非正弦周期信號(hào)

1、 非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜 ch13-14第十三章 非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜重點(diǎn)：1. 非正弦周期電流電路的電流、電壓的有效值、平均值；2. 非正弦周期電流電路的平均功率 3. 非正弦周期電流電路的計(jì)算方法難點(diǎn)： 1. 疊加定理在非正弦周期電流電路中的應(yīng)用 2. 非正弦周期電流電路功率的計(jì)算章與其它章節(jié)的聯(lián)系：三相電路可以看成是三個(gè)同頻率正弦電源作用下的正弦電流電路，對(duì)它的計(jì)算，第九章正弦電流電路中所闡述的方法完全適用。§13.1 非正弦周期信號(hào) 生產(chǎn)實(shí)際中不完全是正弦電路，經(jīng)常會(huì)遇到非正弦周期電流電路。在電子技術(shù)、自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)和無線電技術(shù)等方面，電壓和電流往往都是周

2、期性的非正弦波形。非正弦周期交流信號(hào)的特點(diǎn)：1) 不是正弦波 2) 按周期規(guī)律變化，滿足：（k=0，1，2.） 式中 T 為周期。圖 13.1 為一些典型的非正弦周期信號(hào)。 圖13.1（a）半波整流波形（b）鋸齒波（c）方波本章主要討論非正弦周期電流、電壓信號(hào)的作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析和計(jì)算方法。采用諧波分析法，實(shí)質(zhì)上就是通過應(yīng)用數(shù)學(xué)中傅里葉級(jí)數(shù)展開方法，將非正弦周期信號(hào)分解為一系列不同頻率的正弦量之和，再根據(jù)線性電路的疊加定理，分別計(jì)算在各個(gè)正弦量單獨(dú)作用下電路中產(chǎn)生的同頻率正弦電流分量和電壓分量，最后，把所得分量按時(shí)域形式疊加得到電路在 非正弦周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。 §1

3、3.2 周期函數(shù)分解為付里葉級(jí)數(shù) 電工技術(shù)中所遇到的非正弦周期電流、電壓信號(hào)多能滿足展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件，因而能分解成如下傅里葉級(jí)數(shù)形式： 也可表示成： 以上兩種表示式中系數(shù)之間關(guān)系為： 上述系數(shù)可按下列公式計(jì)算： （k=1，2，3）求出a0、ak、bk 便可得到原函數(shù) f(t) 的展開式。 注意： 非正弦周期電流、電壓信號(hào)分解成傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)鍵在于求出系數(shù)a0、ak、bk ，可以利用函數(shù)的某種對(duì)稱性判斷它包含哪些諧波分量及不包含哪些諧波分量，可使系數(shù)的確定簡化，給計(jì)算和分析將帶來很大的方便。如以下幾種周期函數(shù)值得注意：(1) 偶函數(shù) 波形對(duì)稱與縱軸如圖 13.2 所示，滿足：(2) 奇函數(shù)

4、波形對(duì)稱與原點(diǎn)如圖 13.3 所示，滿足： (3) 奇諧波函數(shù)波形鏡對(duì)稱如圖 13.4 所示，滿足：(4) 若函數(shù)是偶函數(shù)又是鏡對(duì)稱時(shí)，則只含有奇次的余弦相，即 (5) 若函數(shù)是奇函數(shù)又是鏡對(duì)稱時(shí)，則只含有奇次的正弦相，即圖 13.2圖 13.3圖 13.4實(shí)際中所遇到的周期函數(shù)可能較復(fù)雜，不易看出對(duì)稱性，但是如果將波形作一定的平移，或視為幾個(gè)典型波形的合成，則也能使計(jì)算各次諧波的系數(shù)簡化。例13-1把圖示周期性方波電流分解成傅里葉級(jí)數(shù)。 例 13-1 圖解：周期性方波電流在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)表示式為： 各次諧波分量的系數(shù)為： （ K 為奇數(shù)） 因此， 的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為： 即，周期性方波可以

5、看成是直流分量與一次諧波、三次諧波、五次諧波等的疊加，如下圖所示。 例13-2 給定函數(shù)f(t)的部分波形如圖所示。為使f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含如下的分量：(1)正弦分量；(2)余弦分量；(3)正弦偶次分量；(4)余弦奇次分量。試畫出f(t)的波形。 例 131 圖解：(1)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含正弦分量，說明f(t)為奇函數(shù)，對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱，可用下圖波形表示。 (2) f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含余弦分量，說明f(t)為偶函數(shù)，對(duì)坐標(biāo)縱軸對(duì)稱，可用下圖波形表示。 (3) f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含正弦偶次分量，可用下圖波形表示。 (4) f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含余弦奇次分量，可用

