52用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式(解析版)

1、2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂專練(蘇科版)5.2用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法列方程組求二次函數(shù)的解析式2 .重難點(diǎn)：由已知條件特點(diǎn)，靈活選擇二次函數(shù)三種形式的過程，正確求工!二次 函數(shù) 的 解析 式,-二次函數(shù)一種形式是可 以互相轉(zhuǎn)化 的二次函數(shù)解析式常見有以下幾種形式(1) 一般式：y ax2 bx c(a, b, c 為常數(shù)，aw0)；(2)頂點(diǎn)式：y a(x h)2 k (a , h, k 為常數(shù)，aw0)；(3)交點(diǎn)式：y a(x Xi)(x X2) ( Xi, X2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，aw0).要點(diǎn)詮釋：在設(shè)函數(shù)的解析式時(shí)，

2、根據(jù)題中所給條件選擇合適的形式當(dāng)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為y ax2 bx c ；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大值、最小值時(shí).可設(shè)函數(shù)的解析式為y a(x h)2 k ；【同步練習(xí)】一、單選題1 .已知二次函數(shù) y ax2 bx c的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c 0可以為()A. x2 4x 3 0【詳解】拋物線開口朝上，與xi1,x2 3,且 a2x 3 0-2.A.C.B. x2 2x 3 0C. x2x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 1,0和0.，關(guān)于x的二次方程已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過10 ， 2,0 , 033x 3B.3x 3D.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過1,

3、02x 33,00,3代入得3 2a解得3.已知拋物線y ax20D. x2 4x二次方程ax2ax2 bx c 0可以為x三點(diǎn)，則該函數(shù)解析式為（bx c 0的解為0,即2x 32x 32,0 , 0,3三點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為3 3一石，故函數(shù)解析式為y 2 x 2 x1，整理得x4321c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo) x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表，則下列結(jié)論正確的是bxy3010A.對(duì)稱軸為直線 x 2B. abc 0C. a b c 0D.關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解解：由題意可得，將(-3, 0) (-2 , 1) (-1 , 0)代入 y ax2 bx c中9

4、a 3b c 0 a14a 2b c 1 ,解得 b 4 a b c 0c 3二次函數(shù)解析式為 y x2 4x 3對(duì)稱軸為直線x 包 2,故選項(xiàng)A符合題意； 2aabc 14312 0,故選項(xiàng)B不符合題意;a b c= 1438 0,故選項(xiàng)C不符合題意；關(guān)于X的一元二次方程 ax2 bx c 1 0為x2 4x 3 1 0,即x2+4x+4 0,22一 =b 4ac 44 1 4 0,，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D不符合題意故選：A.4.已知二次函數(shù)y ax2 bx c(a0)經(jīng)過點(diǎn)M ( 1,2)和點(diǎn)N(1, 2),交x軸于A, B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.b 2；該二次函數(shù)圖象與 y軸交于負(fù)

5、半軸；存在這樣一個(gè)a,使得M A C三點(diǎn)在同一條直線上；若a 1,則OA OB OC2 .以上說(shuō)法正確的有()A.B.C.D.【答案】 B【詳解】二次函數(shù)y ax2 bx c a 0經(jīng)過點(diǎn)M 1,2和點(diǎn)N 1, 2 ,2abcabc由可得b 2 ， a c 0 ，即 ca 0 ，所以二次函數(shù)圖象與y 軸交于負(fù)半軸根據(jù)拋物線圖象的特點(diǎn)，M 、 A 、 C 三點(diǎn)不可能在同一條直線上，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤當(dāng)a 1時(shí)，c 1 ,.該二次函數(shù)的解析式為y x2 2x 1，當(dāng) y 0 時(shí)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1 x21 ，即 OA OB 1 ，當(dāng) x 0 時(shí)， y 1 ，即 OC 1 OC2， OA OB O

6、C2 ,故該選項(xiàng)B 正確x 軸的0； x 4，5如圖，是拋物線y1 ax2 bx c （ a 0 ）圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（ 1， 3） ，與一個(gè)交點(diǎn)B （4, 0）,直線y2 mx n（ m 0）與拋物線交于 A, B兩點(diǎn)，下列結(jié)論： 2ab拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（2,0）；方程ax2 bx c 3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí) 1有丫2y1；若ax12bx1ax22bx2,且x1x2；則x+x21.則命題正確的個(gè)數(shù)為（A. 5個(gè)B. 4個(gè)【答案】B【詳解】略C. 3個(gè)D. 2個(gè)6.二次函數(shù) y ax2 bx c( a, b , c為常數(shù)，a0)中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表:A.

