小波變換與尺度函數(shù)

1、小波分析里，很容易混淆的一個概念就是 小波函數(shù)(wavelet function ) 和尺度函數(shù)(sealing function )的關系。本文將不涉及小波分析的由來及發(fā) 展歷史，也不談小波分析應用，本文主要目標僅是試著解釋清楚小波函數(shù)和尺 度函數(shù)兩者的關系，同時也解釋一些小波分析中的其他必要相關概念。當然， 要更好理解小波分析，一些 傅里葉變換的知識是必要的。我們知道，傅里葉變換分三種不同但又緊密相連的形式：1，積分傅里葉變換，時域頻域都連續(xù)；2，傅里葉級數(shù)展開，時域連續(xù)，頻域離散；3，離散傅里葉變換，時域頻域都離散。同樣，在小波分析中，也有三種類似的形式。積分(連續(xù))小波變換(CWT)，

2、小波級數(shù)展開，以及離散小波變換(DWT )。先看看連續(xù)小波變換，連續(xù)小波正變換為1:7(syT)= I亠 (1)逆變換為:(2)f(t)=其中*號表示復共軛，一廠亠為小波基函數(shù)(basis function ) 不同小波基函數(shù)，都是由同一個 基本小波(basic wavelet ) ® (t),經縮放和平移生成，即：1(t-z(3)Qe £ 丿傅里葉變換把一個信號f(t)分解為一系列不同頻率正弦型信號的疊加，而傅里葉 變換系數(shù)就代表不同正弦型信號的幅值。其中，所有正弦型基函數(shù)都由傅里葉基函數(shù)生成。類似于傅里葉基函數(shù)，所有小波基函數(shù)也由同一個基本小波生成2。不同的是，傅里葉基

3、函數(shù)是固定的正弦型信號，而基本小波并未指定，需 要根據(jù)實際的信號形式，在滿足基本小波約束條件下進行設計?？梢钥吹?，連續(xù)小波變換采用積分形式，而實際應用中，我們計算的都是采樣 后的信號，也需要通過離散形式來處理和表達，所以更加有用的是時域頻域都 離散的DWT，離散小波變換。但是離散小波變換的計算將引入三個問題：1，數(shù)據(jù)冗余。觀察式(1)，可以看到，小波變換將一個一維信號變換為二維 小波系數(shù)。同樣，若信號是二維，變換后將得到三維小波系數(shù)。這反映了小波 變換的優(yōu)點，變換不僅具有傅里葉變換的頻域分辨率，同時具有了時域或空域 分辨率。但是一維信號用二維系數(shù)來表達，這就意味著必然有很大的冗余性。2，與數(shù)據(jù)

4、冗余緊密相連的就是 CWT中無限數(shù)量小波的問題。從式(3)中看 出，即使我們把平移量 T和縮放量S都離散化，仍將是一個無限的序列，無法 實際應用。矩陣形式表達這個問題就是y=Wx，W為小波基函數(shù)矩陣，x為小波系數(shù)，y為離散信號向量。這種冗余性表現(xiàn)之一就是W中列數(shù)遠多于行數(shù)。相比較，傅里葉變換中的 W為一個正交歸一矩陣。3，對大多數(shù)信號來說，小波變換得不到解析解，所以只能通過數(shù)值算法得到。 這樣，就需要一個快速計算方法，來進行小波信號分解(decomposition )。第一個問題，可以通過引入 二進小波(Dyadic wavelet )來解決。二進小波， 把由基本小波生成小波基函數(shù)的方式表達為

5、：二八:f( 4)式中j決定縮放，k決定平移幅度。這樣得到的二進形式小波基函數(shù)。但是問題 并沒有解決，這樣的小波基函數(shù)，仍然在 j和k兩個維度上無限延伸。所以我 們進一步引入 緊支二進小波(compact dyadic wavelets )的概念。如果把函數(shù)f(t)和基本小波限制為僅在0,1區(qū)間內有非零值，在0,1區(qū)間外為零 的函數(shù)(解釋：如果f(t)不滿足此條件，可以通過對f(t)的縮放平移，使其滿 足，然后再設計相應的基本小波。關于為什么強加這樣一個區(qū)間限制，將在后 面講述)。緊支二進小波表達為：(5)其中， J -。j是滿足匸-的最大整數(shù)。比如n=3時對應著j=1且k=1。相應的函數(shù)的表

