FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

1、1會(huì)計(jì)學(xué)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法2 IIR數(shù)字濾波器在前述設(shè)計(jì)中只強(qiáng)調(diào)了幅頻特性，其數(shù)字濾波器在前述設(shè)計(jì)中只強(qiáng)調(diào)了幅頻特性，其相頻特性不好，雖然可以用全通網(wǎng)絡(luò)給以校正，仍不算好。相頻特性不好，雖然可以用全通網(wǎng)絡(luò)給以校正，仍不算好。在圖象處理及數(shù)據(jù)傳輸中，要求線性相位（只產(chǎn)生群延時(shí)，在圖象處理及數(shù)據(jù)傳輸中，要求線性相位（只產(chǎn)生群延時(shí)，不產(chǎn)生波形畸變），用不產(chǎn)生波形畸變），用FIR濾波器較適宜。濾波器較適宜。 FIR濾波器是多項(xiàng)式形式，沒(méi)有分式分母部分，易于濾波器是多項(xiàng)式形式，沒(méi)有分式分母部分，易于用用FFT法實(shí)現(xiàn)。由于非線性相位系統(tǒng)一般可用法實(shí)現(xiàn)。由于非線性相位系統(tǒng)一般可用

2、IIR濾波器實(shí)濾波器實(shí)現(xiàn)，故這里討論線性相位現(xiàn)，故這里討論線性相位FIR。一、FIR與IIR相比較：時(shí)間時(shí)間 t幅幅度度原始信號(hào)原始信號(hào)時(shí)間時(shí)間 t幅幅度度相移相移90o時(shí)間時(shí)間 t幅幅度度相移相移 180odd)()(f1 f2f時(shí)時(shí)延延f1 f2f時(shí)時(shí)延延f1 f2f ( )f1 f2f ( ) 系統(tǒng)相位特性決定了信號(hào)不同頻率的時(shí)延系統(tǒng)相位特性決定了信號(hào)不同頻率的時(shí)延輸入波形輸入波形DFT變換變換忽略相忽略相位信息位信息IDFT變換變換輸出波形輸出波形constant)(ddgg)(NpgpTTph00)(sin- 系統(tǒng)的群延遲系統(tǒng)的群延遲9對(duì)于對(duì)于FIR濾波器，單位沖激響應(yīng)濾波器，單位沖

3、激響應(yīng) )(nh的的Z變換為變換為 10)()(NnnznhzH，共，共N個(gè)樣點(diǎn)長(zhǎng)，個(gè)樣點(diǎn)長(zhǎng)，N-1階多項(xiàng)式，階多項(xiàng)式，有有N-1個(gè)零點(diǎn)，個(gè)零點(diǎn)，N-1階極點(diǎn)階極點(diǎn)z=0在原點(diǎn)處。在原點(diǎn)處。一、線性相位條件一、線性相位條件 當(dāng) )(nh為實(shí)數(shù)， 10 Nn，且滿(mǎn)足下列條件之一： )1()(nNhnh )1()(nNhnh 偶對(duì)稱(chēng) 奇對(duì)稱(chēng) 則具有線性相位特性。則具有線性相位特性。 10又由于N分為奇、偶兩種情形，故組合出四種情形。 偶對(duì)稱(chēng)，N為奇情形偶對(duì)稱(chēng)，N為偶情形11奇對(duì)稱(chēng)，N為奇情形 奇對(duì)稱(chēng)，N為偶情形注意：無(wú)論是奇對(duì)稱(chēng)還是偶對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心在注意：無(wú)論是奇對(duì)稱(chēng)還是偶對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心在n=(N

4、-1)/2處。處。 12二、線性相位特點(diǎn)二、線性相位特點(diǎn) 這里推導(dǎo)一下滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)或奇對(duì)稱(chēng)的這里推導(dǎo)一下滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)或奇對(duì)稱(chēng)的 )(nh具有線性具有線性相位，即相位，即)()()( jjeHeH （7-2） )( H是幅度，是幅度， )( 是相角。是相角。 其中其中 bk )(，k，b是常量，是常量， -k稱(chēng)為群延時(shí)稱(chēng)為群延時(shí) kdd )(，131. )(nh是偶對(duì)稱(chēng)的情況是偶對(duì)稱(chēng)的情況 )1()(nNhnh 1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH 10)1(10)1()()(1NmmNNmmNzmhzzmhnNm從而從而 )()(1)1( zHzzHN，進(jìn)而：，進(jìn)而： 10)1(1

5、)1()(21)()(21)(NnnNnNzzznhzHzzHzH14 102121212)(NnNnNnNzznhz 102121cos)()(NnNjjNnnheeH 比較（比較（7-2），幅度、相位分別為：），幅度、相位分別為： 21)(21cos)()(10NnNnhHNn （7-17）（7-18） 152. )(nh是奇對(duì)稱(chēng)的情況是奇對(duì)稱(chēng)的情況 )1()(nNhnh 1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH 10)1(10)1()()(1NmmNNmmNzmhzzmhnNm從而有從而有 )()(1)1( zHzzHN，進(jìn)而：，進(jìn)而： 10)1(1)1()(21)()(21

