高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品：函數(shù)基本性質(zhì)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共講全部免費(fèi)歡迎下載

1、第 3 講 函 數(shù) 基 本 性 質(zhì)備注：【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講全部免費(fèi)歡送下載】一【課標(biāo)要求】1通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；2結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；二. 【命題走向】從近幾年來看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不管是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索-預(yù)測2021年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào) 性、奇偶性以及最值預(yù)測明年的對本講的考察是：(1) 考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個(gè)或1個(gè)填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大 題；(2) 以

2、中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考 察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成為新的熱點(diǎn)三. 【要點(diǎn)精講】1. 奇偶性(1) 定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f ( x)= f(x)，那么稱f(x)為奇 函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f( x)=f(x)，那么稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，那么f(x)不具有.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，那么f(x) 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一 個(gè)x，那么x也

3、一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)。(2) 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；確定f ( x)與f (x)的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：假設(shè) f ( x)=f (x)或 f ( x) f(x)=O，那么 f (x)是偶函數(shù)；假設(shè) f ( x)= f (x)或 f ( x) + f (x)=0，那么 f (x)是奇函數(shù)(3) 簡單性質(zhì)： 圖象的對稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一個(gè)函數(shù) 是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 y軸對稱； 設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1,D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇

4、 =奇，奇 奇=偶，偶+偶 =偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇2. 單調(diào)性(1) 定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量X1, X2,當(dāng)X1VX2時(shí)，都有f(X1)vf(X2)( f(X1)>f(X2)，那么就說f (x) 在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函數(shù))；的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量Xi, X2；當(dāng)X1VX2時(shí)，總有f(Xi)vf(X2)(2) 如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一 區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間 D叫做y=f(x

5、)的單調(diào)區(qū)間。(3) 設(shè)復(fù)合函數(shù)y=fg(x)，其中u=g(x), A是y=fg(x)定義域的某個(gè)區(qū)間，B是映射 g：xu=g(x)的象集： 假設(shè)u=g(x)在A上是增(或減)函數(shù)，y=f(u)在B上也是增(或減)函數(shù)，那么函數(shù)y=fg( x) 在A上是增函數(shù)； 假設(shè)u=g(x)在A上是增(或減)函數(shù)，而y=f(u)在B上是減(或增)函數(shù)，那么函數(shù)y=f g( x) 在A上是減函數(shù)。( 4)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：任取 Xi，X2 D,且 Xi<X2；作差 f(x1)f(x2) ；變形(通常是因式分解和配方)；定號(即判斷差f

6、(Xi) - f(X2)的正負(fù))； 下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)。( 5)簡單性質(zhì) 奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同； 偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反； 在公共定義域內(nèi)：增函數(shù) f (x) 增函數(shù) g(x) 是增函數(shù)；減函數(shù) f (x) 減函數(shù) g(x) 是減函數(shù)；增函數(shù) f (x) 減函數(shù) g(x) 是增函數(shù)；減函數(shù) f (x) 增函數(shù) g(x) 是。3最值(1)定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對于任意的x I，都有f(x) < M存在x° I，使得f(x°)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f (x)的最

7、大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對于任意的x I，都有f (x) > M存在Xo I，使得f(Xo)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f (x)的最大值。函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0 I ，使得 f(x0)=M；函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的x I，都有f (x) < M(f (x) > M)。( 2)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值的方法： 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值； 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

8、a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞減那么函數(shù)y=f(x)在 x=b 處有最大值 f ( b) ；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞增那么函數(shù)y=f(x)在 x=b處有最小值f (b)；4 周期性(1)定義：如果存在一個(gè)非零常數(shù) T,使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意 x,都有 f(x+T)=f(x)，那么稱f(x)為周期函數(shù)；(2)性質(zhì)：f(x+T)=f(x)常常寫作f(x T) f(x T),假設(shè)f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的2 2正數(shù)，那么稱它為f(x)的最小正周期；假設(shè)周期函數(shù)f(x)的周期為T,那么f( 3 x)(3工0)是周期函數(shù)，且周期為 四【典例

