自動控制原理第五章 第一部分

1、第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法5.1 頻率特性的基本概念5.2 對數(shù)坐標(biāo)圖5.3 極坐標(biāo)圖5.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5 穩(wěn)定裕度5.6 閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性5.7 閉環(huán)系統(tǒng)性能分析5.1 頻率特性的基本概念 5.1.1 定義 5.1.2 頻率特性的表示方法5.1.1 定義 考察一個系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 有時也用正弦波輸入時系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個頻率正弦波輸入時的瞬態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由低到高無數(shù)個正弦波輸入下所對應(yīng)的每個輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。 頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)

2、的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計系統(tǒng)的一個既方便又有效的工具。5.1.1 定義 系統(tǒng)的頻率特性定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關(guān)系。 對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。).()()()()()(21npspspssNsRsCsG式中， 為極點。njpj,.,2 , 1,若：)()(,sin)(22jsjsRsRsRtRtrmmm則則：jskjskpskpskpskjsjsRpspspssNpspspssRsNsCccnnmnn2122112121.)().()()().()()()()(5.1.1

3、定義拉氏反變換為：tjctjctpntptpekekekekektcn2121.)(21若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當(dāng) ，即穩(wěn)態(tài)時：00021tptptpneee，ttjctjcsekektc21)(式中， 分別為：21,cckkjjGRjsjsjsRsGjssCkjjGRjsjsjsRsGjssCkmjsmjscmjsmjsc2)()()()(| )(2)()()()(| )(215.1.1 定義而)()()(| )(| )()(jjGjjseAejGsGjG)(2)(1)(2)(2jmcjmceAjRkeAjRk，jeeRAekektctjtjmtjctjcs2)()()()(21式

4、中：Rm 、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位移動了 。 和 都是頻率的函數(shù)。| )(|)(jGA)()(jG)(A)()(sin()(sin()(tCtRAmm)()()(| )(| )()(jjGjjseAejGsGjG5.1.1 定義定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號的相位差 為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對不同頻率輸入信號的相位移特性； )()(jG| )(|)(jGARCmm定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號的幅值之比 為系統(tǒng)的幅頻特性

5、，它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大特性； 幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個完整的向量 ，它也是 的函數(shù)。 稱為頻率特性。),(jG)()()(jeAjG)(jG 還可將 寫成復(fù)數(shù)形式，即 )(jG)()()(jQPjG這里 和 分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。 )(Re)(jGP)(Im)(jGQ5.1.1 定義由于這種簡單關(guān)系的存在，頻率響應(yīng)法和利用傳遞函數(shù)的時域法在數(shù)學(xué)上是等價的。 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為：jssGjG| )()( 幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：)(cos)()( AP)(sin)()( AQ)()()(22QPA)()()(

6、1PQtg5.1.1 定義結(jié)論：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用j 代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。 到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)js dtds dtdj)(tgL)(1sGL5.1.1 定義 從另一方面，若線性系統(tǒng)在正弦信號輸入作用下，在穩(wěn)態(tài)情況下，輸入輸出都是正弦函數(shù)，可用矢量表示：yxjmjmeCjCeRjR)()(，可見，頻率特性就是輸出、輸入正弦函數(shù)用矢量表示時之比。表示線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下，輸出、輸入正弦信號之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。是頻率域中的數(shù)學(xué)模型。)()()

7、()()(jjmmeAeRCjRjCxy5.1.1 定義 頻率響應(yīng)法的優(yōu)點之一在于它可以通過實驗量測來獲得，而不必推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 事實上，當(dāng)傳遞函數(shù)的解析式難以用推導(dǎo)方法求得時，常用的方法是利用對該系統(tǒng)頻率特性測試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。 此外，在驗證推導(dǎo)出的傳遞函數(shù)的正確性時，也往往用它所對應(yīng)的頻率特性同測試結(jié)果相比較來判斷。 頻率響應(yīng)法的優(yōu)點之二在于它可以用圖來表示，這在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中有非常重要的作用。5.1.1 定義 所以對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實驗方法量測到其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。jssGjG| )()( 頻率特性的推導(dǎo)是在線性定常

