第二章-72.9小節(jié)線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解

1、復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：2.8卷積及其性質(zhì)卷積及其性質(zhì)一、卷積的計算過程卷積的計算過程1212( )( )( )( )()g tf tf tff td卷積分成三個步驟步驟：1、將f1(t)和f2(t)兩個函數(shù)的變量由t換成 ；2、將f2()反摺并移動；3、將兩個函數(shù)相乘并求積分。畫圖法畫圖法1.確定平移量t的取值情況 2.根據(jù)不同的t確定的取值范圍，即積分的上下限二、卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì)復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：2.8卷積及其性質(zhì)卷積及其性質(zhì)1、交換律、分配律和結(jié)合律2、卷積后的微分3、卷積后的積分 4、兩函數(shù)的卷積等于其中一個函數(shù)的微分和另一個函數(shù)的積分5、函數(shù)延遲后的卷積6、相關(guān)卷積2.9線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解線性

2、系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解)()()(trtrtrzszi零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)全響應(yīng)時域分析小結(jié)時域分析小結(jié)由轉(zhuǎn)移算子H(p)求出h(t)求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程 D(p)r(t)=0 ，根據(jù)特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式tnttnneCeCeCtrn212121)(,1個異實根、特征根為)sincos()(,22121tCtCetrjjt根、特征根為一對共軛復(fù)tkketCtCtCCtrk)()(312321階重根、特征根為系數(shù)c1、c2、.由初始條件確定復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)： 2.3系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)： 2.3系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 1110()()()

3、m nm nm nm nh tCpCpC pCHtpt 當(dāng)H(p)為時利用，把H(p)化為一個多項式和一個真分式之和復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)： 2.6階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)利用H(p)求解h(t)當(dāng)H(p)為時利用1212( )( ) ( )() ( )ininh tH ptKKKKtpppp( )( ) ( )( )h tH pth t由微分方程求解根據(jù)根據(jù)H(p)極極點情況分為點情況分為3類寫出類寫出h(t)的的表達式表達式2、H(p)有兩個互為共軛的極點1，2=j( )(co2ss n( )2i)RtIhtKtetKt 其中 KR、 KI為極點+j對應(yīng)的部分分式系數(shù)的實部和虛部。3、H(p

4、)有k階極點)()!2()!1()(12211teCtCtkCtkCthtkkkk其中C1,C2,Ck為部分分式系數(shù)12( )()tzir tecos tin tCC s其中 Ki i=1,2,n 為部分分式系數(shù)1、H(p)有n個單極點1, 2 n1( )( )intiiKh tet2.9線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解一、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)激勵下的系統(tǒng)響應(yīng) 二、矩形脈沖矩形脈沖信號激勵下RC電路的響應(yīng) 三、梯形信號三、梯形信號作用于系統(tǒng)一、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)激勵下的系統(tǒng)響應(yīng) ( )( )( )zizsr tr trt)(t過程中省去為書寫方便以下的推導(dǎo)0js當(dāng)時j=1,2,n01()

5、01jjnntjjtjstjeedC eK 00011()jjnnts tjtjjjseC eK ed0110jjtjnntjjjs tjKeesC e11( )( )( )jjnnjjttjjCteeKtte)()(0tetets)(tr0is當(dāng)時第一部分為零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)，第二部分則為零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。)()(0101ttsnjjjnjtjjjeesKeCtr00110( )()jjnnttjs tjjjsjj itiK teKr tC eees0js當(dāng)時j=1,2,n)()(0101ttsnjjjnjtjjjeesKeCtr0js當(dāng)時j=1,2,n01100()jnnjjtsjj

6、jtjjKKCssee 第一部分稱自然響應(yīng)自然響應(yīng)或自由響應(yīng)自由響應(yīng)；第二部就稱為受迫響應(yīng)受迫響應(yīng)。 對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)或最終趨于零或最終趨于一個常數(shù)。 系統(tǒng)的響應(yīng)中最終趨于零的部分稱瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)；最終趨于一個常數(shù)的部分稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。結(jié)論：2、指數(shù)函數(shù)激勵通過線性非時變系統(tǒng)后仍保持原指數(shù)函數(shù)的形式。3、指數(shù)函數(shù)也是一種典型的基本信號，今后還會看到一般的信號也可以分解為指數(shù)信號。1、系統(tǒng)的全響應(yīng)可分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)；自然響應(yīng)（只含系統(tǒng)自然頻率）和受迫響應(yīng)（只含激勵頻率）；瞬態(tài)響應(yīng)（最終趨于零）和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（最終趨于一個常數(shù)）。2.9線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解線性系統(tǒng)響應(yīng)的時

