2023北京四中初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷含答案

2023北京四中初二（下）期中

數(shù)學(xué)

考生須知:

1.本試卷共6頁，必做題共三道大題，24道小題，滿分100分.附加題2道，共10分.考試

時間為100分鐘.

2.在試卷和答題卡上準確填寫班級、姓名和學(xué)號.

3.答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

4.選擇題、作圖題用28鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答.

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

1.下列選項中，屬于最簡二次根式的是（）

B.V4c.VioD.V8

A」(

2.以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.萬，3,5C.6,8,10D.5,12,12

3.下列化簡正確的是（）

A.(-V2)2=2B.g

-2C.373->/3=2D.近+6=小

4.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,要使四邊形A3CD是平行四邊形,下列添加的條件不正確的

A.AD=BCB.AB=CDC.AD//BCD.ZA=ZC

5.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，。是對角線AC與3。的交點,AB1AC,若A5=8,

AC=12,則8。的長是（）

C.22D.23

6.如圖，矩形ABC。中，AC，BO交于點0，M、N分別為BC、OC的中點.若NACB=30°,

AB=8,則MN的長為（）

7.如圖，在長方形Z8C。中無重疊放入面積分別為8和16的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為

（）

A.872-8B.8G-12C.4-2&D.8及-2

8.在菱形/8CD中，M,N,P,。分別為邊ZB,BC,CD,D4上的一點（不與端點重合），對于任意的菱形

ABCD,下面四個結(jié)論中：

①存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；③存在無數(shù)個四邊形

MNPQ是菱形;④至少存在一個四邊形M種。是正方形

正確的結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.若二次根式后三在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

10.如圖，校園內(nèi)有一塊長方形草地，為了滿足人們的多樣化品求，在草地內(nèi)拐角位置開出了一條路，走

此路可以省m的路.

11.如圖，在RtZ\48C中，ZBAC=90>AB=4,CO是JLBC的中線，E是CO的中點，連接AE，

BE,若AE_L8E，垂足為E,則AC的長為.

A

12.如圖，在四邊形/BCD中，對角線NC,8。相交于點。，E,F,G,//分別是邊/瓦BC,CD,D4的

中點，只需添加一個條件，即可證明四邊形ER?”是矩形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

13.己知。，h,c分別為RtZXABC中NA,NB,2C的對邊，NC=90°,。和人滿足

而立+優(yōu)—3）2=0,則c的長為_.

14.如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E,若NCBF=20。，則/AED等于.

15.如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波

克拉底月牙"，若6c=3,AC=4,則圖中陰影部分的面積為

16.如圖，線段AB的長為10,點。在線段AB上運動，以AO為邊長作等邊三角形4co.再以8為邊

長，在線段A8上方作正方形CDGH,記正方形CDGH的對角線交點為O.連接08,則線段8。的最

小值為.

H

G

AB

三、解答題(本題共68分)

17.計算：

(1)J18——，24+y/3；

(3)V12x

18.如圖，々18C3的對角線4C,8。相交于點。，點E,點尸在線段8。上，JiDE=BF.求證:

AE//CF.

19.如圖：正方形網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,且點/、B、C均為格點.

(1)求△N8C的面積；

(2)判斷ZU8C的形狀;

(3)求48邊上的高.

20.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻.一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7小，頂端到

地面的距離AC為2.4機.若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，梯頂端到底面的距離4。為

1.5m,求小巷有多寬？

21.如圖，在東西方向的海岸線上有4,8兩個港口，甲貨船從力港沿東北方向出發(fā)，同時乙貨船從8港口

沿北偏西60。方向出發(fā)，甲貨船行駛10海里后和乙貨輪相遇在點P處.則N港與8港相距多少海里？

北

22.已知：如圖，在平行四邊形A8CO中，/ABC的平分線交于點石，過點A作座的垂線交3E于

點、F，交BC于點、G,連接EG、CF,

(1)求證：四邊形ASGE是菱形；

23.如圖，在口/BC中，NAC8=90，AB=5,8C=3,點尸從點/出發(fā)，沿射線AC以每秒2個單位長

度的速度運動.設(shè)點尸的運動時間為f秒。＞0).

備用圖

(1)當(dāng)點P在AC的延長線上運動時，CP的長為—；(用含/的代數(shù)式表示)

(2)若點P在/A3C的角平分線上，求/的值；

(3)在整個運動中，直接寫出，4?尸是等腰三角形時f的值.