6、)(NnnNnNzzznhzHzzHzH16 10)21()21(212)(NnNnNnNzznhz在單位圓上：在單位圓上： 102121sin)()(NnNjjNnnhjeeH 1022121sin)(NnjNjnNnhe 17221)(21sin)()(10 NnNnhHNn（7-20）（7-21） 線性相位，但有固定相移線性相位，但有固定相移 。 90三、幅度函數(shù)的特點(diǎn)三、幅度函數(shù)的特點(diǎn) 幅度函數(shù)的討論不僅對(duì)偶對(duì)稱(chēng)和奇對(duì)稱(chēng)不同，且幅度函數(shù)的討論不僅對(duì)偶對(duì)稱(chēng)和奇對(duì)稱(chēng)不同，且N為為奇偶也不同。奇偶也不同。 181.h(n)是偶對(duì)稱(chēng)，是偶對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)為奇數(shù) 由（由（7-17）式）式 1021

7、cos)()(NnnNnhH 其中其中 )(nh是偶對(duì)稱(chēng)，而是偶對(duì)稱(chēng)，而 )1(21cos21cos21cosnNNNnnN 也對(duì)也對(duì) 21 N處成偶對(duì)稱(chēng)，故整個(gè)處成偶對(duì)稱(chēng)，故整個(gè) )( H關(guān)于關(guān)于 21 N成偶對(duì)稱(chēng)，成偶對(duì)稱(chēng)，除中點(diǎn)除中點(diǎn)21 N處外，可以把第一點(diǎn)與最后一點(diǎn)合并處外，可以把第一點(diǎn)與最后一點(diǎn)合并2，第二，第二點(diǎn)與倒數(shù)第二點(diǎn)合并點(diǎn)與倒數(shù)第二點(diǎn)合并2，則有，則有19 2)3(021cos)(221)(NnnNnhNhH 2)1(1)cos()21(221)(NmmmNhNhH 令令 nNm 21，則可記做可記做 2)1(0)cos()()(NnnnaH 其中其中 21)0(Nha，

8、 nNhna212)(21, 2 , 1 Nn，20)( H關(guān)于關(guān)于 2 , 0 呈偶對(duì)稱(chēng)呈偶對(duì)稱(chēng) 0)( H 2 h(n)是偶對(duì)稱(chēng)，是偶對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)為奇數(shù)212.h(n)是偶對(duì)稱(chēng)，是偶對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)為偶數(shù) 與與 N為奇數(shù)不同在于為奇數(shù)不同在于 )( H合并偶對(duì)稱(chēng)項(xiàng)時(shí)，沒(méi)有合并偶對(duì)稱(chēng)項(xiàng)時(shí)，沒(méi)有中間項(xiàng)中間項(xiàng) 21Nh，可寫(xiě)成：，可寫(xiě)成： 2112021cos)2(2221cos)(2)(NmNnmmNhmNnnNnhH 令令記作：記作： 21)21(cos)()(NnnnbH 其中其中 nNhnb22)(2, 2 , 1Nn ，22 0)( H，在在 1 z處有一個(gè)零點(diǎn)處有一個(gè)零點(diǎn) )( H關(guān)

9、于關(guān)于 2 , 0 呈偶對(duì)稱(chēng)，對(duì)呈偶對(duì)稱(chēng)，對(duì) 呈奇對(duì)稱(chēng)呈奇對(duì)稱(chēng) （不可用作高通、帶阻）。（不可用作高通、帶阻）。 0 )( H 2h(n)是偶對(duì)稱(chēng)，是偶對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)為偶數(shù)233.h(n)是奇對(duì)稱(chēng)，是奇對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)為奇數(shù) 由（由（7-20）式）式 1021sin)()(NnnNnhH 2121121NhNNhNh021 Nh由由知知，即中間項(xiàng)為零。，即中間項(xiàng)為零。 )1(21sin21sin21sinnNNNnnN 故也是奇對(duì)稱(chēng)的，合并相等項(xiàng)故也是奇對(duì)稱(chēng)的，合并相等項(xiàng) 24 2)3(021sin)(2)(NnnNnhH )sin(21221211 mmNhnNmNm 令令可表示為：可表示為：

10、 )sin()()(211 nncHNn 其中其中 nNhnc212)(21, 2 , 1 Nn，在在 2 , 0 處處 0)( H，即，即 )(zH在在 1z處為零點(diǎn)。處為零點(diǎn)。 25 0)( H 2 h(n)是奇對(duì)稱(chēng)，是奇對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)為奇數(shù))( H關(guān)于關(guān)于 2 , 0 呈奇對(duì)稱(chēng)呈奇對(duì)稱(chēng) 264. h(n)是奇對(duì)稱(chēng)，是奇對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)為偶數(shù) 與與3.情況相同，但無(wú)中間項(xiàng)情況相同，但無(wú)中間項(xiàng) 12021sin)(2)(NnnNnhH 令令 nNm 2 )21(sin22)(21mmNhHNm ，則記做：記做： )21(sin)()(21nndHNn 其中其中 nNhnd22)(2, 2 ,