6、達改為:g=工q以)g( 6)這樣在小波變換后就不會出現(xiàn)增維現(xiàn)象。但是仍然沒有解決無限系數(shù)的問題。 于是在解決后兩個問題的過程中，引入了尺度函數(shù)。不過在討論尺度函數(shù)之前，還需要解釋其他幾個相關概念，包括 濾波器族(Filter Bank )，子帶編碼(Subband Coding )，多分辨率分析(Multi-Resolution Analysis，MRA)。濾波器族：下圖是一系列帶通濾波器的頻域圖。圖(1)一個信號離散信號x(n)經過這一系列帶通濾波器濾波后，將得到一組系數(shù)Vi( n)。如下圖所示：比Vj/l圖（2）這樣，我們就把一個信號分解成了不同頻率的分量。只要這些帶通濾波器的頻 率能夠

7、覆蓋整個原信號x（n）的頻譜范圍，反變換時，把這些不同頻率信號，按 其分量大小組合起來，就可得到原信號 x（ n）。這樣一組帶通濾波器就稱為濾波 器族。濾波器族能實現(xiàn)將信號分為不同頻率分量，從而實現(xiàn)分解信號并分析信號的目 的。但是在濾波器族的計算中，我們需要指定頻域分割方式。研究者們給出了 一種分割方式，即均分法，從而引出了 子帶編碼的概念。子帶編碼：子帶編碼通過使用均分頻域的濾波器，將信號分解為若干個子帶 2。這樣是可 以實現(xiàn)無冗余且無誤差地對數(shù)據(jù)分解及重建目的。但是 Mallat在1989年的研 究表明，如果只分為2個子帶，可以實現(xiàn)更高效的分解效率。從而引入了 多分 辨率分析（MRA）。多

8、分辨率分析：如果子帶編碼時將信號帶寬先對分為高通（實際為帶通）和低通兩個部分，對 應于兩個濾波器。然后對低通部分繼續(xù)等分。下圖為子帶編碼示意圖。LPB圖（3）LPB卜2B卡4BE34B2B2BE34B從圖中看出，每次分割保留高通部分的濾波結果，因為這里已經是信號的細節(jié) 了，而且通常我們分析的信號，其絕大部分能量都在低頻部分。所以高頻部分 的分割可以到此為止，但是低通部分仍然有更多的細節(jié)可以劃分劃分出來，所 以將低通部分繼續(xù)等分。分割迭代進行。這樣做的優(yōu)點是，我們只需要設計兩個濾波器，然后每次迭代將其對分。缺點 是，頻域的分割方式確定。對于某些信號來說，這樣的劃分并不是最優(yōu)的。同 時，可以看到，

9、我們上面說的二進小波，使用的正是這樣一種多分辨率分析方式。根據(jù)傅里葉變換的相似性定理：二fF 一冋a丿（7）則隨著式（5）中n的增大，縮放尺度j在增大，此時時域的函數(shù)將被壓窄，同 時對應的頻域傅氏變換將帶寬加倍同時中心頻譜位置也加倍?？捎上聢D表明。 圖中為j在逐漸增大過程中，對應頻譜發(fā)生的改變1。scaling function spectrum (<p)sriprtra山】圖（4）這里仍然有個問題。每次都將頻譜分為剩下的一半，那實際上，我們永遠也取 不到整個頻段。就好比一杯水，每次都只許喝一半，那將永遠無法把它完全喝 完（除非喝到了原子級別，無法再分為一半）。所以，這樣分割后的函數(shù)仍然