6、下圖波形表示。 §13.3有效值、平均值和平均功率1. 三角函數(shù)的性質(zhì) 1）正弦、余弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的積分為 0 ，即： 2） sin2 、 cos2 在一個(gè)周期內(nèi)的積分為 ，即： 3）三角函數(shù)的正交性如下式所示： 2. 非正弦周期函數(shù)的有效值 設(shè)非正弦周期電流可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)： 代入有效值的定義式中有: 利用上述三角函數(shù)的性質(zhì)， 上式中 i 的展開式平方后將含有下列各項(xiàng)： 這樣可以求得 i 的有效值為： 由此得到結(jié)論： 周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。此結(jié)論可以推廣用于其他非正弦周期量。3. 非正弦周期函數(shù)的平均值 設(shè)非正弦周期電流可以分解為傅里葉

7、級(jí)數(shù)： 則其平均值定義為： 即：非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對(duì)值的平均值。按上式可求得正弦電流的平均值為： 注意：1）測量 非正弦周期電流或電壓的有效值要用電磁系或電動(dòng)系儀表，測量非正弦周期量的平均值要用磁電系儀表。2）非正弦周期量的有效值和平均值沒有固定的比例關(guān)系，它們隨著波形不同而不同。4. 非正弦周期交流電路的平均功率設(shè)任意一端口電路的非正弦周期電流和電壓可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)： 則一端口的平均功率為： 代入電壓、電流表示式并利用三角函數(shù)的性質(zhì)，得：式中 由此得出結(jié)論： 非正弦周期電流電路的平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率§13.4非正弦周期交流電路的計(jì)算 根據(jù)以上

8、討論可得非正弦周期電流電路的計(jì)算步驟如下：（1） 把給定電源的非正弦周期電流或電壓作傅里葉級(jí)數(shù)分解，將非正弦周期量展開 成若干頻率的諧波信號(hào)；（2） 利用直流和正弦交流電路的計(jì)算方法，對(duì)直流和各次諧波激勵(lì)分別計(jì)算其響應(yīng)；（3） 將以上計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時(shí)值迭加。 注意: 1） 交流各次諧波電路計(jì)算可應(yīng)用相量法， 2）對(duì)不同的頻率，感抗與容抗是不同的。對(duì)直流 C 相當(dāng)于開路、L 相于短路。對(duì) k 次諧波有： 例13-3電路如圖（a）所示，電流源為圖（b）所示的 方波信號(hào)。求輸出電壓u0, 已知：例13-3圖（a）例13-3圖（b）解：計(jì)算步驟如下：（1）由例13-1知方波信號(hào)的展開式為： 代入已知

9、數(shù)據(jù) 得直流分量 基波最大值 三次諧波最大值 五次諧波最大值 角頻率為： 因此，電流源各頻率的諧波分量表示式為： （2）對(duì)各次頻率的諧波分量單獨(dú)計(jì)算 （a)直流分量 IS0 單獨(dú)作用時(shí)：把電容斷路，電感短路，電路如圖(c)所示，計(jì)算得： （b)基波單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖(a)所示。算得容抗和感抗為 例13-3圖（c） 所以阻抗為： 因此 (c) 三次諧波單獨(dú)作用時(shí)，計(jì)算得容抗和感抗為： 阻抗為： 則 (d) 五次諧波單獨(dú)作用時(shí)，計(jì)算得容抗和感抗為： 阻抗為： 則 (3) 把各次諧波分量計(jì)算結(jié)果的瞬時(shí)值迭加：例13-4圖（a）所示電路中各表讀數(shù) (有效值) 及電路吸收的功率。 例 13-4 圖（a

10、）解：(1)當(dāng)直流分量u0=30V作用于電路時(shí)，L1、L2短路，C1、C2開路，電路如圖(b)所示 例 13-4 圖（b）所以 (2) 基波?u1=120cos1000tV L1、C1對(duì)基波發(fā)生并聯(lián)諧振。所以，基波電壓加于L1、C1并聯(lián)電路兩端，故 ， ， (3) 二次諧波 u2=60cos(2000t+/4)V 作用于電路，有 L2、C2對(duì)二次諧波發(fā)生并聯(lián)諧振。所以，電壓加于L2、C2并聯(lián)電路兩端，故 所以電流表A1=1AA2= A3= 電壓表 V1= V2=例13-5圖（a）所示電路中，已知電源 u(t) 是周期函數(shù)，波形如圖（b）所示，L=1/2H ，C=125/F。求：理想變壓器原邊電

11、流i1(t)及輸出電壓u2的有效值。 例 13-5 圖（a）例 13-5 圖（b）解：由圖（b）知 當(dāng)直流分量 u0 =12V 作用于電路時(shí)，電容開路、電感短路，有： 當(dāng) 作用于電路時(shí)，有： 圖(a)的原邊等效電路如圖(c)所示。電容和電感發(fā)生并聯(lián)諧振，電源電流為零，因此： 例 13-5 圖（c）則 例13-6求圖示電路中 a、b 兩端電壓有效值Uab 、電流 i 及功率表的讀數(shù)。已知： 例136圖解：電壓有效值 一次諧波作用時(shí)： 三次諧波作用時(shí)： 所以 功率表讀數(shù)為 注意：同頻率的電壓電流構(gòu)成有功功率。例13-7已知圖（a）電路中，L=0.1H，C31F，電容C1中只有基波電流，電容C3中只有