陣zxeq5eq3eq9eq11)(xw 與彎曲變形相關的節(jié)點位移分量有 、 、 和 。eq5eq3eq9eq11假定在單元內單元內任意點的撓度為：31

16、02987)(xxxxw根據(jù)節(jié)點處的位移連續(xù)性條件有：在 點：eqv3)0(jijiexqxv500 x在 點：eeqLv9)(eLxqxve11eLx xz 2222346266126122646612612LLLLLLLLLLLLLEIkyyexz其中：dAzIAyy2繞 軸截面慣性矩y對應的單元剛度矩陣為：eq5eq3eq9eq11eq5eq3eq9eq11其他過程與 平面內的彎曲相同，不再xy25 LEILEILEILEILEILEILEILEILGJLGJLEILEILEILEILEALEALEILEILEILEILGJLEILEILEAkzzzzzzzzyyyyyyyyyyyyzz

17、zzzzzzyyyyyyzze400060200060406000206000000000012000001200120000012000000400060406000001200120033333333333333對稱空間剛架單元在局部參考系中的單元剛度矩陣為：26三、空間剛架單元剛度矩陣的變換關系三、空間剛架單元剛度矩陣的變換關系整體參考系1）空間剛架單元的節(jié)點位移向量局部參考系eeeeeQQQQQ12321 eeeeeqqqqq123212）空間剛架單元的節(jié)點位移向量的變換關系 eeQq 坐標變換矩陣，具體形式如下：27 1212000000000000 333222111nmlnmln

18、ml222nml111nml333nml其中：局部參考系 軸關于整體參考系的方向余弦局部參考系 軸關于整體參考系的方向余弦局部參考系 軸關于整體參考系的方向余弦xyz 因為空間剛架單元的局部參考系有三個坐標軸，根據(jù)單元的兩個節(jié)點只能確定其中一個坐標軸的方向，為確定其它兩個坐標軸的方向，還需要因入一個輔助量，可以是一個節(jié)點或一個參考方向。28四、空間剛架單元局部參考系確定方法（參考點法）四、空間剛架單元局部參考系確定方法（參考點法）jzxyikz 所謂參考點法，是在單元截面主軸平面內找一個輔助點 （稱參考點），用以幫助確定單元局部參考系。k首先由 點到 點作一個向量 AijTzyxAAAA,ijzijy