一元二次方程題型歸納

1、一元二次方程的解法1. 一元二次方程 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程叫做一 元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式為aK+bx+cnOgWO),其中ax?叫做二次項，。叫做二次項系 數(shù)；隊叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；C叫做常數(shù)項.一元二次方程的解法是本章的重點內(nèi)容，課本中實際上介紹了四種解法：直接開平方法、配方法、公式法和因式 分解法。方法適合方程類型注意事項直接開平方法(x+a) 2=bb20時有解，b<0時無解。配方法X2+px+q=0二次項系數(shù)若不為1,必須先系數(shù) 化為1,再進行配方。因式分解法方程的一邊為0,另一邊分解成兩 個一次因式的積。方程的一

2、邊必須是0,另一邊可用 任何方法分解因式。公式法Ax2+bx+c=0(aW0)b2-4ac20時，方程有解：b2-4ac<0時，方程無解。先化為一 般形式再用公式L用直接開平方法解一元二次方程直接開平方法適用于解形如(x+h)、m的方程(1) x2-16 = 0(4)4x2-25 = 0(2)(1+x)2-2 = 0(3)25x2-16 = 01 1) (l-x)2 = 1(3)(2x+1)2+3 = 0(4)x2 2x+l= 4.2 .配方法的一般步驟是：牢牢記住配方的關(guān)鍵是“添加的常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方”.（1） （方程兩邊同除以二次項系數(shù)，團將二次項系數(shù)化為1： （2）移項

3、，使方程左邊為二次項、一次項，右邊為常數(shù)項；（3）配方，目方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，使方程左邊為一個完全平方式，右邊是一 個常數(shù)的形式：（4）如果右邊是非負(fù)數(shù)，兩邊直接開平方解這個一元二次方程.（2）用配方法解下列方程: 例題：3x2-6x+4=0(1) 10x2-x = 0(2 ) 4(x + 2) = 2(2 + x) x2-10x+24=0(2)x2-8x+15=0 x2+2x-99=0(4)y2+5y+2=O；(5) x2-8x+1=07(6) x2+10x+9=0(7) x2-x-=O(8) 4x2-6x-3=04(9 ) 3x2+6x-4=0(10)2x2+1=3x(11

4、) x2+4x-9=2x-11(12 ) x(x+4)=8x+123、用因式分解法解方程因式分解法的步驟是：方程右邊化為0,左邊化為兩個因式的積，每一個因式等于0,解這兩個一元一次方程。(3 ) x2 +3x + 2 = 0(4)x28x + 15 = 0(5)x2+4x-21 = 0(6)2x2+9x + 7 = 0(7) x2+2x+63 = 0(8) -%23x + 54 = 0用十字相乘法解下列一元二次方程(1) x2+3x + 2 = 0(2)x2-13x + 36 = 0(3)x2-7x=18(4)3x2+llx-20=0(5)x2+18x + 81 = 04、用因式分解法解方程(

5、通用的方法)一 + J - 44c用一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的求根公式x= 一吟(b2-4oc0),這種解一元二次方程的 2a方法叫做公式法.求根公式是針對一元二次方程的一般形式來說的，使用求根公式時，必須先把方程化成一般形式，才能正 確地確定各項系數(shù)，在應(yīng)用公式之前，先計算出從一4"的值，當(dāng)從一4ac2。時，代入公式求出方程的根；當(dāng) 從一4acV。時，方程沒有實數(shù)根，這時就不必再代入公式了.一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0)的根的判別式A=b2-4acoA。時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。時，方程沒有實數(shù)根。例1:把方程(*

6、+ 3)(3*4)="+ 2)2化成一般形式，并指出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項。練習(xí)1:將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項.(l)2x2=3x+5(2)(x+l)(x-l)=l(3)(x+2)2-4=0(4) x+1) 2-2 (x-1) =6x-5(5) (2x+l) (4x-2) = (2x-l) 2+2(6) (x+3) (x-4) =-6例2：不解方程，判斷下列方程的根的情況:2x2+3x-4=0練習(xí)2：不解方程，判別下列方程的根的情況:(1) 2x2 -3x + l = 0(2) 4/+9 = 12y(3) 5(/+3)-6工

7、=0(1) 2x2 + 4x + 35 = 0；(4) 4(/ + 0.09) = 2.4y；(2) 4m (m - l) + l= 0;(5)- f2 = /3x;(3) 0.2x2-5 = yx;(6) 2t=練習(xí)3：用公式法解下列方程：(l)x2-2x+l=0(2)x(x+ 8) = 16(3)x2-x=23(4)0. 8x2+x=0. 3(5)4x2-1=0(6)x2=7x(7)3x2 + 1=2V3x(8)12x2+7x+1=0元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程+ h+c = o m w 0)的兩個根為:-b + Jb2 -4ac -b - Jh2 -4acx =,x =2a2a所

