江蘇省姜堰、溧陽、前黃中學(xué)2018屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2018屆高三姜堰中學(xué)、溧陽中學(xué)、前黃中學(xué)聯(lián)考數(shù) 學(xué) 2018.04.13一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.1.若，為實數(shù)，則_.2.某地區(qū)對某路段公路上行駛的汽車速度實施監(jiān)控,從中抽取輛汽車進(jìn)行測速分析,得到如圖所示的時速的頻率分布直方圖，根據(jù)該圖,時速在以下的汽車有_.3.已知命題，則成立是成立的_.（選“充分必要”，“充分不必要”，“既不充分也不必要”填空）.4.從甲、乙、丙、丁4個人中隨機選取兩人，則甲、乙兩人中有且只有一個被選取的概率是_.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為_.6.設(shè)滿足，則的最大值是_.7.若是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時，則

2、_.8.正方形鐵片的邊長為，以它的一個頂點為圓心，一邊長為半徑畫弧剪下一個頂角為的扇形，用這塊扇形鐵片圍成一個圓錐形容器，則這個圓錐形容器的容積為_.9.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則_.10.平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點,若的垂心為的焦點，則的離心率為_.11.已知點，若圓上恰有兩點，使得和的面積均為，則的取值范圍是_.12.設(shè)分別為線段的中點,且,記為與的夾角,則的最小值為_.13.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù)使成立，則實數(shù)的值為_.14.若方程有四個不同的實數(shù)根，且，則的取值范圍是_.二、解答題：本大題共6小題，共90分.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，且

3、.（1） 求的值；（2） 若，為的面積，求的取值范圍.16.如圖，在正三棱柱中，點在棱上，,點分別是的中點.（1） 求證：為的中點；（2） 求證:平面.17.科學(xué)研究證實,二氧化碳等溫空氣體的排放(簡稱碳排放)對全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響，環(huán)境部門對市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過萬噸,否則將采取緊急限排措施.已知市年的碳排放總量為萬噸，通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放總量減少.同時,因經(jīng)濟發(fā)展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量萬噸.（1） 求市年的碳排放總量(用含的式子表示）；（2） 若市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施,求的取值范圍.18.已知橢圓的左

4、頂點，右焦點分別為，右準(zhǔn)線為.（1） 若直線上不存在點，使為等腰三角形,求橢圓離心率的取值范圍；（2） 在(1)的條件下，當(dāng)取最大值時，點坐標(biāo)為，設(shè)是橢圓上的三點，且,求:以線段的中點為圓心,過兩點的圓的方程.19.設(shè)函數(shù)，其中.（1） 若，求過點且與曲線相切的直線方程；（2） 若函數(shù)有兩個零點.求的取值范圍；求證：.20.設(shè)，正項數(shù)列的前項的積為，且，當(dāng)時，都成立.（1） 若，求數(shù)列的前項和；（2） 若，求數(shù)列的通項公式.附加題21A.選修4-1：幾何證明選講如圖，圓是的外接圓，過點的切線交的延長線于點，OABCD，求以及的長21B.選修4-2：矩陣與變換(本題滿分10分)已知矩陣,的一個特

5、征值，其對應(yīng)的特征向量是.（1）求矩陣； （2）設(shè)直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到了直線，求直線的方程21C.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿分10分)圓：()，與極軸交于點(異于極點)，求直線的極坐標(biāo)方程.21D.選修4-5：不等式選講(本題滿分10分)證明： (2，).22.（本小題滿分10分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)其中是虛數(shù)單位稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數(shù)后并放回”為一次試驗（設(shè)每次試驗的結(jié)果互不影響） （1）求事件 “在一次試驗中，得到的數(shù)為虛數(shù)”的概率與事件 “在四次試驗中，至少有兩次得到虛數(shù)” 的概率；（2）在兩次試驗中，記兩次得到的數(shù)分別

6、為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望23(本小題滿分10分) 已知數(shù)列滿足 （1）求，的值； （2）猜想數(shù)列的通項公式，并證明聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1若，為實數(shù)，則 2某地區(qū)對某路段公路上行駛的汽車速度實施監(jiān)控，從中抽取40輛汽車進(jìn)行測速分析，得到如圖所示的時速的頻率分布直方圖，根據(jù)該圖，時速在70 km/h以下的汽車有 輛 163已知命題，命題，則成立是成立的 條件（選“充分必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”填空） 充分不必要4從甲、乙、丙、丁4個人中隨機選取兩人，則甲、乙兩人