10、 是無限多的。為解決這個問題，終于引出了我們最初想討論的 尺度函數(shù)的概 念。尺度函數(shù)：在上圖中，我們對頻域進行分割，當分割到某個頻率j時，不再繼續(xù)分割了，剩下的所有低頻部分由一個低通濾波器來表示，這就可以實現(xiàn)對信號頻譜的完整分割。這個剩余低通濾波器就是尺度函數(shù)。事實上，很容易看出，尺度函數(shù)無非就是某級多分辨率分析中的低通濾波器。也就是圖（3 ）中最下面一級的LP。那么現(xiàn)在可以看看能不能確定縮放系數(shù)j的范圍。如果信號被采樣為 N個樣本（設我們采樣時，把N定為2的幕指次方），那么應滿足jvlog2（N）。原因是 由于上面在緊支二進小波那里所講的0,1區(qū)間限制。由于基本小波和函數(shù)f（t）在 0,1區(qū)

11、間外取零，所以假設j=log2（N），那么由于緊支二進小波中規(guī)定 刃=2'+立，則k=0，小波函數(shù)非零值區(qū)間應滿足P勁+疋"所以0<i<l而信號均勻采樣后，兩個樣本間的距離也是1/N，這就是說，低通濾波器在時域的寬度將等于采樣數(shù)據(jù)間距。所以，用這樣一個低通濾波器同信號卷積（也 就是濾波）時，計算將永遠只涉及一個采樣點，從而失去了低通濾波器對多個 采樣點取加權平均的作用。當j>log2（N）時，低通濾波器寬度將小于采樣間距，同樣無法實現(xiàn)低通濾波的作用。所以我們就得到了尺度j的取值上限。這也解釋了為什么緊支二進小波要對信號和基本小波有取值區(qū)間限制。而尺度j的下限

12、，應如上述引入尺度函數(shù)處所講，取為同尺度函數(shù)寬度相同的 值。從而實現(xiàn)小波函數(shù)和尺度函數(shù)共同分割信號頻域的目的。這樣，從CWT到DWT的前兩個問題都得到了解決?，F(xiàn)在，任何一個信號的頻譜都可由一系 列小波函數(shù)® (t和一個尺度函數(shù)© (t實現(xiàn)完全分害嘰那相應的信號重建，即式(6)可表達為3:£f<f)=咖© + V cni/n )g(8)也就是說，信號分解為尺度函數(shù)系數(shù)和小波函數(shù)系數(shù)兩部分。還有最后一個問題，就是快速的小波分解算法。也就是說，怎么才能根據(jù)尺度 函數(shù)和小波函數(shù)，得到相應分解系數(shù)。沒有一個快速的算法，小波分析仍然無 法應用在實際中。關于這個

13、問題，Mallat在1989年的MRA建立過程中，給出了一個快速算法，魚骨算法(Herringbone algorithm )。同時，我們也要引入 尺度向量(Scali ng Vector )的概念。首先，我們明確一下尺度函數(shù)和小波函數(shù)索引j的關系。如圖(4)中j=n-1處，我們把包括j=n-1及更大頻率部分都用小波函數(shù)表達，以下部分用一個尺 度函數(shù)表達。這時，尺度函數(shù)和小波函數(shù)都稱為在尺度j下的函數(shù)。也就是說，尺度j的尺度函數(shù)和尺度j及其以上的所有小波函數(shù)，可以覆蓋整個頻域。 這樣，如果一個函數(shù)f(t)的頻譜范圍在頻域尺度j-1內，那該函數(shù)可表達為j-1 尺度下尺度函數(shù)(低頻)和小波函數(shù)(高

14、頻)濾波(卷積)的輸出，即：佝二二A-L 3)血2戸f ") +工加3妙Tf -紛丘(9)其中入和y分別為尺度函數(shù)系數(shù)和小波函數(shù)系數(shù)。類似于傅里葉級數(shù)展開，它們由函數(shù)分別同尺度函數(shù)及小波函數(shù)內積得到，加(小(10)從圖（4）中可以看到，女口 j=n-3下的尺度函數(shù)頻譜等同于j=n-2下尺度 函數(shù)頻譜對分后的低頻部分。推而廣之，我們可以說，某個尺度j下的尺度函數(shù)，可以表達為j+1下尺度函數(shù)與一個低通濾波器作用（卷積）后的結果。即1:0（2®二V知£備區(qū)2叫-k）T ''（11）這個關系表達了兩個相鄰尺度下，尺度函數(shù)間的關系，因此稱為雙尺度關系（two

