構(gòu)造法求數(shù)列通項公式(共4頁)

1、構(gòu)造法求數(shù)列通項公式求數(shù)列通項公式是高考考察的重點和熱點，本文將通過構(gòu)造等比數(shù)列或等差數(shù)列求數(shù)列通項公式作以簡單介紹，供同學們學習時參考。一、構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列通項公式運用乘、除、去分母、添項、去項、取對數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形成為=A（其中A為常數(shù)）形式，根據(jù)等差數(shù)列的定義知是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，先求出的通項公式，再根據(jù)與，從而求出的通項公式。例1 在數(shù)列中，=，=（），求數(shù)列通項公式.解析：由an+1=得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，兩邊同除以an+1 an得，設(shè)bn=，則bn+1- bn=，根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列bn是首相b1=2，公差d=的等

2、差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得bn=2（n-1）=n數(shù)列通項公式為an=評析：本例通過變形，將遞推公式變形成為形式，應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式，先求出的通項公式，從而求出的通項公式。例2 在數(shù)列an中，Sn是其前n項和，且Sn0，a1=1，an=(n2)，求Sn與an。解析：當n2時，an=Sn-Sn-1 代入an=得，Sn-Sn-1=，變形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1兩邊除以SnSn-1得，-=2，是首相為1，公差為2的等差數(shù)列=1+2（n-1）=2n-1, Sn=(n2),n=1也適合，Sn=(n1)當n2時，an=Sn-Sn-1=-=-，n=1不滿足此式，an=評析：本例將所給條件

3、變形成，先求出的通項公式，再求出原數(shù)列的通項公式，條件變形是難點。二、構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列通項公式運用乘、除、去分母、添項、去項、取對數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形成為f（n+1）=Af（n）（其中A為非零常數(shù)）形式，根據(jù)等比數(shù)列的定義知是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，先求出的通項公式，再根據(jù)與，從而求出的通項公式。例3在數(shù)列an中，a1=2，an=an-12(n2)，求數(shù)列an通項公式。解析： a1=2，an=an-12(n2)0，兩邊同時取對數(shù)得，lg an=2lg an-1=2， 根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列l(wèi)g an是首相為lg2，公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得lg

4、an=2n-1lg2=數(shù)列通項公式為an=評析：本例通過兩邊取對數(shù)，變形成形式，構(gòu)造等比數(shù)列，先求出的通項公式，從而求出的通項公式。例4在數(shù)列an中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求數(shù)列an通項公式。解析：設(shè)an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B為待定系數(shù)），展開得an+1=4an+3An+3B-A，與已知比較系數(shù)得 an+1+（n+1）+=4（an+n+），根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列an+n+是首項為，公比為q=3的等比數(shù)列，an+n+=×3n-1數(shù)列通項公式為an=×3n-1-n-評析：待定系數(shù)法是構(gòu)造數(shù)列的常用方法。例5 在數(shù)列an中，a1

5、=1 ，an+1an=4n ，求數(shù)列an通項公式。解析：an+1an=4n anan-1=4 n-1 兩式相除得 =4 ，a1，a3，a5與a 2，a 4 ，a 6 是首相分別為a1，a 2 ，公比都是4的等比數(shù)列，又a1=1，an+1an=4n ，a2=4an=練習：1.已知數(shù)列滿足，求解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，2. 數(shù)列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數(shù)列a的通項公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，數(shù)列 a2是以為公比，1為首項的等比數(shù)列a2=（） a=2（）3. 數(shù)列中，求數(shù)列

6、的通項公式。解：由得設(shè)比較系數(shù)得，解得或若取，則有是以為公比，以為首項的等比數(shù)列由逐差法可得=4. 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，對于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項an.解：， ，. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且. （1）通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pkk=q，即k=，從而得等比數(shù)列a+k。（2）通過分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這種方法適用于型的遞推式，通過對系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得。3、構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學問題的過程中，通過對條件與結(jié)論的充分剖析，聯(lián)想出一種適當?shù)妮o助模型，進行命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項公式.（1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.（2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就