11、1Nn ，27在在 2 , 0 處處 0)( H)(zH在在 1 z處為零點(diǎn)處為零點(diǎn) )( H在在 2 , 0 呈奇對(duì)稱(chēng)，在呈奇對(duì)稱(chēng)，在 呈偶對(duì)稱(chēng)呈偶對(duì)稱(chēng)（不可用作低通、帶阻）。（不可用作低通、帶阻）。 0)( H 2 h(n)是奇對(duì)稱(chēng)，是奇對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)為偶數(shù)28四、零點(diǎn)位置四、零點(diǎn)位置 由于由于線性相位線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)總滿(mǎn)足濾波器的系統(tǒng)函數(shù)總滿(mǎn)足 )()(1)1( zHzzHN0)( izHiz，是是 )(zH的零點(diǎn)的零點(diǎn) 0)()()1(1 iNiizHzzH，故，故 1 iz也是也是 )(zH的零點(diǎn)的零點(diǎn) 加之加之 )(nh是實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)是實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng) )(zH的零點(diǎn)總是成共

12、軛對(duì)的零點(diǎn)總是成共軛對(duì)出現(xiàn)，故一般出現(xiàn)，故一般 總是總是4個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)一組同時(shí)出現(xiàn)一組同時(shí)出現(xiàn) 當(dāng)零點(diǎn)是復(fù)零點(diǎn)時(shí)當(dāng)零點(diǎn)是復(fù)零點(diǎn)時(shí)總是總是4 4個(gè)一組出現(xiàn)個(gè)一組出現(xiàn)29圖圖 1Re(z)j Im(z)0 1111411111111)1()(zerzerzerzerzzzHiiiijijijijikki 一般情況)cos2)(cos21(12122212 zzrrzrzrriiiiiii 30有幾個(gè)特例情況，即零點(diǎn)在單位圓上或在實(shí)軸上，需要另外討論。有幾個(gè)特例情況，即零點(diǎn)在單位圓上或在實(shí)軸上，需要另外討論。 1. 零點(diǎn)在單位圓上，但不在實(shí)軸上時(shí)，也需呈共軛對(duì)。零點(diǎn)在單位圓上，但不在實(shí)軸上時(shí)，也需呈

13、共軛對(duì)。 121111)( zezezHiijkji 21cos21 zzi 1Re(z)j Im(z)0二階二階FIR濾波器濾波器 1 312. 零點(diǎn)在實(shí)軸上，但不在單位圓上時(shí)，實(shí)數(shù)的倒數(shù)仍是實(shí)數(shù)，零點(diǎn)在實(shí)軸上，但不在單位圓上時(shí)，實(shí)數(shù)的倒數(shù)仍是實(shí)數(shù)，也成對(duì)出現(xiàn)。也成對(duì)出現(xiàn)。 1Re(z)j Im(z)0 211211)1(1111)( zzrrzrzrzHiiikii二階二階FIR濾波器濾波器 1 323. 零點(diǎn)在單位圓上，且在實(shí)軸上時(shí)。零點(diǎn)在單位圓上，且在實(shí)軸上時(shí)。 1Re(z)j Im(z)011)( zzHi一階一階FIR濾波器濾波器 5 . 0 33對(duì)對(duì) 為偶數(shù)時(shí)，如為偶數(shù)時(shí)，如 奇

14、對(duì)稱(chēng)，有奇對(duì)稱(chēng)，有 ，在，在N)(nh0)0( H1 z處是零點(diǎn)（不適合低通、帶阻）處是零點(diǎn)（不適合低通、帶阻）對(duì)對(duì) 為偶數(shù)時(shí)，如為偶數(shù)時(shí)，如 偶對(duì)稱(chēng)，有偶對(duì)稱(chēng)，有 ，在，在N)(nh0)( H1 z處是零點(diǎn)（不適合高通、帶阻）處是零點(diǎn)（不適合高通、帶阻）對(duì)對(duì) 為奇數(shù)時(shí)，如為奇數(shù)時(shí)，如 奇對(duì)稱(chēng)，有奇對(duì)稱(chēng)，有 ， ，N)(nh0)0( H 處是零點(diǎn)（不適合低通、高通、帶阻）處是零點(diǎn)（不適合低通、高通、帶阻）0)( H1z這三種情況必有零點(diǎn)這三種情況必有零點(diǎn) 111 zzz或或或或返回34 提到窗函數(shù)，首先有兩點(diǎn)要搞清楚，一是什么是窗，二是這提到窗函數(shù)，首先有兩點(diǎn)要搞清楚，一是什么是窗，二是這里是