8、系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設(shè)條件下得出的。 如果不穩(wěn)定，則動態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)cs(t)，當(dāng)然也就無法由實際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 但從理論上動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 因此可以擴(kuò)展頻率特性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。5.1.2 頻率特性的表示方法2對數(shù)坐標(biāo)圖，也稱伯德(Bode)圖。它是由兩張圖組成，以lg 為橫坐標(biāo)，對數(shù)分度，分別以 20lg|G(j)H(j)| 和 F(j) 作縱坐標(biāo)的一種圖示法。3對數(shù)幅相頻率特性圖，也稱尼柯爾斯(Nichols)圖。它是以相位 F(j) 為

9、橫坐標(biāo)，以 20lg|G(j)H(j)| 為縱坐標(biāo)，以 為參變量的一種圖示法。工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有：1極坐標(biāo)圖，也稱奈奎斯特(Nyquist)圖。是以開環(huán)頻率特性的實部為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)，以其虛部為縱坐標(biāo)，以 為參變量的幅值與相位的圖解表示法。我們主要介紹極坐標(biāo)圖和對數(shù)坐標(biāo)圖5.2 對數(shù)坐標(biāo)圖5.2.1 對數(shù)坐標(biāo)圖及其特點5.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖5.2.3 系統(tǒng)對數(shù)頻率特性的繪制5.2.4 最小相位系統(tǒng)非最小相位 系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖5.2.1 對數(shù)坐標(biāo)圖及其特點1波德圖的坐標(biāo)軸 Bode圖由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成。 橫坐標(biāo)(稱為頻率軸)分度：它是以頻率 的

10、對數(shù)值 log 進(jìn)行線性分度的。但為了便于觀察仍標(biāo)以 的值，因此對 而言是非線性刻度。 每變化十倍，橫坐標(biāo)變化一個單位長度，稱為十倍頻程(或十倍頻)，用dec表示。類似地，頻率 的數(shù)值變化一倍，橫坐標(biāo)就變化0.301單位長度，稱為“倍頻程”，用oct表示。如下圖所示：DecDecDecDec12012.log01. 001 . 0110100由于 以對數(shù)分度，所以零頻率點在處。5.2.1 對數(shù)坐標(biāo)圖及其特點更詳細(xì)的刻度如下圖所示2345678910lg0.000 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.0005.2.1 對數(shù)坐標(biāo)圖及其

11、特點 縱坐標(biāo)分度：對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)以 L()=20logA() 表示。其單位為分貝(dB)。 相頻特性曲線的縱坐標(biāo)以度或弧度為單位進(jìn)行線性分度。 一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個橫坐標(biāo)（頻率軸）。 當(dāng)幅頻特性值用分貝值表示時，通常將它稱為增益。幅值和增益的關(guān)系為：增益=20log (幅值) 幅值A(chǔ)( ) 1.001.261.562.002.513.165.6210.0100100010000對數(shù)幅值20lgA( )02468101520406080幅值A(chǔ)( ) 1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001對數(shù)幅值20lg

12、A( )0-2-4-6-8-10-15-20-40-60-805.2.1 對數(shù)坐標(biāo)圖及其特點2使用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點 可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性。 可以將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算。122111221221)21 ()1 ()21 ()1 ()(njnlllljmksTkkkmiisTsTsTsesssKsGd1221112212212)1()1 ()(2)1()1 ()(njnlllljmkjTkkkmiiTjTjTjeTjTjKjGd5.2.1 對數(shù)坐標(biāo)圖及其特點 所有的典型環(huán)節(jié)的幅頻特性都可以用分段直線(漸近線)近似表示。 對實

13、驗所得的頻率特性用對數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達(dá)式。imijKjGL1lg20lg20)(lg20)(11jnjkkkmkjTjvTjT1lg20lg202)1 (lg20121221lllnlTjT2)1 (lg202212121111221119012)(nkkmkkkkmiiTtgvTTtgtgdnllllTTTtg3 .5712212215.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖1比例環(huán)節(jié)：KsG)(KjG)(logdBL/ )(log)(180180幅頻特性： ；相頻特性： KA)(0)(對數(shù)幅頻特性： 111000lg20)(KKKKL常數(shù)Klog20

14、1K1KKlog201KKlog20001800)(KKK相頻特性： 0K0K5.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖2積分環(huán)節(jié)的頻率特性：sKsG)(jeKKjjKjG2)(,log20log20log20)(log20)(KKAL20)(10; 0)(, 11LLK時，當(dāng)時，當(dāng)2)0()(1KtgKA)(1KdBL/ )()(902040204011010011010010K0)(;log20)(, 10LKKLK時，當(dāng)時，當(dāng)可見斜率為20/dec 當(dāng)有兩個積分環(huán)節(jié)時可見斜率為40/dec 5.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：TtgTKA122)(,1)(1)(TsKsG1)(T