7、域求解例：如圖RC串聯(lián)電路，已知R=1，C=1F，e(t)=(1+e-3t)(t) ；電容上的初始電壓uc(0-)=1V求電容上的響應(yīng)電壓uc(t)。11RC ( )tcziutCe解： ( )cutH pe t(0 )11( )( )tccziuCutet由得11RCpRC由H(p)還可求得:)()(1)(1teteRCthttRC 3( )( )( )(1 3)ttczsute th tetet穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng))()()2121(3tteett零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng))()21211 ()()(3teetetutttc 受迫響應(yīng)自然響應(yīng))()211 ()(213tetett3()0(1 3)t

8、teed 311(1) ( )22tteet系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)必然是自然響應(yīng)的一部分，零狀態(tài)響應(yīng)中又可分為自然響應(yīng)和受迫響應(yīng)兩部分零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)中的自然響應(yīng)兩部分合起來構(gòu)成總的自然響應(yīng)，對應(yīng)一個穩(wěn)定系統(tǒng)而言，總的自然響應(yīng)必然是瞬態(tài)響應(yīng)。受迫響應(yīng)中隨時間增長而衰減消失的部分也是瞬態(tài)響應(yīng)中的一部分，隨時間增長仍繼續(xù)存在并趨于穩(wěn)定響應(yīng)的部分則是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。又例：已知線性非時變連續(xù)時間系統(tǒng)的自然響應(yīng)為 ， 受迫響應(yīng)為 。則下列說法正確的是。1、該系統(tǒng)一定是二階系統(tǒng)；2、該系統(tǒng)穩(wěn)定；3、零輸入響應(yīng)一定包含 ；4、零狀態(tài)響應(yīng)一定包含 。3() ( )tteet2(1) ( )tet3() ( )tte

9、et2(1) ( )tet2() ( )(1) ( )-3ttteetet全響應(yīng)而又可寫成：零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)只含自然頻率含自然頻率和激勵頻率零輸入響應(yīng)可寫成：123() ( )-3tttC eC eC et零狀態(tài)響應(yīng)則寫成：1223(1) ( )-3ttttD eD eD eet1122331,1,0CDCDCD其中：二、矩形脈沖矩形脈沖信號激勵下RC電路的響應(yīng) 求RC串聯(lián)電路在e(t)作用下uc(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。e(t)=E(t)-(t-0)(1)(1teRCthtRC)()()(0trtrEtuc 0( )tr thd)(1 1)(101tedeRCtrtRCtRC )(1 )(1

10、)()()(0)(1100teEteEtrtrEtutRCtRCc其中的RC稱為時間常數(shù)，一般用表示。它表示電容充放電的快慢，越大充放電越慢，反之越快。 ( )( )( )Rcute tu t011()0( )()ttRCRCEetEet( )( )cu te t( )( )Rute t稱微分電路時當(dāng)dttdeRCdttduRCtiRtutetucRc)()()()()()(0對于RL電路有類似的結(jié)論。稱積分電路時當(dāng)ttRtcRdeRCdRuCdiCtutetu)(1)(1)(1)()()(00三、梯形信號作用于系統(tǒng)三、梯形信號作用于系統(tǒng)首先，我們看一個簡單的例子，激勵為如下的一個梯形信號，并

11、假定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)。)()()(thtetr)()()(thtetr)4() 3() 1()()()4() 3() 1()()()()( thththththttttthtetr( )rt最后作兩次積分 將梯形信號進行二次微分后就變?yōu)橐幌盗械臎_激，而與沖激信號的卷積最容易求。最后我們只要對r(t)求二次積分便可求得系統(tǒng)的響應(yīng)。需要注意的是在微分過程中可能將直流分量丟失，遇到這種情況需要另外求系統(tǒng)對直流的響應(yīng)。 這個例子告訴我們對于任意的信號還可以用折線來近似，然后用上面的方法求解。顯然，所取的線段越多結(jié)果越正確。當(dāng)然，線段越多計算量也越大，但我們可以用計算機來進行數(shù)值計算。用折線來近似用折線來近似2.9線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解一、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)激勵下的系統(tǒng)響應(yīng) 二、矩形脈沖矩形脈沖信號激勵下RC電路的響應(yīng) 三、梯形信號三、梯形信號作用于系統(tǒng)2.9線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解)()()(trtrtrzszi零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)全響應(yīng)時域分析小結(jié)時域分析小結(jié)由轉(zhuǎn)移算子H(p)求出h(t)作業(yè)：2.21 (c)(d)(e) 2