24.如圖，在一ABC中，AB=AC,ZBAC=90,過點/作的垂線A。，垂足為點。.點E為線段

。。上一動點(不與點C重合)，連接AE，以點/為中心，將線段AE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A尸，

連接成，與線段AD交于點G,連接CT.

B

DE

(1)依題意補全圖形：直接寫出8C與Cb的位置關(guān)系；

(2)求證：AG+DE=—BE；

2

(3)直接寫出AE，BE,AG之間的數(shù)量關(guān)系.

四、附加題(共10分)

25.求J3+G+J3-后的值?

解：設(shè)-匕+石+白―石,兩邊平方得：x2=(73+V5)2+(A/3-75)2+2^/(3+^)(3-75)>即

%2=3+石+3—石+4,^=10

小3+亞+5/3—V5>°‘5/3+^5+小3-也=Vw?

請利用上述方法，求“+后+”一力的值.

26.在平面直角坐標(biāo)系x。)，中，對于點尸和正方形Q4BC,給出如下定義：若點尸在正方形Q45C內(nèi)部

(不包括邊界)，且P到正方形。43c的邊的最大距離是最小距離的2倍，則稱點P是正方形。43c的2

倍距離內(nèi)點.

已知：A(a,O),B[a,d).

(1)當(dāng)a=6時，

①點爪1,一3),鳥(3,2),6(4,1)三個點中，_是正方形0A3C的2倍距離內(nèi)點；

②點P(〃,4)是正方形OABC的2倍距離內(nèi)點，請直接寫出?的取值范圍；

(2)點E(l,l),F(2,2),若線段所上存在正方形。43c的2倍距離內(nèi)點，請直接寫出。的取值范

圍；

(3)當(dāng)6工。工9時，請直接寫出所有正方形Q45c的所有2倍距離內(nèi)點組成的圖形面積.

參考答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

1.【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念進行判斷即可.

【詳解】解：A.J］中被開方數(shù)含分母，不屬于最簡二次根式，故A錯誤；

B.74=2.不屬于最簡二次根式，故B錯誤；

C.JIU屬于最簡二次根式，故C正確；

D.a=20不屬于最簡二次根式，故D錯誤.

故選：CD

2.【答案】C

【解析】

【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長邊的平方，再看看是否相等即可.

【詳解】解：A..22+32^42，

.?.以2,3,4為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

B.（V7）2+32^52,

???以"，3,5為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

C.62+82=102>

以6,8,10為邊能組成直角三角形，故本選項符合題意；

D.-52+122^122,

以5,12,12為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意.

故選：C.

3.【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)對A、B進行判斷；利用二次根式的加減法對C、D進行判斷.

【詳解】解：A、（一播『=2,所以A選項的計算正確；

B、幾斤=2,所以B選項的計算錯誤；

C、373-73=273，所以C選項的計算錯誤；

D、0與否不能合并，所以D選項的計算錯誤.

故選：A.

4.【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法，逐項判斷即可.

【詳解】解：A.當(dāng)AB〃C￡＞，A￡＞=BC時，四邊形ABC?？赡転榈妊菪?，故此選項符合題意；

B.當(dāng)AB〃CD，A3=CD時，一組對邊分別平行且相等，可證明四邊形A8GD為平行四邊形，故此

選項不符合題意；

C.當(dāng)A3〃cr＞，時，兩組對邊分別平行，可證明四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不

符合題意；

D.'JAB//CD,

：.44+/。=180°,

ZA=NC,

二ZC+Z￡)=180°,

/.AD//BC,

四邊形ABC。為平行四邊形，

故此選項不符合題意.

故選：A.

5.【答案】A

【解析】

【分析】由四邊形ABCO是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得。4的長，然后由

ABJ.AC,AB=S,AC=n,根據(jù)勾股定理可求得。8的長，繼而求得答案.

【詳解】解：???四邊形ABCO是平行四邊形，AC=12,

AOA=-AC=6,BD=20B,

2

,/ABIAC,AB=8,

OB=yjo^+AB1=V62+82=10-

，BD=2OB=20.

故選：A.

6.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和含30。的直角三角形的性質(zhì)得出AC=BZ)=16,進而求出50=230,再依

據(jù)中位線的性質(zhì)推知=46。.

