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文檔簡介
1、構(gòu)造法求數(shù)列通項公式求數(shù)列通項公式是高考考察的重點和熱點,本文將通過構(gòu)造等比數(shù)列或等差數(shù)列求數(shù)列通項公式作以簡單介紹,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。一、構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列通項公式運用乘、除、去分母、添項、去項、取對數(shù)、待定系數(shù)等方法,將遞推公式變形成為=A(其中A為常數(shù))形式,根據(jù)等差數(shù)列的定義知是等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式,先求出的通項公式,再根據(jù)與,從而求出的通項公式。例1 在數(shù)列中,=,=(),求數(shù)列通項公式.解析:由an+1=得,an+1 an=3 an+1-3 an=0,兩邊同除以an+1 an得,設(shè)bn=,則bn+1- bn=,根據(jù)等差數(shù)列的定義知,數(shù)列bn是首相b1=2,公差d=的等
2、差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得bn=2(n-1)=n數(shù)列通項公式為an=評析:本例通過變形,將遞推公式變形成為形式,應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式,先求出的通項公式,從而求出的通項公式。例2 在數(shù)列an中,Sn是其前n項和,且Sn0,a1=1,an=(n2),求Sn與an。解析:當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1 代入an=得,Sn-Sn-1=,變形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1兩邊除以SnSn-1得,-=2,是首相為1,公差為2的等差數(shù)列=1+2(n-1)=2n-1, Sn=(n2),n=1也適合,Sn=(n1)當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1=-=-,n=1不滿足此式,an=評析:本例將所給條件
3、變形成,先求出的通項公式,再求出原數(shù)列的通項公式,條件變形是難點。二、構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列通項公式運用乘、除、去分母、添項、去項、取對數(shù)、待定系數(shù)等方法,將遞推公式變形成為f(n+1)=Af(n)(其中A為非零常數(shù))形式,根據(jù)等比數(shù)列的定義知是等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,先求出的通項公式,再根據(jù)與,從而求出的通項公式。例3在數(shù)列an中,a1=2,an=an-12(n2),求數(shù)列an通項公式。解析: a1=2,an=an-12(n2)0,兩邊同時取對數(shù)得,lg an=2lg an-1=2, 根據(jù)等比數(shù)列的定義知,數(shù)列l(wèi)g an是首相為lg2,公比為2的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得lg
4、an=2n-1lg2=數(shù)列通項公式為an=評析:本例通過兩邊取對數(shù),變形成形式,構(gòu)造等比數(shù)列,先求出的通項公式,從而求出的通項公式。例4在數(shù)列an中,a1=1,an+1=4an+3n+1,求數(shù)列an通項公式。解析:設(shè)an+1+A(n+1)+B=4(an+An+B),(A、B為待定系數(shù)),展開得an+1=4an+3An+3B-A,與已知比較系數(shù)得 an+1+(n+1)+=4(an+n+),根據(jù)等比數(shù)列的定義知,數(shù)列an+n+是首項為,公比為q=3的等比數(shù)列,an+n+=×3n-1數(shù)列通項公式為an=×3n-1-n-評析:待定系數(shù)法是構(gòu)造數(shù)列的常用方法。例5 在數(shù)列an中,a1
5、=1 ,an+1an=4n ,求數(shù)列an通項公式。解析:an+1an=4n anan-1=4 n-1 兩式相除得 =4 ,a1,a3,a5與a 2,a 4 ,a 6 是首相分別為a1,a 2 ,公比都是4的等比數(shù)列,又a1=1,an+1an=4n ,a2=4an=練習(xí):1.已知數(shù)列滿足,求解:由條件知,分別令,代入上式得個等式累乘之,即又,解:由條件知,分別令,代入上式得個等式累乘之,即又,2. 數(shù)列a滿足a=1,a=a+1(n2),求數(shù)列a的通項公式。解:由a=a+1(n2)得a2=(a2),而a2=12=1,數(shù)列 a2是以為公比,1為首項的等比數(shù)列a2=() a=2()3. 數(shù)列中,求數(shù)列
6、的通項公式。解:由得設(shè)比較系數(shù)得,解得或若取,則有是以為公比,以為首項的等比數(shù)列由逐差法可得=4. 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為,對于任意正整數(shù)n,都有等式:成立,求的通項an.解:, ,. 即是以2為公差的等差數(shù)列,且. (1)通過分解常數(shù),可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k的形式求解。一般地,形如a=p a+q(p1,pq0)型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法:設(shè)a+k=p(a+k)與原式比較系數(shù)可得pkk=q,即k=,從而得等比數(shù)列a+k。(2)通過分解系數(shù),可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這種方法適用于型的遞推式,通過對系數(shù)p的分解,可得等比數(shù)列:設(shè),比較系數(shù)得,可解得。3、構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中,通過對條件與結(jié)論的充分剖析,聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型,進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換,產(chǎn)生新的解題方法,這種思維方法的特點就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項公式.(1)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然,對于一些遞推數(shù)列問題,若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列,無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.(2)構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差,然后采用迭加的方法就
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