15、什么窗。窗的概念是取已知序列的一部分，該部分每點(diǎn)值要里是什么窗。窗的概念是取已知序列的一部分，該部分每點(diǎn)值要對(duì)應(yīng)乘上窗的值。對(duì)應(yīng)乘上窗的值。 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（時(shí)窗設(shè)計(jì)法）的過(guò)程窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（時(shí)窗設(shè)計(jì)法）的過(guò)程如下：如下： 2. 取窗函數(shù)，去掉取窗函數(shù)，去掉 0 n部分，得到物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)部分，得到物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng) 3. 其其Z變換對(duì)應(yīng)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)變換對(duì)應(yīng)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù) ， )(zH其幅頻特性其幅頻特性將近似于原理想濾波器將近似于原理想濾波器1. 給定理想的數(shù)字濾波器給定理想的數(shù)字濾波器 )( jdeH，求得其對(duì)應(yīng)時(shí)域單位，求得其對(duì)應(yīng)時(shí)域單位采樣響應(yīng)為采樣響應(yīng)為)(nhd。)(nhd是物理

16、不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)是物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)0 n時(shí)時(shí) 0)( nhd）（因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)?5設(shè)計(jì)流程：設(shè)計(jì)流程：)( jdeHIDTFT)(nhd選擇窗選擇窗)()()(nwnhnhd DTFT)( jeH檢驗(yàn)檢驗(yàn)窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單實(shí)用（特別是窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單實(shí)用（特別是Hamming窗、窗、Hanning窗）；缺點(diǎn)是截止頻率不易準(zhǔn)確控制，有時(shí)需多次尋優(yōu)計(jì)算逼近。窗）；缺點(diǎn)是截止頻率不易準(zhǔn)確控制，有時(shí)需多次尋優(yōu)計(jì)算逼近。 36 從這一過(guò)程可看到取的是時(shí)窗，而這一過(guò)程稱(chēng)從這一過(guò)程可看到取的是時(shí)窗，而這一過(guò)程稱(chēng)FIR濾波器的窗濾波器的窗函數(shù)法。由于這一方法涉及時(shí)域到函數(shù)法。由于這一方法涉及時(shí)域到Z域的

17、變換，可用域的變換，可用FFT快速計(jì)算，快速計(jì)算，故又稱(chēng)傅立葉級(jí)數(shù)法。故又稱(chēng)傅立葉級(jí)數(shù)法。 全過(guò)程的數(shù)學(xué)描述如下：全過(guò)程的數(shù)學(xué)描述如下： 對(duì)已知濾波器對(duì)已知濾波器 )( jdeH，其時(shí)域采樣響應(yīng)，其時(shí)域采樣響應(yīng) )(nhd用用 1 F表示為：表示為： deeHnhnjjdd)(21)(例：對(duì)理想低通例：對(duì)理想低通 )()(sin21)( nndeenhcccnjjdcc37進(jìn)一步設(shè)窗函數(shù)為進(jìn)一步設(shè)窗函數(shù)為 )(nw，得物理可實(shí)現(xiàn)，得物理可實(shí)現(xiàn) )(nh為為 )()()(nhnwnhd 其中其中2/ )1( N 設(shè)選矩形時(shí)窗，窗寬設(shè)選矩形時(shí)窗，窗寬 N，即，即 其它其它0101)(Nnnw此時(shí)此

18、時(shí) 其它其它0102121sin)(NnNnNnnhccc圖圖7.2.1 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗39如上得到時(shí)域結(jié)果。如果要求如上得到時(shí)域結(jié)果。如果要求Z域結(jié)果，一種簡(jiǎn)單方法是求出域結(jié)果，一種簡(jiǎn)單方法是求出 ) 1(,),1 (),0(Nhhh后，后，)1(321)1()3()2()1()0()( NzNhzhzhzhhzH就是有限長(zhǎng)就是有限長(zhǎng)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 這種方法求出的這種方法求出的 )(zH和和 )(zHd差距有多大，如何減少差距差距有多大，如何減少差距是下面要進(jìn)一步分析的內(nèi)容。是下面要進(jìn)一步分析的內(nèi)容。傅立葉變換具有一個(gè)

19、重要的性質(zhì)：傅立葉變換具有一個(gè)重要的性質(zhì)： 時(shí)域的卷積對(duì)應(yīng)頻域的乘積時(shí)域的卷積對(duì)應(yīng)頻域的乘積 時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)頻域的卷積時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)頻域的卷積 40由于由于 )(nh是是 )(nw與與 )(nhd之積構(gòu)成，故之積構(gòu)成，故 )( jeH是是 )( jdeH與與 )( jeW的卷積，的卷積， )( jdeH是理想矩形，而是理想矩形，而 )(nw是矩形時(shí)，是矩形時(shí)， )2sin()2sin()()21(10NNeeeWNjNnnjjR deWeHeHjRjdj)()(21)()(是卷積關(guān)系，從圖形上看一下這一卷積的效果。是卷積關(guān)系，從圖形上看一下這一卷積的效果。 圖圖7-7、7-8 圖圖7-8 矩形