2

【詳解】解：四邊形A8C。是矩形，AC,BD交于點。，ZACB=30°,A5=8,

.-.BD=AC=2AB=2x8=16,

：.BD=2BO,即230=16.

80=8.

又M>N分別為BC、OC的中點,

是.CBO的中位線，

:.MN=-BO=4.

2

故選：B.

7.【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件可以求出長方形力88的長和寬，從而求出長方形Z8CZ）的面積，最后即可求出空

白部分的面積.

【詳解】解：由己知可得：

長方形48?！辏┑拈L為j話+我=4+2忘，寬為4,

□長方形加。的面積為4（4+20）=16+8及，

口空白部分的面積為：16+8&-16-8=8及—8.

故選：A.

8.【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，正方形的判定，平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】①如圖，連接AC,BD交于O,

四邊形ABCD是菱形，過點。直線MP和QN,分別交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,

則四邊形MNPQ是平行四邊形，

故存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；故正確;

②如圖，

當(dāng)PM=QN時，四邊形MNPQ是矩形，故存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；故正確;

③如圖，

當(dāng)PMLQN時，存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形；故正確;

④如圖，

當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，四邊形MNPQ是正方形，故至少存在一個四邊形MNPQ是正方形；故④正

確；

綜上，①②③④4個均正確，

故選：D.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

3

9.【答案】0-

2

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)即可得出答案.

【詳解】解：：2%-320,

3

故答案為：x>-.

2

10.【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到這是個直角三角形，根據(jù)勾股定理，計算斜邊長為5,直角邊的和與斜邊

的差即為所求.

【詳解】如圖，

?.?四邊形是長方形，

，Z/4CS=9O°,

'：AC=3,BC=4,

AB=\JAC2+CB2-J32+4?=5,

.'.AC+BC-AB=3+4-5=2(m),

故答案為：2.

11.【答案】2G

【解析】

【分析】根據(jù)垂直定義可得NA￡5=90。，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得

DE=AD=-AB=2,AE=DE=CE=2,從而得到CD=4,最后利用勾股定理進行計算即可解

2

答.

【詳解】解：：AE_LBE，

，ZAEB=90°,

?.?CO是一ABC的中線，45=4，

，DE是,ABE斜邊上的中線，

DE=AD=-AB=2,

2

VZDAC=90°,E是CO的中點，

AE=DE=CE=2,

：.CD=4,

,由勾股定理得AC=VC￡>2-AD2=V42-22=2G，

故答案為：2G.

12.【答案】ZEFG=90°(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)三角形中位線定理可以證明四邊形EFC"是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定定理：有一個角

等于90。的平行四邊形為矩形，添加條件即可.

【詳解】解：F,G,H分別是邊4B,BC,CD,D4的中點，

HG//AC,EF〃AC,且HG」AC,EF=-AC,

22

：.HG=EF,KHG3EF,

四邊形是平行四邊形，

當(dāng)N￡AG=90。時，則四邊形E/C”是矩形.

13.【答案】V13

【解析】

【分析】首先利用算術(shù)平方根以及任意一個數(shù)的偶次方的非負性，當(dāng)幾個非負數(shù)相加和為。時，則其中的

每一項都必須等于0求出。和。的值，再利用勾股定理可求出C的值.

【詳解】解：：J^+(O—3)2=O,

,a-2=0

??<，

b-3=Q

[a=2

解得：｛,

[b=3

???在Rt^ABC中，ZC=90°,a,b,c分別為—A,NB,2C的對邊，

?*,C—+〃2=V22+32—V13，

的長為萬.

故答案為：拒.

14.【答案】65

【解析】

【分析】先由正方形的性質(zhì)得到/N8尸的角度，從而得到/NE8的大小，再證△4E8絲△/￡￡),得到

ZAED的大小

【詳解】???四邊形48CD是正方形

:.NACB=NACD=NBAC=NCAD=45°,ZABC=90a,AB=AD

?：NFBC=2Q°

：.ZABF=70°

...在△N8E中，ZAEB=&5°

在AABE與AADE中

AB=AD

<ZBAE=ZEAD=45°

AE^AE

：.AABE當(dāng)LADE

：.DAED=aAEB^65°

故答案為：65°

15.【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB,分別求出三個半圓的面積和ABC的面積，兩小半圓與直角三角形的和

減去大半圓即可得出答案.