7、abc 0C. 16a 4b c 0【答案】D【詳解】解：由表可知該拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)(卜列結(jié)論：其中正確的是()x-1012y-1355b.當(dāng)x 1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小D.拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)0, 3), (1, 5), (2, 5),c 3代入拋物線解析式可得：a b c 54a 2b c 5a 1解得：b 3c 32_y x 3x 3,，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為：x故B選項(xiàng)不正確；abc= 9 0,故A選項(xiàng)不正確；. 16a 4b c 161故C選項(xiàng)不正確； 22b 4ac 341 3，該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，1.5,當(dāng)x 1.5時(shí)，y隨x的增大而減小,4 3 31 0,21

8、 0；.D選項(xiàng)正確.故選D.7.已知二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象對(duì)稱軸為x h,且圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1), B(8,8) .則下列說(shuō)法中正確的是()A.若 h 7,則 a 0B,若 h 5,則 a 0C.若 h 4,則 a 0 D.若 h 6,則 a 0【答案】D【詳解】解：:二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象對(duì)稱軸為 x h,b2aA 若 h 7 ,則 b 14a ,2. 一一次函數(shù)為 y ax 14ax c,圖象經(jīng)過點(diǎn) A(1,1), B(8,8).0,13a c48a c故A錯(cuò)誤；B、若 h 5,貝U b 10a ,2一次函數(shù)為y ax 10ax c,，圖象經(jīng)過點(diǎn) A(1,1),

9、B(8,8).1 0,9a c16a c故B錯(cuò)誤;C、若 h 4,則 b 8a ,二次函數(shù)為y ax2 8ax c,.,圖象經(jīng)過點(diǎn) A(1,1), B(8,8).7a c 1，解得a 1 0, c 8故C錯(cuò)誤；D、若 h 6 ,則 b 12a ,2一次函數(shù)為 y ax 12ax c,二圖象經(jīng)過點(diǎn) A(1,1), B(8,8).0,11a c32a c故D正確；故選：D .8.如圖，拋物線y=- x2+2x+c與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點(diǎn) A B且0是OB則c的值為（A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【詳解】依題：拋物線y= - x2+2x+c與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點(diǎn) A

10、 B,B (0, 0,OB= c,OA= OBOA= c, A (c, 0),，c2+2c+c=0,解得 c= 3 或 c= 0 (舍去)，故選：D、填空題9-設(shè)拋物線y x2 (a 1)x a ,其中a為實(shí)數(shù).(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,m),則m (2)將拋物線y x2 (a 1)x a向上平移2個(gè)單位，所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是 【答案】0 2【詳解】 解：(1)將(1,m)代入 y x2 (a 1)x a得:m 1 a 1 a 0故答案為：0(2)根據(jù)題意可得新的函數(shù)解析式為:2x (a 1)x a+2t b 4ac b2由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo) -,2a 4a得新拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為:4

11、(a 2) (a 1)24a2 2a 742 一一(a 2a 1) 842_(a 1)84rr2當(dāng)a=l時(shí)，a 18有最大值為8, 所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是8=24故答案為：2分別過點(diǎn)A,若記OAP3，10.如圖已知 Al,A2 ,A3An 是 x軸上的點(diǎn)，且 OAlA1A2A2AA3A4AnlAn1,一 . A 12A, A3An,作x軸的垂線交二次函數(shù)y -x (x 0)的圖象于點(diǎn)P1,P2，P3,，P的面積為6 ,過點(diǎn)P作RB A2P2于點(diǎn)B1 ,記4P2B2P3的面積為S3 ,依次進(jìn)行下去，則;最后記ZPnBn R ( n 1 )的面積為& ,則Sn 42n 14【答案

12、】5, 4【詳解】12 111.11解：當(dāng) x=1 時(shí)，y= - x =，則 P1 (1,),所以 SI 1 ； 222224,1 。-113當(dāng) x=2時(shí)，y=；x2=2,則p2(2,2)，所以S2二1 (2二)二；2 2241 。 9 一 9195當(dāng) x=3 時(shí)，y=2x=2 則 p3(3,2-所以 & 2 1 (2 2)同樣方法可得S47所以Sn42n 1故答案為：5; Sn 生 4411.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn) B, C在x軸上，OA= 8, AB= AC= 10,點(diǎn)D在AB上，CD y軸交于點(diǎn)E,且?t足Sacce= Saade,則過點(diǎn)B, C, E的

13、拋物線的函數(shù)解析式為-2 2【答案】y x227【詳解】 解：. CA= 8, AB= AC= 10,CB= CC= Jab2oa2 =6，8)B (6, 0), C ( 6, 0), A (0,設(shè)點(diǎn)D (m n),S>A CCE= SkADE,S(A cc+S 四邊形cedb= Sa ad+S 四邊形oedbSa CDB= SACIB,2-BC?|n| = yAC?BQ解得12 ( n)=8X6,n= - 4,設(shè)直線AB解析式為y= kx+b,6k b 0把 A (0, -8), B (6, 0),代入得，b 8解得，b= - 8, k=, 3直線AB解析式為y= x - 8, 3當(dāng)

14、y= - 4時(shí)，x= 3,D (3, -4),. C (- 6, 0),同理可得CDB析式為y= 4x- 8, 93.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(0,1), 3設(shè)經(jīng)過B、C E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為：y=ax2- 8,3把 B (6, 0)代入得，0=36a- 8 , 32a= 一，27過點(diǎn)b, c, E的拋物線的函數(shù)解析式為：y= x2- 8 .273故答案為：y = - x2 . 27312 .若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則把該函數(shù)稱之為“ H函數(shù)”，其圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)叫做一對(duì)“H點(diǎn)”.根據(jù)該約定，下列關(guān)于x的函數(shù)：y 2x；y m m 0 ；y 3x 1； xc .2