20、窗的卷積過(guò)程矩形窗的卷積過(guò)程42如果窗函數(shù)的頻譜是一個(gè)如果窗函數(shù)的頻譜是一個(gè) )( ，則卷積能保持原，則卷積能保持原 )( dH的理想形式，的理想形式， 但但 )( 要求時(shí)域窗是常數(shù)，無(wú)限長(zhǎng)，無(wú)法物理要求時(shí)域窗是常數(shù)，無(wú)限長(zhǎng)，無(wú)法物理實(shí)現(xiàn)，故選窗函數(shù)的主要構(gòu)想是選具有主瓣窄高，旁瓣小的頻實(shí)現(xiàn)，故選窗函數(shù)的主要構(gòu)想是選具有主瓣窄高，旁瓣小的頻域特性的時(shí)窗。（但兩者是矛盾的）域特性的時(shí)窗。（但兩者是矛盾的）主瓣窄，則過(guò)渡帶窄；旁瓣小，則衰減大；實(shí)際應(yīng)用中是用主瓣窄，則過(guò)渡帶窄；旁瓣小，則衰減大；實(shí)際應(yīng)用中是用主瓣寬度換取較大衰減。主瓣寬度換取較大衰減。下面介紹幾種時(shí)窗：下面介紹幾種時(shí)窗： 首先介紹

21、描述窗函數(shù)頻譜中幾個(gè)參數(shù)。首先介紹描述窗函數(shù)頻譜中幾個(gè)參數(shù)。 43對(duì)對(duì) )( jeW進(jìn)行歸一化：進(jìn)行歸一化： dBeWeWeWjjj)()(lg20)(0 1）3dB帶寬帶寬B 是主瓣下降是主瓣下降-3dB時(shí)的帶寬，時(shí)的帶寬，N 2 以以 為單位為單位1。 2）主瓣寬度（過(guò)零點(diǎn)帶寬）主瓣寬度（過(guò)零點(diǎn)帶寬 ），帶寬越小越好，減少過(guò)渡帶寬度，更陡帶寬越小越好，減少過(guò)渡帶寬度，更陡 3）旁瓣峰值（最大旁瓣峰值旁瓣峰值（最大旁瓣峰值 A(db)），越小越好，減少波動(dòng)（阻帶最小衰減），越小越好，減少波動(dòng)（阻帶最小衰減） )/(octdBD4）是旁瓣峰值衰減速度。是旁瓣峰值衰減速度。 0B44（1）矩形窗

22、）矩形窗 otherNnnRnwN0101)()( 2sin2sin)(21NeeWNjjR主瓣寬度為主瓣寬度為 ， 旁瓣較大旁瓣較大4N45（2）三角窗（）三角窗（Bartlett窗）窗） 12112221012)(NnNNnNnNnnw 2122sin41sin12)(NjjeNNeW主瓣寬度為主瓣寬度為 ， 旁瓣較小旁瓣較小8N46（3）漢寧（）漢寧（Hanning）窗：升余弦窗窗：升余弦窗 )(12cos121)(nRNnnwN 21)()(NjjeWeW )2()2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR 8N主瓣寬度為主瓣寬度為 ， 旁瓣電平變小旁瓣電平變小4N47（4）海

23、明（）海明（Hamming）窗：改進(jìn)升余弦窗窗：改進(jìn)升余弦窗 )(12cos46.054.0)(nRNnnwN )2(23. 0)2(23. 0)(54. 0)(NWNWWWRRR 8N主瓣寬度為主瓣寬度為 ， 旁瓣幅度更小旁瓣幅度更小48（5）布萊克曼（）布萊克曼（Blackman）窗：二階升余弦窗窗：二階升余弦窗 )(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(nRNnNnnwN 其中其中 14cosNn 為二階諧波分量為二階諧波分量 )14(04. 0)14(04. 0)12(25. 0)12(25. 0)(42. 0)( NWNWNWNWWWRRRRR12N主瓣寬度為主瓣寬度

24、為 為最大，為最大， 旁瓣電平最小旁瓣電平最小49（6）凱澤（）凱澤（Kaiser）窗窗 由貝塞爾函數(shù)構(gòu)成，可以通過(guò)參數(shù)由貝塞爾函數(shù)構(gòu)成，可以通過(guò)參數(shù) 調(diào)整，適應(yīng)性強(qiáng)。調(diào)整，適應(yīng)性強(qiáng)。另有幾十種，例如另有幾十種，例如Chebyshev窗，窗，Gaussian（高斯）窗。高斯）窗。 50常用的六種窗函數(shù)常用的六種窗函數(shù)(N=25)51六種窗函數(shù)的窗譜六種窗函數(shù)的窗譜(N=25)52重點(diǎn)看重點(diǎn)看P342P342，表，表7 7-3 3)( jdeH)(nhd)()()(nhnwnhd )( jeH2,( )w n2AN當(dāng)當(dāng) 不是很復(fù)雜時(shí)，可以直接計(jì)算積分，不是很復(fù)雜時(shí)，可以直接計(jì)算積分，否則必修用求

