高等數(shù)學(xué)訓(xùn)練之導(dǎo)數(shù)及微分

1、第二講 導(dǎo)數(shù)與微分§1 重要內(nèi)容一 定義1 導(dǎo)數(shù)的定義 若存在，則，其中 變化；若存在，則， ；若存在，則，其中 變化； 若存在，則， 。 2 約分定義 或者二 性質(zhì)1 存在2 可導(dǎo)可微連續(xù)有極限三 應(yīng)用斜率，曲率（半徑），弧長（弧微分）四 設(shè)在處連續(xù)，則在處可導(dǎo)。特殊：在不可導(dǎo)； 在處可導(dǎo)。討論：在處可導(dǎo)性思路：討論是否為0。（，則不可導(dǎo)）§2 題型與例題分析題型一：利用導(dǎo)數(shù)定義解題 1 已知極限求導(dǎo)數(shù)或已知導(dǎo)數(shù)求極限；2 討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的可導(dǎo)性；3 抽象函數(shù)沒有給出的導(dǎo)函數(shù)存在，討論在處的可導(dǎo)性，或求；4 涉及例1：設(shè)f(x)是可導(dǎo)的偶函數(shù)，它在的某鄰域內(nèi)滿足，

2、求在處的切線方程。分析：為奇函數(shù)，方程， 。解： 即： 切線方程為： 例2：設(shè)f(x)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在處可導(dǎo)，則在處 ：（A） 可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為（B） 可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為（C） 可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為（D） 不可導(dǎo) 分析：若，導(dǎo)數(shù)為 若，設(shè)，則的一個鄰域使導(dǎo)數(shù)為： 設(shè)，同理可得導(dǎo)數(shù)為：-導(dǎo)數(shù)為： 故選：B 例3：設(shè)f(x)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，且則，使得曲線 :（A） 在內(nèi)向上凹（B） 在內(nèi)向下凹（C） 在內(nèi)，在內(nèi)（D） 在內(nèi)，在內(nèi) 分析： ，在內(nèi)有 故在內(nèi)；在內(nèi)。故選：D 例4：設(shè)f(x)在內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。且證明： 對于，。唯一的，使。 。 證明：由拉氏中值定理：，使。連續(xù)，且或者單調(diào)，是唯一的。即

3、有： 例5：設(shè)在內(nèi)有定義，且，。證明：。 證明： 令， ， 例6：設(shè)f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，求曲線在處的曲率半徑。 分析： 解： 又 注意條件：題型二：分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 例7：函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)為： 分析：令，則； ， ； ， ； ， ；所以不可導(dǎo)點(diǎn)為： 例8：設(shè)。討論在處的可導(dǎo)性。 解：。 當(dāng)時，存在，且為0；當(dāng)時，當(dāng)時，在處連續(xù)。 例9：設(shè)連續(xù)。，且。求，并討論 在處的連續(xù)性。 解：，。 令。則 又； 當(dāng)時， 并討論 在處的連續(xù)性。 例10：設(shè)在內(nèi)有定義，有，當(dāng)時，有。問：是否存在？分析：， 解：當(dāng)， 不存在。題型三：利用公式或法則求導(dǎo)。 關(guān)鍵：復(fù)合求導(dǎo)！ 與的區(qū)別： 例11：設(shè)，求，解

4、： 令 ， ； 例12：設(shè)是拋物線上任一點(diǎn)處的曲率半徑，是該拋物線上介于點(diǎn)與之間的弧長。求解： 題型四：高階導(dǎo)數(shù) 求，數(shù)學(xué)歸納法 求：A：數(shù)學(xué)歸納法；B：函數(shù)冪級數(shù)展開 例13：，求。 解： 例14：設(shè)任意階可導(dǎo)。且，求。解：證明：假定時， 成立，則， 當(dāng)時， 假設(shè)成立，結(jié)論正確。 題型五：討論方程根的個數(shù) ，使得 結(jié)論：設(shè)在內(nèi)有且。 則方程在內(nèi)有唯一實(shí)根。 例15：確定方程的根的個數(shù)，并指出范圍 分析：。 解：有。 ， 所以有一個根； 當(dāng)時，有3個根：； 當(dāng)時，有2個根： 當(dāng)時，有1個根：。 變形：已知方程有兩個實(shí)根，討論參數(shù)的取值范圍。 例16：設(shè)當(dāng)時，方程有唯一實(shí)根，求的取值范圍。 分析： 分離參數(shù)： 解： ，。 當(dāng)時， 無根； 當(dāng)時， 是唯一根； 當(dāng)且時，有唯一根。的取值范圍是；或者。 例17：設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)。且，。又存在使得。問在內(nèi)有幾個實(shí)根。 分析：存在，使，找，使。 解：存在，使。 令，； 使；，使；，