【詳解】解：在RtaACB中ZACB=90。，BC=3,AC=4,

由勾股定理得：

AB^>JAC2+BC2="2+32=5,

陰影部分的面積為：

1⑶*1f4?1..1⑸2A

Sc=—x^-x—+—x^-x—+—x3x4——x^-x--6,

2⑶2⑶22⑶

故答案為：6.

16.【答案】5

【解析】

【分析】連接CG、DH，則CG、DH交于點、。，連接A。并延長，過點8作于點〃，證明

△ACgzXAQO(SSS),得出NC4O=ND4O=；NC4￡>=30°,證明點。一定在射線AM上，根據(jù)

垂線段最短，得出點。在點初處時，線段30取最小值，求出最小值即可.

【詳解】解：連接CG、DH，則CG、?！苯挥邳cO,連接A。并延長，過點8作AM于點

M,如圖所示：

/.AC=AD,ZCAD=60°,

?.?四邊形CDGH為正方形，

:.CO=DO,

,:AO=AO,

：.△ACC^AA￡）O（SSS）,

ZCAO=NDAO=-ACAD=30°,

2

...點。一定在射線AM上，

???垂線段最短，

.??點。在點〃處時，線段80取最小值,

VZBMA=90°,ZBAM=30°,

BM=-AB=5,

2

線段5。取最小值為5.

故答案為：5.

三、解答題(本題共68分)

17.【答案】（1）逑

4

（2）4-2遙

（3）12

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二次根式混合運算法則進行計算即可；

（2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式，結(jié)合二次根式混合運算法則進行計算即可;

（3）根據(jù)二次根式混合運算法則進行計算即可.

【小問1詳解】

解：J18——,24+

=372---A/244-3

4

=3近-包-瓜

4

=3a—交—2正

4

30

=----;

4

【小問2詳解】

解：^\[?>—V2—>/2j

=3-276+2-（3-2）

=3-276+2-1

=4-2#；

【小問3詳解】

=V900+3^/4-^/576

=30+6-24

=12.

18.【答案】見解析

【解析】

【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出/D=C&AD//BC,得至“N4DE=NCBF,從而證明

△ADE必CBF,得到即可證明結(jié)論.

【詳解】證：；四邊形/BCD是平行四邊形，

；.AD=CB,AD//BC,

：.ZADE=NCBF,

在ZUDE和AC8F中，

AD=CB

<ZADE=ZCBF

DE=BF

:.MADE懸ACBF("S),

Z./AED=/CFB,

：.AE//CF.

19.【答案】(1)△NBC的面積為5

(2)△/IBC是直角三角形

(3)邊上的高為2

【解析】

【分析】(1)由矩形的面積減去三個直角三角形的面積即可；

(2)由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；

(3)由三角形的面積即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

解：△A8C的面積=4x4」x2x4」x2xl」x4x3=5；

222

【小問2詳解】

解：由勾股定理得：^(^=42+22=20,5G=22+12=5,AB2=32+42=25,

.'.AC^+BC^AB2,

...△ZBC是直角三角形，NNC8=90。；

【小問3詳解】

解：'：AC=yf20=2y[5，BC=?,△/8C是直角三角形，

二45邊上的高="Cie=2亞又出=2.

AB5

20.【答案】2.7米

【解析】

【分析】先利用勾股定理求出梯子的長度，再利用勾股定理求出BD的長，即可得到答案.

【詳解】在RtZSABC中，AC=2.4,BC=0.7,ZACB=90°,

,AB=ylAC2+BC2=V2.42+0.72=2.5，

在ABD中，AB=AB=2.5,A￡）=1.5,NA'DB=90°,

BD=\lAB2-BD2=J"-IS?=2，

...小巷的寬CD=BC+BD=0.7+2=2.7（米）

答：小巷的寬是2.7米.

21.【答案】《港與8港相距（5a+5海里.

【解析】

【分析】先作于點C,根據(jù)題意求出4c=45。，從而得出PC的值，得出的值，即可

求出答案.

【詳解】解：作

由題意得NQ4C=45°,AP=10,

二PC=AC=5夜海里，

?.?乙貨船從B港沿西北方向出發(fā)，

；.NBPC=60°,ZPBC=30°,

二BC=6PC=5娓海里,

AB=AC+BC=卜&+5#）海里,

答：/港與8港相距卜及+5指）海里.