25、和代替積分，以便在計(jì)算機(jī)上否則必修用求和代替積分，以便在計(jì)算機(jī)上計(jì)算，也就是，要計(jì)算離散傅里葉反變換，計(jì)算，也就是，要計(jì)算離散傅里葉反變換，一般都采用一般都采用FFT來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算)( jdeH57%方法二方法二wc=0.3*pi;a=(N-1)/2;for n=1:N; m=n-1; if m=a hd(n)=wc/pi; else hd(n)=sin(wc*(m-a)/(pi*(m-a); endend%方法一方法一wc=0.3*pi;a=(N-1)/2;n=0:N-1;m=n-a+eps; %通過(guò)加任意小值 eps避免%了n=a時(shí)零比零的出現(xiàn)。hd=sin(wc*m)./(pi*m);58

26、h(n)=hd(n)*w(n)hd(n)w(n)020-0.1-0.0500.00.25Ideal Impulse Reponsehd(n)02000.811.2Hamming Windoww(n)020-0.1-0.0500.00.250.3h(n)Actual Impulse Response5900.20.41-500DecibelsMagnitude Response in dB00.51-3-2-10123phasePhase Response60用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)不同類(lèi)型用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)不同類(lèi)型HP、BP、BS的方法的

27、方法 對(duì)低通單位抽樣響應(yīng)：對(duì)低通單位抽樣響應(yīng)： nnnndeenhccnjjdcc , ,)()(sin21)(21 N矩形時(shí)窗則取矩形時(shí)窗則取 1, 2 , 1 , 0)()( Nnnhnhd61對(duì)高通、帶通、帶阻，只需改變（對(duì)高通、帶通、帶阻，只需改變（1）式的上下限即可）式的上下限即可 。1）高通：）高通： ccjjdeeH00)(則則 nnnnndedenhccnjnjdcc ,1 ,sinsin2121)()()(高通濾波器全通濾波器低通濾波器高通濾波器全通濾波器低通濾波器622）帶通：）帶通： othereeHhljjd0)( nnnnndedenhlhlhnjnjdhllh ),

28、(1 ,sinsin2121)()()(帶通濾波器（帶通濾波器（1,21,2）低通濾波器（）低通濾波器（22）低通濾波器（）低通濾波器（11）633）帶阻：）帶阻： othereeHhljjd0,0)( hllhdededenhnjnjnjd)()()(21)( nnnnnnhlhl ),(1 ,sinsinsin帶阻濾波器（帶阻濾波器（1,21,2）低通濾波器（）低通濾波器（11）高通濾波器（）高通濾波器（22）64可以觀察到：高通全通低通可以觀察到：高通全通低通 帶通低通帶通低通1低通低通2 帶阻低通高通帶阻低通高通全通全通帶通帶通窗函數(shù)法還可用于設(shè)計(jì)其它形式的濾波器窗函數(shù)法還可用于設(shè)計(jì)其

29、它形式的濾波器 例：用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)例：用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè) 90移相器，其理想頻率響應(yīng)為：移相器，其理想頻率響應(yīng)為： 00)(jjeHjd，稱(chēng)為希爾伯特（，稱(chēng)為希爾伯特（Hilbert）變換器變換器 65 deeHnhnjjdd)(21)( 002121djedjenjnj 為為奇奇數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù)nnnnn 20)1(1取取 15 N)(nhd奇對(duì)稱(chēng)，奇對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)，為奇數(shù)， )( H奇對(duì)稱(chēng)奇對(duì)稱(chēng) )()21()(nwNnhnhd 66如如 )(nw是矩形窗，則有：是矩形窗，則有： 0)13()3()1( hhhn為奇數(shù)為奇數(shù) 72)14()0( hh 52)12()2( hh 32)1

30、0()4( hh 2)8()6( hh得到得到 )(nh，如需要可寫(xiě)成，如需要可寫(xiě)成 )(zH形式。形式。 為偶數(shù)為偶數(shù)21 Nn67窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是令時(shí)域窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是令時(shí)域 )(nh與理想與理想 )(nhd相近，相近，設(shè)計(jì)濾波器。設(shè)計(jì)濾波器。 而頻率抽樣法是令頻域而頻率抽樣法是令頻域 )()(kHkHd 來(lái)設(shè)計(jì)濾波器。來(lái)設(shè)計(jì)濾波器。 即：即： 令令kNjddeHkHkH 2)()()( 1, 1 , 0 Nk得到得到 )(kH后利用后利用3.7節(jié)的插值公式（節(jié)的插值公式（3-90），則有），則有 1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH 10)2()()(NkjkNkHeH 其中其中 2