7、中有且只有一個被選取的概率為 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為 6設(shè)滿足約束條件,則的最大值是 7已知是周期為2的奇函數(shù)且當(dāng)時,則 8正方形鐵片的邊長為，以它的一個頂點為圓心，一邊長為半徑畫弧剪下一個頂角為的扇形，用這塊扇形鐵片圍成一個圓錐形容器，則這個圓錐形容器的容積為 9已知函數(shù)的圖象如圖所示，則 10平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點，若的垂心為的焦點，則的離心率為 11已知點，若圓上恰有兩點，使得和的面積均為，則的取值范圍是 12設(shè)D，E分別為線段AB，AC的中點，且·0，記為與的夾角， 的最小值為 13已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)使成立，則實數(shù)

8、的值為 14. 若方程有四個不同的實數(shù)根，且，則的取值范圍是 . 二、解答題：本大題共6小題，共90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答. 解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，且 .（1）求邊的值；（2）若，為的面積，求的取值范圍解：（1）由正弦定理 ，余弦定理 可等價變形為 化簡得 3分 或6分若求范圍：（2）由正弦定理得 10分在中，由 得 ，14分若求定值：由得故 解得 故 由正弦定理得 解得14分16（本小題滿分14分）AA1BCB1C1DEF如圖，在正三棱柱中，點在棱上，點， 分別是，的中點（1）求證：為的中點；（2）求證：平面 解：（

9、1） 正三棱柱，平面，又平面，又，平面，3分又正三棱柱，AA1BCB1C1DEFG平面平面，為的中點6分（2） 連接，連接交于點，連接 矩形，為的中點， 又由(1)得為的中點， 中，9分 又點，分別是，的中點， 中，12分又平面，平面平面14分 17（本小題滿分14分）科學(xué)研究證實，二氧化碳等溫室氣體的排放（簡稱碳排放）對全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響.環(huán)境部門對A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550萬噸，否則將采取緊急限排措施.已知A市2017年的碳排放總量為400萬噸，通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放總量減少10%同時，因經(jīng)濟發(fā)展和人口增加等因素，每年

10、又新增加碳排放量m萬噸（m>0）.（）求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示)；（）若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍.解：設(shè)2018年的碳排放總量為，2019年的碳排放總量為，（）由已知，,=. （4分）（）,.（8分）由已知有（1）當(dāng)即時,顯然滿足題意；（9分）（2）當(dāng)即時，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得:，解得.綜合得；（11分）（3）當(dāng)即時，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得:，解得,綜合得.（13分）綜上可得所求范圍是.（14分） 18（本小題滿分16分）已知橢圓的左頂點，右焦點分別為，右準(zhǔn)線為（1）若直線上不存在點Q，使為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍;（2）在（1）的條件

11、下，當(dāng)取最大值時，點坐標(biāo)為，設(shè)、是橢圓上的三點，且，求：以線段的中點為圓心，過兩點的圓方程解： （1）設(shè)直線與軸的交點是，依題意，即,4分（2）當(dāng)且時， ，故， 5分所以，橢圓方程是： 6分設(shè) ，則 ， 由，得 因為是橢圓C上一點，所以 8分 即 10分 因為圓過兩點， 所以線段的中點的坐標(biāo)為 11分又 12分由和得 所以圓心坐標(biāo)為14分 （少一解扣一分）故所求圓方程為 16分 19（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)，其中 （1）若，求過點且與曲線相切的直線方程；（2）若函數(shù)有兩個零點， 求的取值范圍； 求證：解（1）當(dāng)a0時，f(x)1lnx，f (x)設(shè)切點為T(x0，1lnx0)，則切線方程為：