15、y.x .其中是“ h函數(shù)”的為.(填上序號(hào)即可)【答案】【詳解】解：設(shè)函數(shù)上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 （a,b）,則其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（a, b）,將點(diǎn)（a, b）代入y 2x得：b 2a,當(dāng)x a時(shí)，y 2a b ,即點(diǎn)（a, b）在函數(shù)y 2x上，則函數(shù)y 2x是“ h函數(shù)”；將點(diǎn)（a,b）代入y m m 0得：b m , xa當(dāng)x a時(shí)，y -mb,即點(diǎn)（a, b）在函數(shù)y m m 0上，ax則函數(shù)y m m 0是“ H函數(shù)”； x將點(diǎn)（a,b）代入y 3x 1得：b 3a 1 ,即3a b 1 ,當(dāng) x a時(shí)，y 3a 1 b 2,則點(diǎn)（a, b）不在函數(shù)y 3x 1上，此函數(shù)不是“ H

16、函數(shù)”；將點(diǎn)（a, b）代入y二x2得：b a2,當(dāng) x a時(shí)，y （ a）2 a2 b,則點(diǎn)（a, b）不在函數(shù)y二x2上，此函數(shù)不是“ H函數(shù)”；綜上，是“ H函數(shù)”的為，故答案為：.三、解答題13 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y x2 bx c的圖像與x軸交于點(diǎn).A 1,0、B 3,0 ,與y軸交于點(diǎn)C.(1) b , c ;(2)若點(diǎn)D在該二次函數(shù)的圖像上，且S)abd2Sjabc,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖像上位于X軸上方的一點(diǎn)，且 SaPC S APB ,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1) -2, -3; (2)(1 加，6)或(1 斤，6); (3) (4,

17、 5)【詳解】A和點(diǎn)B在二次函數(shù)2解：(1)二.點(diǎn)y x bx c圖像上，3b c23故答案為：-2,-3;(2)連接BC由題意可得：2A (-1 , 0), B (3, 0), C (0,-3), y x2 2x 3, S>A AB(= 4 3 =6, 2S>aab=2Sabc,設(shè)點(diǎn) D (m m2 2m 3), 1 AB yD 2 6,即 g 4 m2 2m 3 2 6 ,解得：x=i M或 1 710,代入 y x2 2x 3,可得：y值都為6,D(1 而，6)或(1 加,6);(3)設(shè) P (n, n2 2n 3),點(diǎn)P在拋物線位于x軸上方的部分，n<-1 或 n&g

18、t;3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，即n<-1 ,可知點(diǎn)C到AP的距離小于點(diǎn) B至IJAP的距離,SA APCSa APB，不成立;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，即n>3,APCmAPBtB以AP為底，若要面積相等,則點(diǎn)B和點(diǎn)C到AP的距離相等，即 BC/ AP設(shè)直線BC的解析式為y=kx+p,0 3kp則，解得:3 p則設(shè)直線AP的解析式為y=x+q,將點(diǎn)A (-1 , 0)代入,則-1+q=0,解得：q=1,則直線AP的解析式為y=x+1,將P (n, n2 2n 3)代入,即 n2 2n 3 n 1 ,解得：n=4或n=-1 (舍)，2n 2n 3 5，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4, 5).214.已知拋

19、物線y a x h的對(duì)稱軸為直線x 2,且過點(diǎn)1, 3 .(1)求拋物線的解析式.(2)畫出函數(shù)的圖象.(或最小值)？x 2時(shí)，函數(shù)(3)從圖象上觀察，當(dāng) x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大？當(dāng) x取何值時(shí)，函數(shù)有最大值12【答案】(1) y (x 2) ； (2)見解析；(3)當(dāng)x 2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng) 3有最大值0【詳解】-，一_ 2解：(1) .直線x 2為拋物線y a x h的對(duì)稱軸，,拋物線的解析式為ya x 2將1, 3代入可得 3 a 1 2 m1解得a一.312拋物線的解析式為 y 1(x 2)2 .312.(2)函數(shù)y -(x 2)的圖象如圖.(3)二該拋物線的對(duì)稱軸為直

20、線 x 2,，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2,0 ,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，當(dāng)x 2時(shí)，y隨x的增大而增大, 3 0, .函數(shù)有最大值.當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有最大值 0.15.如圖，拋物線 y ax2 bx c(a 0)與x軸交于A B兩點(diǎn)，與y軸交于OB OC 3OA .(1)求拋物線的解析式；(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P,使四邊形PBAC勺面積最大.求出點(diǎn) P的坐標(biāo)(3)在(2)的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q.使點(diǎn)P、B、MQ為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在.請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1) y21 153 15 T. 2 31x 2x 3 ； (2) ( , 一)；( 3)( 一 一)或(,24242157解：(1) . OB=O(=3OA 八。布，222_2_2OC OA AC ,即 3OA OA10解得：OA=1, O(=OB=3, .A (