8、以： x1 +x2-b + jb2 - 4ac + -匕-八2 - 4ac2a-b + Jb2 - 4ac=一萬一-b - yjlr -4ac (/?)2 - (y/b2 -4ac)2 4ac2a(2a)24c/定理：如果一元二次方程，滔+公+ c = 0(aH0)的兩個根為王,馬,那么:說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為韋達定 理.上述定理成立的前提是2().1 .請完成下面的表格:方程一次項系數(shù)常數(shù)項兩根玉、工2的值兩根的和士+馬兩根的積占04x2-2a-3 = 0x2 +5x + 6 = 02、不解方程，求下列方程兩根的和與積- -3x

9、+ l = 02x2 +3x-5 = 0 ®x2 -5 = 3x2+xx(x-2) + l=0【例1】3、已知方程x?2x c = 0的一個根是3,求方程的另一個根及c的值。跟蹤練習(xí)：1、已知方程A：?3x + c = 0的一個根是2,求另一個根及c的值。2、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0 一個根為2,求另一個根及m的值3、已知關(guān)于X的方程/ + 1)工+ ,公+1 = 0,如果方程兩實根的枳為5,求出攵的值.4【例2】已知a , P是方程x2-3x-5=0的兩根，不解方程，求下列代數(shù)式的值(l)- + -(2)a2+/?2(3)a-a p跟蹤練習(xí)：1、若內(nèi)是方程/+2工20

10、07 = 0的兩個根，試求下列各式的值：(1) x+x>2：(2)1：(3)(芭一5)(八 一 5) ：(4) lx1一 x,l.一元二次方程測試一、選擇題1、下列方程中，關(guān)于X的一元二次方程是()(A) 3(x+ 1)2 =2(x + l)(B) L + - 2 = 0廠 x(C) ax2 +bx + c = 0(D) x2 +2a =x2 -14 、2、已知3是關(guān)于x的方程一尸-2。+ 1 = 0的一個解，則2a的值是() 3(A) 11(B) 12(C) 13(D) 143、關(guān)于4的一元二次方程/+攵=。有實數(shù)根，則()(A) k <0(B) k >0(C) k20(D

11、) k <04、已知、y是實數(shù)，若盯=0,則下列說法正確的是()(A) x一定是 0(B) y一定是 0(C) x = 0 或 y = 0(D) x = 0 且 y = 05、若2x + l與2x 1互為倒數(shù)，則實數(shù)x為()1 (2(A) ±-(B) ±1(C) ±(D) ±x/22 26、若方程ax'+bx + c = 0 (a H 0)中，4,。滿足。+ +右=0和。一 +。= 0,則方程的根是()(A) 1, 0(B) -1, 0(C) 1, -1(D)無法確定7、用配方法解關(guān)于x的方程x2 + px + q=0時，此方程可變形為()

12、(A) (X + )2 = (B) (x + )2 = 2424(C一步中。竺¥r 5 t 68、使分式一-一 的值等于零的x是()A + 1(A) 6(B) -1 或 6(C) -1(D) -6二、填空題9、把一元二次方程(X -3y=4化為一般形式為：,二次項為： , 一次項系數(shù) 為：,常數(shù)項為：o10寫出一個一根為2的一元二次方程11、認(rèn)真觀察下列方程，指出使用何種方法解比較適當(dāng)：4x2=5,應(yīng)選用 法；(2) 2x2-3x-3=0,用選用 法 o12、方程16 = 0的根是;方程(x + l)(x 2) = 0的根是 013、已知方程x2+kx+3=0的一個根是-1,則1&l

13、t;=,另一根為。14、X2 +3x+=(x +)2 o15、一元二次方程僅一1)僅-2)=0的兩個根為X1，X2，且X1>X2，則為2+82=。三、解答題(4x7=28)16、解方程（1）x2=49 （直接開平方法）（2） （2."1尸=9 （直接開平方法）（3） i+3%-4 = 0 （用配方法）(5) x(x+8)=16 (公式法)(4) * + 4)2 =5(x + 4)(因式分解法)題號12345678答案ACDCCCBA79、把一元二次方程一化為一般形式為：x2-6x + 5 = 0,二次項為：/,次項系數(shù)為：-6 ,常數(shù)項為: 35 o10寫出一個一根為2的一元二次方程略o11、認(rèn)真觀察下列方程，指出使用何種方法解比較適當(dāng)：4x2=5,應(yīng)選用開平方法:（2）2x2-3x-3=0,用選用 公式法。12、方程16 =