12、y1lnx0( xx0) 2分因為切線過點(0，1)，所以 11ln x0 (0x0)，解得x0e 所以所求切線方程為yx1 4分（2） f (x)ax，x0 (i) 若a0，則f (x)0，所以函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在(0，)上至多有1個零點，不合題意 5分 (ii)若a0，由f (x)0，解得x當(dāng)0x時， f (x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時， f (x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)minf()ln1ln要使函數(shù)f(x)有兩個零點，首先 ln0，解得0ae 7分當(dāng)0ae時，因為f()0，故f()·f()0又函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，

13、且其圖像在(0，)上不間斷，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)恰有1個零點 9分考察函數(shù)g(x)x1lnx，則g(x)1當(dāng)x(0，1)時，g(x)0，函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時，g(x)0，函數(shù)g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)g(1)0，故f()1ln0因為0，故因為f()·f()0，且f(x)在(，)上單調(diào)遞增，其圖像在(，)上不間斷，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(， 上恰有1個零點，即在(，)上恰有1個零點綜上所述，a的取值范圍是(0，e) 11分 由x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點(不妨設(shè)x1x2)，得 兩式相減，得 a(x12x22)ln0，即a(

14、x1x2) (x1x2)ln0，所以a(x1x2) 13分f (x1)f (x2)0等價于ax1ax20，即a(x1x2)0，即0，即2ln0設(shè)h(x)2lnxx，x(0，1)則h(x)10，所以函數(shù)h(x)在(0，1)單調(diào)遞減，所以h(x)h(1)0因為(0，1)，所以2ln0，即f (x1)f (x2)0成立 16分20(本小題滿分16分)設(shè)，正項數(shù)列的前項積為，且，當(dāng)時，都成立(1)若，求數(shù)列的前項和；(2)若，求數(shù)列的通項公式解：(1)當(dāng)n2時，因為M1，所以TnT1，可得an1ana1，故a13(n2)又a1，a23，則an是公比為3的等比數(shù)列，2分故an的前n項和為·34

15、分(2)當(dāng)nk時，因為TnTk，所以Tn1Tk，所以，即an1，6分因為M3，4，所以取k3，當(dāng)n3時，有an4an2an1；取k4，當(dāng)n4時，有an5an3an18分由an5an3an1知，數(shù)列a2，a6，a10，a14，a18，a22，a4n2，是等比數(shù)列，設(shè)公比為q由an4an2an1 知，數(shù)列a2，a5，a8，a11，a14，a17，a3n1，是等比數(shù)列，設(shè)公比為q1，數(shù)列a3，a6，a9，a12，a15，a18，a3n，成等比數(shù)列，設(shè)公比為q2，數(shù)列a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，a3n1，成等比數(shù)列，設(shè)公比為q3， 由得，q，且q1，所以q1q；由得，q，且q2

16、，所以q2q；由得，q，且q3，所以q3q；所以q1q2q3q12分由得，a6a2q，a6a3q2，所以q，由得，a10a2q，a10a4q3，所以q，所以a2，a3，a4是公比為q的等比數(shù)列，所以an(n2)是公比為q的等比數(shù)列因為當(dāng)n4，k3時，T7T1T4T3；當(dāng)n5，k4時，T9T1T5T4，所以(q)2a2，且(q)2a2，所以q2，a2214分又a1，所以an(nN*)是公比為q的等比數(shù)列故數(shù)列an的通項公式是an2·16分21A.選修4-1：幾何證明選講如圖，圓是的外接圓，過點的切線交的延長線于點，OABCD，求以及的長解：由切割線定理得:， 2分 ， ， 6分 ， ，

17、 8分 ，得 10分21B.選修4-2：矩陣與變換(本題滿分10分)已知矩陣,的一個特征值，其對應(yīng)的特征向量是.（1）求矩陣； （2）設(shè)直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到了直線，求直線的方程解：（1）， 解得 故 4分（2）設(shè)直線上的任意一點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點則 , 直線的方程為10分21C.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿分10分)圓：()，與極軸交于點(異于極點)，求直線的極坐標(biāo)方程.解：圓： 所以 4分 所以圓心，與極軸交于 6分 直線的直角坐標(biāo)方程為 8分 即直線的極坐標(biāo)方程為 10分21D.選修4-5：不等式選講(本題滿分10分)證明： (2，).證明： 5分 10分22.（本小題滿分10分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)其中是虛數(shù)單位稱“從盒中隨機抽取一張，記