15、-scale relation ），或多分辨率公式（multiresolution formulation ）。同 理，還可從圖（4）中看出，尺度j下的小波函數(shù)可由尺度j+1下的尺度函數(shù)經 一個高通濾波器作用（卷積）后得到，対（2心）=V g肝他冰2叫-k）T（12）如果我們把式（10）中的©和W分別用式（11）和式（12）中的表達進行替換（推導過程省略，感興趣的請參閱1），我們將得到一個重要表達式1:見=2k）a.O）T（13）Yj-iW =工畧（朋-弘地（翻）”（14）這個表達式說明，尺度j-1下的小波函數(shù)系數(shù)和尺度函數(shù)系數(shù)都可以通過上一 個尺度j下的尺度函數(shù)系數(shù)分別經過低通濾波

16、器h（k）和高通濾波器g（k）得到。注意式（13,14）中的離散性質，說明h（k）和g（k）僅僅是一個固定的離散的數(shù) 列，這個數(shù)列h（k）就是傳說中神奇的 尺度向量（scaling vector ）。式（13,14）的過程如下圖所示：圖(5)也就是說，式(13,14)中，每當k增加一個單位時，濾波器h和g將平移兩 個單位。由于入是上一級低通濾波器的輸出系數(shù)，所以也只在一定范圍內非零。這樣，h或g將以兩倍的速度移出 入的非零取值區(qū)。換句話說，式(13,14 )為對上一級j下入的間隔采樣。計算后j-1級的入和y將只有j級時 一半數(shù)量的采樣點。如果我們把采樣后的信號f(i A)看作最高一級j下的尺度

17、函數(shù)系數(shù) j當我們已經得到函數(shù)h(k)和g(k)時，就可以利用式(13,14 )對信號進行分解，迭代進 行，于是得到不同頻率下的小波系數(shù)。這樣，知道了h(k)和g(k)，就不需要明確求出小波函數(shù)和尺度函數(shù)，離散小波分解過程也變成了簡單的求內積(式(13,14 )。這就是Mallat的魚骨算法(因為這個過程，層層分解，像圖(3)右魚骨頭一樣)，一個快速小波系數(shù)分解計算過程。于是，到這里，我們的第三個問題也得到了解答?？偨Y一下，從CWT到DWT的三個問題，第1個問題：維數(shù)冗余，通過緊支二進小波解決。第2個問題：無限延伸，通過引入尺度函數(shù)解決。第3個問題：快速算法，通過多分辨率分析解決。這樣，在計算

18、DWT時，我們就有兩種方法：1，構造出尺度函數(shù)和所有小波函數(shù)，通過式(8)直接計算。2，設計低通濾波器h(k)，利用魚骨型算法迭代計算。其中方法2中，只需要設計出一個低通濾波器 h(k)，而方法1需要計算出所有 小波函數(shù)。而且方法2計算過程明確，所以，實際中常常應用方法 2來計算離 散小波變換。到這里，我們必須講講以上兩種計算方法的聯(lián)系，尤其是尺度向量h(k)和尺度函數(shù)的關系。事實上，如我們可以預料到的，知道尺度向量h(k)，我們就可以根據(jù)h(k)構造出g(k)，同時也也能構造出尺度函數(shù) © (x),并利用尺度函數(shù)構造出基本小波®(X)。同樣地，如果已經知道尺度函數(shù)

19、9; (x),也可以構造出其他所有信息。這里順便說一下，小波函數(shù)通常叫做 小波族，英文能更好的反映這個稱呼，叫 做wavelet family 。其中，尺度函數(shù)叫做father wavelet ，基本小波叫做 mother wavelet 。正說明了這種，通過尺度函數(shù)和基本小波，可以得到所有小 波函數(shù)序列的關系。接下來，我們先說說由尺度向量構造尺度函數(shù)的過程。這里，需要引入哈爾尺度函數(shù)(Haar Scali ng Fun ction ) 。 Haar尺度函數(shù)是數(shù)學家 Haar在1910年 提出來的，非常簡單，是一個0,1區(qū)間內為1，區(qū)間外取0的函數(shù)，表達如下0 <1othris(15)而尺度函數(shù)應該滿足三個條件:正交性(OrthononriKlHry)3.尺度關系(ScalingRelation