圓的內(nèi)接四邊形

1、例 圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A、B、C的度數(shù)的比是327，求四邊形各內(nèi)角度數(shù)解：設(shè)A、B、C的度數(shù)分別為3x、2x、7x ABCD是圓內(nèi)接四邊形A +C=180°即3x+7x=180°，x=18°，A=3x=54°，B=2x=36°，C=7x=126°， 又B+D=180°，D=180°一36°144°說明：鞏固性質(zhì)；方程思想的應(yīng)用例如圖，已知AD是ABC的外角EAC的平分線，AD與三角形ABC的外接圓相交于D求證：DB=DC分析：要證DB=DC，只要證BCD=CBD，充分利用條件和圓周角的定理

2、以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可解決說明：角相等的靈活轉(zhuǎn)換，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)作橋梁例 如圖，ABC是等邊三角形，D是上任一點(diǎn)，求證：DB+DC=DA分析：要證明一條線段等于兩條線段的和，往往可以“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”法，本題兩種方法都可以證明證明： 延長(zhǎng)DB至點(diǎn)E，使BE=DC，連AE 在AEB和ADC中，BE=DC ABC是等邊三角形AB=AC 四邊形ABDC是O的內(nèi)接四邊形， ABE=ACD AEBADC AEB=ADC=ABC ADE=ACB， 又 ABC=ACB60°， AEB=ADE=60° AED是等邊三角形，AD=DE=DB+BE BE=DC，DB+DC=DA說

3、明：本例利用“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”法證明培養(yǎng)學(xué)生“角相等的靈活轉(zhuǎn)換”能力在圓中，圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)構(gòu)成了角度相當(dāng)轉(zhuǎn)換的一個(gè)體系，應(yīng)重視例 如圖，ABCD是O的內(nèi)接四邊形，如果，那么（ ）A90° B120° C135° D150°說明：“圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.”這個(gè)定理很重要，要正確運(yùn)用.例 如圖，AD是外角的平分線，AD與外接O交于點(diǎn)D，N為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且交O于點(diǎn)M.求證：（1）；（2）分析：（1）由于DB與DC是同一三角形的兩邊，要證二者相等就應(yīng)先證明它們的對(duì)角相等，這可由圓周角定理與圓內(nèi)接四邊

4、形的基本性質(zhì)得到：（2）欲證乘積式，只須證比例式，也即，這只須要證明即可.說明：本題重在考查圓周角與圓內(nèi)接四邊形的基本性質(zhì)和利用相似三角形證明比例線段的基本思維方法例 如圖，已知四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是的直徑，且，與的延長(zhǎng)線相交于求證：.說明：本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是輔助線構(gòu)造，再證.易錯(cuò)點(diǎn)是不易想到證而使解題陷入困境或出現(xiàn)錯(cuò)誤.例 如圖，AB是O的直徑，弦（非直徑），P是O上不同于的任一點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的關(guān)系如何？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的關(guān)系如何？請(qǐng)證明你的結(jié)論（不要討論P(yáng)點(diǎn)與A點(diǎn)重合的情形）分析：利用在同圓中，圓心角、弧、

5、弦、弦心距之間的關(guān)系定理來(lái)解決.選擇題1在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，和它的對(duì)角的度數(shù)的比為1：2，那么為（ ）A30° B60° C90° C120°2四邊形ABCD內(nèi)接于圓，、的度數(shù)依次可以是（ ）A1：2：3：4 B6：7：8：9 C4：1：3：2 D14：3：1：123.四邊形內(nèi)接于圓，、的度數(shù)比依次可以是（）ABCD4.如圖，四邊形內(nèi)接于，那么的度數(shù)為（）ABCD5. 如圖，與交于、兩點(diǎn)，且過的圓心，若，則等于（）ABCD6. 圓內(nèi)接平行四邊形一定是（ ）（A）矩形 （B）正方形 （C）菱形 （D）梯形7已知AB、CD是O的兩條直徑，則四邊形AD

6、BC一定是（ ）A矩形 B菱形 C正方形 D等腰梯形8、四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則A、B、C、D的度數(shù)比可以是 ( )（A）1234 （B）75108（C）131517 （D）13249、若ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AECD于E，ABC=130°，則DAE為（ ）（A）50° （B）40° （C）30° （D）20°10、如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長(zhǎng)線相交于P，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)Q，則圖中共有相似的三角形 ( ) （A）4對(duì) （B）3對(duì) （C）2對(duì) （D）1對(duì)11如圖，在，AD是高，的外接圓直徑AE交BC邊于點(diǎn)G，有

7、下列四個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)12已知：如圖，劣弧，那么的度數(shù)是（ ）A320° B160° C150° D200°13鈍角三角形的外心在（ ）A三角形內(nèi) B三角形外 C三角形的邊上 D上述三種情況都有可能14圓內(nèi)接平行四邊形的對(duì)角線（ ）A互相垂直 B互相垂直平分C相等 D相等且平分每組對(duì)角15如圖，已知四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，且，下列命題錯(cuò)誤的是（ ）A BC D圖中全等的三角形共有2對(duì)答案：1B 2D 3.C 4. A 5. D 6、A；7A 8、C； 9、B； 10

8、、A. 11B 12B 13B 14D 15D. 填空題1. 已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形，若A與C的度數(shù)之比是12，則A的度數(shù)是 度2. 若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且ACD為36°，則所對(duì)的圓心角的度數(shù)是 度3. 圓內(nèi)接四邊形相鄰三個(gè)內(nèi)角的比是217，則這個(gè)四邊形的最大角的度數(shù)為 度4. 圓上四點(diǎn)、，分圓周為四段弧，且=，則圓內(nèi)接四邊形的最大角是_5. 圓內(nèi)接四邊形中，若是相鄰的一個(gè)外角，且，則，若，則，6. 四邊形內(nèi)接于圓，、的度數(shù)之比是，比大，則，7. 圓內(nèi)接梯形是_梯形，圓內(nèi)接平行四邊形是_8圓內(nèi)接四邊形ABCD中，如果，那么度.9在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，則.10如圖，在圓內(nèi)

9、接四邊形ABCD中，則四邊形ABCD的面積為_.11如圖，把正三角形ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在的中點(diǎn)，若，則折痕在內(nèi)的部分DE長(zhǎng)為_.答案：1. 60°； 2. 72°； 3.160°4. 5. ，;6. ， 7. 等腰，矩形.890 9120° 10 11.解答題1、如圖，已知：ABCD為圓內(nèi)接四邊形，（1）若DBCE，求證：ADBC=CDBE；（2）若ADBC=CDBE，求證：DBCE 2、已知：O中，直徑AB垂直弦CD于H，E是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE交O于F求證：AFC=DFE3如圖，已知四邊形內(nèi)接于圓，、的延長(zhǎng)線相交于，且，求證：4如圖，點(diǎn)、在上，以點(diǎn)為圓心的交于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：5已知圓內(nèi)接四邊形，中，求最小的角。6如圖，在中，平分交于，的外接圓交于.求證：7如圖，是圓內(nèi)接正三角形，P為劣弧上一點(diǎn)，已知.（1）求證：；（2）求PB、PC的長(zhǎng)（）.8如圖，已知：菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，是的外接圓，E是上的一點(diǎn)，連結(jié)AE并延長(zhǎng)與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.求證：.9如圖，BC是O的直徑，垂足為D，BF交AD于點(diǎn)E.（1）求