9、解析】題型一：判斷函數(shù)的奇偶性解:(1)函數(shù)定義域?yàn)镽,例1 討論下述函數(shù)的奇偶性:f( x)x.16 x2x 11 12,亠些14x、.16x1 2x2f(x), f(x)為偶函數(shù);(另解)先化簡:f(x)16；1. 4x 4 x 1,顯然f(x)為偶函數(shù)；從這可以看出,化簡后再解決要容易得多。(2)須要分兩段討論： 設(shè) 設(shè) 當(dāng) x=0 時(shí) f (x)=0，也滿足 f ( - x)= -f (x)；由、知，對x R有f( -x)= - f (x) ,. f (x)為奇函數(shù);(3)1 x20x210x21，二函數(shù)的定義域?yàn)閤 f(x)=log 21=0(x=± 1)，即 f(x)的圖

10、象由兩個(gè)點(diǎn) A (- 1, 0) 與 B (1, 0)組成，這 兩點(diǎn)既關(guān)于y軸對稱，又關(guān)于原點(diǎn)對稱， f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；(4) v x2< a2, a要分a>0與a<0兩類討論， 當(dāng)a>0時(shí)， a x a 函數(shù)的定義域?yàn)?a,0)(0,a),|x a | a:2 2x a 0, f (x) 一a，二當(dāng) a>0 時(shí)，f (x)為奇函數(shù); 當(dāng)a 0時(shí),Q x a 0, f(x),取定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn) Xi, X2,x 2a22f(a) f( a)3 0,當(dāng)a 0時(shí)，f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).2253點(diǎn)評：判斷函數(shù)的奇偶性是比擬根本的問題

11、，難度不大，解決問題時(shí)應(yīng)先考察函數(shù)的定 義域，假設(shè)函數(shù)的解析式能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但化簡必須是等價(jià)變換過程(要保證定 義域不變)-例2. (2007年江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué))函數(shù)f(x) |x2 ax b | (x R,b 0)，給 出以下三個(gè)條件：存在X。R，使得f ( X。) f(x°);(2) f(3) f (0)成立；(3) f(x)在區(qū)間a,)上是增函數(shù).假設(shè)f(x)同時(shí)滿足條件和(填入兩個(gè)條件的編號)，那么 f(x)的一個(gè)可能的解析式為f (x)答案滿足條件 (2)時(shí)，y |x2 3x 1等；滿足條件(1)(3)時(shí)，y |x2 2x 1等；滿足條件(3)時(shí),y

12、x2 3x 9等-題型二：奇偶性的應(yīng)用2x b例3. 06重慶文)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x) -2 是奇函數(shù)。2 a(I) 求a,b的值；(U)假設(shè)對任意的t R，不等式f(t2 2t) f (2t2 k) 0恒成立，求k的取值范圍;【解】(1) Q函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽(2) f(x)2x 12x1 2點(diǎn)評：假設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域包含0,那么f(0)0 .題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例5.( 2021上海文，19)(此題總分值16分)此題共有2個(gè)小題，第1小題總分值8分，第2小題總分值8分.函數(shù)f(x)2x(1)假設(shè)f(x) 2，求x的值;(2) 假設(shè) 八)mf(t) > 0對于

13、t 1,2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解】1當(dāng)x 0時(shí)，f x0;當(dāng)x 0時(shí),f x 2x . .2分2x1由條件可知，2x匸2,即22x 2 2x 1 0,解得2x 1 2.6分2xT 2x 0, x log2 12 .8分當(dāng)t 1刀時(shí)22t右j 0, 10分即 m 22t 124t 1 .Q22t 1 0, m 22t 1 13 分故m的取值范圍是5, .16分點(diǎn)評：此題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡潔例6.f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對x R有f(x)>0，且f(5)=1 ,設(shè)1F(x)=f(x)+丄，討論F(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論 f (x)

14、解：這是抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決 在 R上任取 X1、X2，設(shè) X1<X2，.°. f(X1)vf(X2)，T f(x)是R上的增函數(shù)，且f(5)=1，當(dāng) x<5 時(shí) 0<f (x)<1,而當(dāng) x>5 時(shí) f (x)>1; 假設(shè) X1<X2<5，那么 0<f (xjvf (X2)<1, 0<f (X1)f (X2)<1, 1 1 <0,f(xj f(X2) F(X2)vF(x"； 假設(shè) X2>X1>5，那么 f (X2)>f(X1)>1, f(X1)f(X