31、1)2sin()2sin(1)(NjeNN 68一、線性相位的約束一、線性相位的約束 如果用頻率抽樣法設(shè)計(jì)，又附加線性相位濾波要求，則對(duì)應(yīng)濾波器如果用頻率抽樣法設(shè)計(jì)，又附加線性相位濾波要求，則對(duì)應(yīng)濾波器的對(duì)稱(chēng)性有一定的要求，具體討論如下：的對(duì)稱(chēng)性有一定的要求，具體討論如下： 1. 對(duì)對(duì) )(nh是偶對(duì)稱(chēng)，且是偶對(duì)稱(chēng)，且 N為奇數(shù)時(shí)：為奇數(shù)時(shí)： 由表由表7-1第一欄：第一欄： 21)()(NjjeHeH69其中 )2()( HH是偶對(duì)稱(chēng) 相位特性函數(shù)： 21)(N線性的 對(duì) 抽樣，則 )11(Nkk kNkHH ，2. 對(duì) )(nh是偶對(duì)稱(chēng)，且 N為偶數(shù)時(shí)： 由表7-1第二欄： )2()( HH

32、奇對(duì)稱(chēng) 3. 對(duì) )(nh是奇對(duì)稱(chēng)，且 N為奇數(shù)時(shí)： 由表7-1第三欄： )2()( HH奇對(duì)稱(chēng) kNkHH 或)11(2Nkk kNkHH 或)11(Nkk 704. 對(duì)對(duì) )(nh是奇對(duì)稱(chēng)，且是奇對(duì)稱(chēng)，且 N為偶數(shù)時(shí)：為偶數(shù)時(shí)： 由表由表7-1第四欄：第四欄： )2()( HH奇對(duì)稱(chēng)奇對(duì)稱(chēng) kNkHH 或或)11(2Nkk 二、二、 頻率抽樣的兩種方法（兩種起點(diǎn)）頻率抽樣的兩種方法（兩種起點(diǎn)） I型型 kNjdeHkH 2)()( 已討論過(guò)已討論過(guò) II型情況下：型情況下： )21(22 kNkNN 圖圖7-17兩種頻率抽樣兩種頻率抽樣72代入代入 )( jdeH 10)21(2)21(2

33、)()()()(NnnkNjkNjddenheHkHkH 101)21(21)(1)(NkkNjNzekHNzzH這時(shí)這時(shí)（7-100） 10)21()21()21(2sin)()2cos()(NkkNjNjjkNjekHeNNeH（7-101）73三、用 )(kH的模 )(kH表示線性相位濾波器 上面I型、II型表達(dá)式是已知 )(kH時(shí)求對(duì)應(yīng)線性相位的濾波器 )( jeH，有時(shí)為設(shè)計(jì)方便，往往已知 )(kH而相位要求線性相位，來(lái)設(shè)計(jì))( jeH，此時(shí) )(kH可表示成模及幅角形式： )()()(kjekHkH 1, 1 , 0 Nk，三、線性相位第一種頻率抽樣三、線性相位第一種頻率抽樣由于由

34、于210( )( )NjnkNnH kh n e*( )()( )()NNH kHNkRkHNk當(dāng)當(dāng)h(n)為實(shí)數(shù)時(shí)，滿(mǎn)足為實(shí)數(shù)時(shí)，滿(mǎn)足( )()( )()H kH NkkNk 由此得出由此得出即即H(k)的模以的模以k=N/2為對(duì)稱(chēng)中心呈偶對(duì)稱(chēng)，為對(duì)稱(chēng)中心呈偶對(duì)稱(chēng)，H(k)的相角的相角 (k)以以k=N/2為對(duì)稱(chēng)中心呈奇對(duì)稱(chēng)。為對(duì)稱(chēng)中心呈奇對(duì)稱(chēng)。利用線性相位的條件即可得到：利用線性相位的條件即可得到：當(dāng)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有為奇數(shù)時(shí)，有211,0,22( )211(),122NNkkNkNNNkkNN當(dāng)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，有為偶數(shù)時(shí)，有21,0,12221( )(),1,1220,2NNkkNNNkNk

35、kNNNk由此可知，當(dāng)由此可知，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有為奇數(shù)時(shí)，有21221()21( ),0,1,2( )1(),12NjkNNjN kNNH k ekH kNH Nk ekN同樣，當(dāng)同樣，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，有為偶數(shù)時(shí)，有21221()2( )0,1,12( )02(),1,12NjkNNjN kNNH k ekNH kkNH Nk ekN把上式帶入式把上式帶入式7-90b，可以得到，可以得到11221sinsin(0) sin( )222()sinsinsin222NNjjkkkNNNHH kNNH eekkNNNNNN對(duì)線性相位第一種頻率抽樣，當(dāng)對(duì)線性相位第一種頻率抽樣，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)112