22.【答案】（1）見解析；（2）V7

【解析】

【分析】（D先證明48=AE，由AS4證明AA3/三AG3尸，得出四=GB，因此AE=GB,證出四

邊形43GE是平行四邊形，即可得出結(jié)論；

（2）過點F作于點由菱形的性質(zhì)得出NG8E=L/4BC=30。，BG=AB=4,

2

BC=AD=5,在RfBFG中,由勾股定理求出BE=26，在RcMW中，求出再求出

BM=3,得出CM=BC—&0=5—3=2,在加。中，由勾股定理即可得出。尸的長.

【詳解】（1）證明：BE平分NABC,

：.ZABE=ZCBE,

四邊形ABC。是平行四邊形

.?.4。//8。且40=3。,

:"CBE=ZAEB,

：.ZABE=ZAEB=NCBE,

-AB—AE,

AF^BE，

:.ZAFB=NGFB=90°,

/ABE=ZCBE

在/和AGBE中，,8尸=8尸，

NAFB=NGFB

:.AABF=AGBF(ASA),

AB=GB,

:.AE=GB,

又?AD//BC,

???四邊形ABGE是平行四邊形，

又AB=GB,

???四邊形ABGE是菱形；

(2)解：過點尸作FML3C于點M,如圖所示:

四邊形ABGE是菱形，

ZGBE=-ZABC=30°,BG=AB=4,BC=AD=5,

2

在RfBFG^,GF=-BG=2,

2

BF=^BG1-GF2=V16-4=2G，

在氏中，F(xiàn)M=>BF=LX2號瓜

22

BM=slBF2-FM2=V12-3=3，

：.CM=BC-BM=5-3=2,

：.RtFMC中，CF=4FM。+CM。=?而+2。=幣.

23.【答案】(1)2r-4

255

（3），的值為二或士或4

162

【解析】

【分析】（D由勾股定理可求得AC的值，根據(jù)線段的和差關(guān)系解答即可；再設(shè)斜邊上的高為人，由

面積法可求得答案；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可；

（3）分AB作為底和腰兩種情況討論即可.

【小問1詳解】

解：：在WC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,

二由勾股定理得：AC=yjAB2-BC2=4>

已知點尸從點/出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度運動，

當(dāng)點P在AC的延長線上時，點P運動的長度為：AC+CP=2t,

AC=4,

:.CP=2i-AC=2t-4.

故答案為：2t-4.

【小問2詳解】

解：過點尸作于點如圖所示：

ZAC8=90。，

PCLBC,

?點P在/ABC的角平分線上，PMYAB,

PC=PM,

又,：PB=PB，

：.RtPCB^RtPMB,

CB=MB,

：.AM=AB-MB=AB=BC=5-3=2,

設(shè)PM=PC=x,則AP=4—x,

在RtAAPM中，AM2+PM2=AP2,

22+x2=(4-x)2,

3

解得：x=-

2

即若點P在的角平分線上'則，的值為

【小問3詳解】

解：當(dāng)AB作為底邊時，如圖所示:

則以=。8，設(shè)叢=。，則PC=AC-AP=4-a,

在RtPCB中,PB1=PC2+CB2，

?2=（4-?）2+32,

25

解得：a=—,

o

…25c25

此時，=——4-2=—；

816

當(dāng)AB作為腰時，如圖所示：

APt=AB=5,此時f=5+2=2；

2

AB=BP,時，

BC1AP2,

：.=2AC=8,

此時f=8+2=4,

255

綜上分析可知，1的值為＜或3或4.

24.【答案】（1）補全圖形見解析；BCLCF

⑵見解析（3）2A￡2=4AG2+BE2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題目中要求補全圖形即可；根據(jù)將線段AE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段■，得出

AE=AF,ZE4F=9O°,可證也△C4尸（SAS）,得出NA3E=NACF=45°,可得

ZECF=ZACB+ZACF=450+45°=90°即可；

（2）在A。上取DH=DE,連接8H,證明DG=-CF,得出BE=2DG,證明

2

BD"g_ADE（SAS）,得出=NDBH=NDAE，證明二尸GA,得出AG=GH,

證明OG=G〃+O”=AG+OE,即可證明結(jié)論；

（2）延長84交C尸延長線于〃，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得A。平分N84C，可得