15、2)>1, 1 1 >0,f(X1)f (X2) F(X2)>F(X1)；綜上，F(xiàn)(x)在(x，5)為減函數(shù)，在(5，+x)為增函數(shù)點(diǎn)評：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比擬特殊的問題, 其根本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 7(2021 山東卷文 ) 定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間0,2f (11) f ( 25)().上是增函數(shù) , 那么f ( 25) f (11) f (80) . f (80)f(11) f (80) f ( 25) . f ( 25) f (80) f

16、(11)答案 D解析因?yàn)?f (x) 滿足 f (x 4)f (x) , 所以 f (x 8) f (x) , 所以函數(shù)是以 8 為周期的周期函數(shù)，那么 f( 25) f( 1), f(80)f(0), f(11)f(3),又因?yàn)?f(x)在 R 上是奇函數(shù)，f(0) 0,得 f (80) f (0) 0, f ( 25) f( 1) f (1) , 而由 f (x 4) f ( x) 得f (11)f (3) f ( 3) f (1 4) f (1) , 又因?yàn)?f (x) 在區(qū)間 0,2 上是增函數(shù) , 所以f (1)f(0) 0 , 所以f (1)0 , 即 f( 25) f (80)

17、f (11), 應(yīng)選 D.【命題立意】 : 此題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì) , 運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思 想和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題 .例 8(1)求函數(shù) y log0.7 ( x2 3x 2) 的單調(diào)區(qū)間；(2)f (x) 8 2x x2,假設(shè)g(x) f (2 x2)試確定g(x)的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。解：( 1)函數(shù)的定義域?yàn)?(,1)(2,) ，分解根本函數(shù)為 y log 0.7 t 、t x2 3x 2顯然y log。,在(0,)上是單調(diào)遞減的，而t x23x 2在(,1),(2,)上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)那么：所以函數(shù) y log0.7(x2

18、3x 2) 在 (,1), (2,) 上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。(2)解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，分解根本函數(shù)為gf (t) t2 2t 8和 t 2 x2。顯然 g f (t)t22x8 在 (1,) 上是單調(diào)遞減的，(,1) 上單調(diào)遞增；而t 2 x2在(，0),(0,)上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且2 x2 1 x 1，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)那么：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 (, 1),(0,1) ；單調(diào)減區(qū)間為 (1,),( 1,0) 。解法二：g(x) 8 2(2 x2) (2 x2)2x4 2x2 8,3g (x) 4x 4x,令 g (x) 0 ,得 x 1 或 0 x 1 ,令

19、g (x) 0 , x 1 或 1 x 0單調(diào)增區(qū)間為(，1),(0,1)；單調(diào)減區(qū)間為(1,),( 1,0) o點(diǎn)評：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同增、異減的規(guī)那么 .也可通過導(dǎo)數(shù)方 法求單調(diào)性。題型五：單調(diào)性的應(yīng)用例9.偶函數(shù)f (x)在(0 , + g)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f log 2( x2+5x+4)0解：t f(2)=0,二原不等式可化為 f log 2( x2+5x+4) > f(2) o又T f (x)為偶函數(shù)，且f (x)在(0 , +g)上為增函數(shù)， f (x)在(一g ,0)上為減函數(shù)且 f( 2)=f (2)=0 o二不等式可化為log

20、2(x2+5x+4) > 2或log 2(x2+5x+4) < 2由得 x2+5x+4>4,二 x< 5 或 x >02 1由得0v x +5x+4W 得45105.10<xv 4 或一1<x<2 2由得原不等式的解集為x| x< 5 或亠一0 < x< 4 或1 <x w一衛(wèi)或 x>0 o2 2例10.奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)在0, +g上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m使f(cos2B 3)+f(4m 2m(os 9 )>f (0)對所有B 0,都成立？假設(shè)存在，求出符 2合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，假

21、設(shè)不存在，說明理由-解： f (x)是R上的奇函數(shù)，且在0，+g上是增函數(shù)， f (x)是R上的增函數(shù)，于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f (cos2 9 3)>f(2m©s 9 4m)，即 cos2 9 3>2moos 9 4m 即 cos2 9 m(os 9 +2m- 2>0。設(shè)t =cos 9 ,那么問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)2g(t) =t2 mt+2m-2=(t m )2 +2m-2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在240，1 上的最小值為正-.當(dāng) m<0,即 m<0 時(shí)，g(0)=2 m- 2>0m>1 與 m<0 不符;22g