36、21sinsin(0) sin( )222()sinsinsin222NNjjkkkNNNHH kNNH eekkNNNNNN當(dāng)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)對(duì)于線性相位第二種頻率抽樣，分析相同，自己看書(shū)對(duì)于線性相位第二種頻率抽樣，分析相同，自己看書(shū)78四、過(guò)渡帶抽樣的優(yōu)化設(shè)計(jì) 為了減輕偏離理想濾波器的起伏振蕩，可放寬“理想程度”，加寬過(guò)渡帶，增加過(guò)渡抽樣點(diǎn)數(shù)，從而使整體性能更好。 增加過(guò)渡帶抽樣點(diǎn)，可加大阻帶衰減加一點(diǎn)：加一點(diǎn)：不加過(guò)渡抽樣點(diǎn)：不加過(guò)渡抽樣點(diǎn)：220dB 240 54dB 加兩點(diǎn)：加兩點(diǎn)：加三點(diǎn)：加三點(diǎn)：260 75dB 280 95dB u增加過(guò)渡帶抽樣點(diǎn)，可加大阻帶衰減，但導(dǎo)致過(guò)增

37、加過(guò)渡帶抽樣點(diǎn)，可加大阻帶衰減，但導(dǎo)致過(guò)渡帶變寬渡帶變寬u增加增加N，使抽樣點(diǎn)變密，減小過(guò)渡帶寬度，但增，使抽樣點(diǎn)變密，減小過(guò)渡帶寬度，但增加了計(jì)算量加了計(jì)算量u優(yōu)點(diǎn)：頻域直接設(shè)計(jì)優(yōu)點(diǎn)：頻域直接設(shè)計(jì)u缺點(diǎn)：抽樣頻率只能是缺點(diǎn)：抽樣頻率只能是2 /N或或 /N的整數(shù)倍，截的整數(shù)倍，截止頻率止頻率 c不能任意取值不能任意取值例：利用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)頻率特性為矩形例：利用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)頻率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為的理想低通濾波器，截止頻率為0.5 ，抽樣點(diǎn)，抽樣點(diǎn)數(shù)為數(shù)為N=33，要求濾波器具有線性相位。，要求濾波器具有線性相位。解：理想低通頻率特性解：理想低通頻率特性10()0

38、cjwdHe其它按第一種頻率抽樣方式，按第一種頻率抽樣方式，N=33，得抽樣點(diǎn)，得抽樣點(diǎn)則：則：110Int24( )10Int122ccNNkH kNNk 將這些值帶入（將這些值帶入（7-111）式，可得）式，可得816133sin 33sin 33sin2332332()33sin33sin33sin2233233jjkkkH eekk為了改善頻率特性，以滿(mǎn)足指標(biāo)要求，可在通帶和阻帶交界為了改善頻率特性，以滿(mǎn)足指標(biāo)要求，可在通帶和阻帶交界處安排一個(gè)或幾個(gè)不等于零也不等于處安排一個(gè)或幾個(gè)不等于零也不等于1的抽樣值，在本例中的抽樣值，在本例中，在，在k=9處增加一個(gè)抽樣值處增加一個(gè)抽樣值如果要

39、進(jìn)一如果要進(jìn)一步增加阻帶步增加阻帶衰減，可再衰減，可再添加第二個(gè)添加第二個(gè)不等于不等于1也也不等于零的不等于零的抽樣，這樣抽樣，這樣過(guò)渡帶又加過(guò)渡帶又加寬了。寬了。8550dB,4 . 0,2 . 0ssp 861022 . 01 N8788抽樣點(diǎn)數(shù)抽樣點(diǎn)數(shù)N=10，過(guò)渡帶上無(wú)抽樣點(diǎn)。，過(guò)渡帶上無(wú)抽樣點(diǎn)。00.20.4100.351Ideal Amplitude ResponseHr(k)0510-0.3Impulse Responseh(n)00.20.4100.351Amplitude Responsefrequency in pi unitsHr(w)00.20.41

40、-500DecibelsMagnitude Responsefrequency in pi units892022 . 02 N9091抽樣點(diǎn)數(shù)抽樣點(diǎn)數(shù)N=20，過(guò)渡帶上一個(gè)抽樣點(diǎn)。，過(guò)渡帶上一個(gè)抽樣點(diǎn)。00.20.4100.351Ideal Amplitude ResponseHr(k)05101520-0.3Impulse Responseh(n)00.20.4100.351Amplitude Responsefrequency in pi unitsHr(w)00.20.41-500DecibelsMagnitude Responsefrequency in pi units923022 . 03 N9394抽樣點(diǎn)數(shù)抽樣點(diǎn)數(shù)N=30，過(guò)渡帶上兩個(gè)抽樣點(diǎn)。，過(guò)渡帶上兩個(gè)抽樣點(diǎn)。00.20.4100.11550.61951Ideal Amplitude ResponseHr(k)0102030-0.3Impulse Responseh(n)00.2