ABAD-ZCAD--ZBAC=45°,可證BAG^,BHF,得出“尸=2AG,再證

2

AEC^AFW（AAS）,得出EC=EH=2AG,利用勾股定理得出所2=4爐+人尸=2.2,

EF2=EC2+CF2即2A￡2=4AG2+BE2即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題目要求補全圖形，如圖所示：

將線段AE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，

/.AE=AF,ZEAF=90°，

：.ZEAC+ZCAF^90°,

VAB^AC,NBAC=90°,

AZBAE+ZEAC^90°,ZABCZACB45°,

：.ABAE^ZCAF,

在nfiAE和VC4F中，

AB=AC

<NBAE=NCAF,

AE=AF

：.Aa4E^AC4F（SAS）,

：.ZABE=NACE=45°,

NECF=ZACB+ZACF=450+45°=90°,

/.BC±CF；

【小問2詳解】

證明：在AO上取DH=DE，連接BH，如圖所示:

VAD1BC,BCLCF,

：.AD//CF,

:.ZBDG=NBCF=90°,ZBGD=ZBFC,

，/\BDGs公BCF,

.BDBG

??=,

BCBF

VAB=AC,ADJ.BC,ZBAC=9Q°,

BD=DC=-BC,

2

A2BCBG,

BC~~BF

.BG1

BF2

：.BG=-BF,

2

BG=GFD

口BD=DC,

：.DG=-CF,

2

,/^BAE^CAF,

BE=CF,

：.BE=2DG,

VBD=AD,ABDH=ZADE=90。,DH=DE，

BDH^,ADE（SAS）,

/.BH=AE,/DBH=ZDAE,

,:AE=AF,

二BH=AF，

???ZGAF=ZDAE+ZEAF=ZDAE+90°,

ZBHG=ZDBH+NBDH=ZDBH+90°,

，ZBHG=NGAF,

???ZBGH=ZAGF,

二,BGH-FGA,

:.AG=GH,

：.DG=GH+DH=AG+DE,

：.AG+DE=-BE；

2

【小問3詳解】

解：2A爐=4AG2+BE2.延長54交C/延長線于H如圖所示:

VADJ.BC,AB=AC,

二平分/B4C,

/BAD=ACAD=-ABAC=45°,

2

,:BG=GF,AG//HF,

二NR4G=N"=45。，ZAGB=ZHFB,

：.BAGs^BHF,

.AGBGI

HFBF2

：.HF=2AG,

"：NACE=45。，

ZACE=NH,

：ZE4C+NG4F=90°,ZCAF+ZFAH=90°,

：.ZEAC=ZFAH,

在△AEC和..AFT/中,

ZACE=NAHF

<NEAC=NFAH,

AE^AF

：.AEC^.AFH（AAS）,

：.EC=FH=2AG,

在RtAEF中，根據(jù)勾股定理E/M=AE2+A/2=2AE?,

在RtECF中，EF?=EC2+CF2，

即2AS?=447*8爐.

四、附加題（共10分）

25.【答案】714

【解析】

【分析】根據(jù)題意給出的解法即可求出答案即可匚

【詳解】設(shè)%="+T7+〃_近口

兩邊平方得口/=□“+S口2+口”-舊于+2“+將?〃-々口

即x2=4+V7+4077+60

月14

/.x=±y/]4

,?*“+療+，4-5>0口???^=V14口

26.【答案】（1）①鳥（3,2）；?2<n<4

（2）-<a<6

2

（3）14

【解析】

【分析】（1）①根據(jù)定義求解；②根據(jù)定義求解，注意分類討論；

（2）根據(jù)定義，先求出邊界值，即可確定范圍；

（3）由（1）中第②中的結(jié)論可知當(dāng)。=6時，正方形。43。的所有2倍距離內(nèi)點組成的圖形是正方形

EFHG；當(dāng)a=9時，正方形。45c的所有2倍距離內(nèi)點組成的圖形是正方形力,從而得出當(dāng)

時，正方形Q48C的所有2倍距離內(nèi)點組成的圖形是六邊形EFMqNG,再利用割補法求出面

積即可。

【小問1詳解】

解：?.?正方形Q48c在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且A（a,0）,B（a,a）,

當(dāng)〃=6時，得：

0(0,0),