22、( n)= +2m- 2>04 2 . 2 vir<4+2 . 2，當(dāng)0w w 1時(shí)，即0w me 2時(shí)，2 4 2 2 <nW 2當(dāng) m>1,即 m>2 時(shí)，g(1)= rnn 1>0 n>1。2 m>2綜上，符合題目要求的 m的值存在，其取值范圍是m>4-2. 2。另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況)：cos2 9 - mosB +2m- 2>0對于0,恒成立，等價(jià)于2m>(2 cos2 9 )/(2 cos 9 )對于 9 0, _ 恒成立2當(dāng) 9 0,時(shí)，(2 cos2 9 )/(2 cos 9 ) < 4 2 2，二

23、n>4 2 2。2點(diǎn)評：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問題和不等式的求解問題題型六：最值問題例11.( 2021江蘇卷)(本小題總分值16分)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) 2x2 (x a)|x a|.(1) 假設(shè)f (0)1，求a的取值范圍；(2) 求f (x)的最小值；(3) 設(shè)函數(shù)h(x) f (x),x (a,)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x) 1的解集解本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等根底知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力?？偡种?6分(1)假設(shè) f (0)1，那么 a|a|(2)當(dāng)x a時(shí)

24、,f(x)3x22ax a2,f(x)minf (a),a,a22a ,a 0 2a2,a 03當(dāng)x a時(shí),f(x) x2ax,f ( X)minf ( a), af (a),a002a2, a 02a2,a 0綜上 f (x)min2a2 ,a2a2,a(3) x(a,)時(shí)，h(x)1 得 3x22ax a210，0,x(a,a 時(shí)， >0,得：(x a 3 2a )(x2討論得:)時(shí)，解集為(a,);時(shí)，解集為(壽33 2a a3 2a2);12.2時(shí)，解集為f 3 2).設(shè) m是實(shí)數(shù)，記 M=n|m>1, f(x)=log(1) 證明：當(dāng)m M時(shí)，f(x)對所有實(shí)數(shù)都有意義；

25、反之，假設(shè) M(2) 當(dāng)M時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(3) 求證：對每個(gè)r M函數(shù)f (x)的最小值都不小于1。(1)證明：先將 f(x)變形：f(x)=log3 (x 2n)2+n+m 12 2 13( x 4mxMm+n+ mf (x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，那么1)。2i當(dāng) m M時(shí)，m>1, a (x m +m+>0 恒成立,m 1故f(x)的定義域?yàn)镽反之，假設(shè)f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，那么只須2 2 1x 4mxMm+n+>0。m 11令<0，即 16m 4(4m+m+) v 0，解得m 1(2)解析：設(shè) u=x2 4mxMm+n+，m 1m>1，

26、故 m Mt y=log 3u是增函數(shù)， 當(dāng)u最小時(shí)，f (x)最小。2 1而 u=(x 2m) +m+，m 1顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為1 nt m 11 此時(shí)f (2 n)=log 3( 二 )為最小值。m 11 1(3) 證明：當(dāng) m M時(shí)，=( m 1)+m 1m 1當(dāng)且僅當(dāng)mr2時(shí)等號成立。 log 3( n+)> log a3=1-點(diǎn)評：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題, 進(jìn)行處理題型七：周期問題考生需要結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來例13.函數(shù)y f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T 5，函數(shù)y f(x)( 1 x 1)是奇函數(shù) 又知y f(x)在0,1上是一次函數(shù)，在

27、1,4上是二次函數(shù)，且在x 2時(shí)函數(shù)取得 最小值5。 證明：f(1) f(4) 0 ； 求y f(x), x 1,4的解析式； 求y f(x)在4,9上的解析式。解：f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，f(4)f(45) f( 1)，又 yf (x)(1x 1)是奇函數(shù), f(1)f(1)f(4)， f(1)f(4)0。 當(dāng)x 1,4時(shí)，由題意可設(shè)f (x) a(x 2)2 5 (a 0)，由 f(1) f (4)0 得 a(1 2)2 5 a(42)250， a 2， f(x) 2(x 2)25(1 x 4)。 I y f (x)( 1 x 1)是奇函數(shù)， f(0)0，又知y f (x)在0,1上是一次函數(shù)，可設(shè) f (x) kx(0 x 1)，而 f (1)