15、jKjG對數(shù)幅頻特性： ，為了圖示簡單，采用分段直線近似表示。方法如下：221log20log20)(log20)(TKAL低頻段：當(dāng) 時， ，稱為低頻漸近線。1TKLlog20)(高頻段：當(dāng) 時， ，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/Dec的直線（表示 每增加10倍頻程下降20分貝）。1TTKLlog20log20)( 當(dāng) 時，對數(shù)幅頻曲線趨近于低頻漸近線，當(dāng) 時，趨近于高頻漸近線。0低頻高頻漸近線的交點為： ，得： ，稱為轉(zhuǎn)折頻率或交換頻率。 TKKlog20log20log20TTo11，5.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍(lán)線是實際曲線。Dec

16、dB/205.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖波德圖誤差分析（實際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當(dāng) 時，誤差為：o2211log20T當(dāng) 時，誤差為：oTTlog201log20222最大誤差發(fā)生在 處，為To1)( 31log20202maxdBTT0.1 0.2 0.5 1 2 510L( ),dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 漸近線,dB 0 000-6 -14 -20 誤差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.045.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖 相頻特性： Ttg1)(作圖時先用計算器計算幾個特殊點：。時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)2)(;4)1

17、(1; 0) 0(0TT由圖不難看出相頻特性曲線在半對數(shù)坐標(biāo)系中對于(0, 45)點是斜對稱的，這是對數(shù)相頻特性的一個特點。T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0( )-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45T2.03.04.05.07.0102050100( )-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4當(dāng)時間常數(shù)T 變化時，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T 的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當(dāng)增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。5.2.2 典型環(huán)節(jié)的

18、對數(shù)坐標(biāo)圖 振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：22222212)(nnnssKTssTKsG討論 時的情況。當(dāng)K=1時，頻率特性為：10TjTjG2)1 (1)(222222)2()1 (1)(TTA22112)(TTtg2222)2()1 (log20)(log20)(TTAL對數(shù)幅頻特性為：低頻段漸近線：0)(1LT時，高頻段漸近線：TTLTlog40)(log20)(1222 時，兩漸近線的交點 稱為轉(zhuǎn)折頻率。0后斜率為-40dB/Dec。To15.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖對 求導(dǎo)并令等于零，可解得 的極值對應(yīng)的頻率 。)(A)(ApTp221該頻率稱為諧振峰值頻率。可見，諧振峰值頻率與阻尼系數(shù)有

19、關(guān)，當(dāng) 時， ；當(dāng) 時，無諧振峰值；當(dāng) 時，有諧振峰值。707. 0210p21212121)(ppAM當(dāng) ， ， 。021)(0A2lg20)(0L因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實際曲線可能有很大的誤差。 2222)2()1 (1)(TTA由幅頻特性5.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性實際曲線與漸近線之間的誤差曲線。DecdB/40當(dāng)0.30.8，誤差約為4.5dB5.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖相頻特性：22112)(TTtg幾個特征點：。)(,;2)(,1; 0)(, 0T相頻特性曲線在

20、半對數(shù)坐標(biāo)中關(guān)于( 0, 90)點是斜對稱的。這里要說明的是當(dāng) 時， ,當(dāng) 時， 。此時若根據(jù)相頻特性的表達(dá)式用計算器來計算只能求出90之間的值(tg-1函數(shù)的主值范圍)，也就是說當(dāng) 時，用計算器計算的結(jié)果要經(jīng)過轉(zhuǎn)換才能得到 。即當(dāng) 時，用計算器計算的結(jié)果要減180才能得到 。或用下式計算)(),1()90()(),1(),1(212111)(TtgTtg5.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖 微分環(huán)節(jié)的頻率特性： 微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：12)(1)()(22TssTsGTssGssG頻率特性分別為：TjTjGjTjGjjG21)(1)()(225.2.2 典型

21、環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖 純微分：2)(log20)(log20)()(ALA5.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖 一階微分：這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸近線的交點為T1相頻特性：幾個特殊點如下2)(4)(10)(0，；，；，T相角的變化范圍從0到 。2低頻段漸近線：0)(log201)(1AAT，時，當(dāng)高頻段漸近線：TLTATlog20)()(1，時，當(dāng)對數(shù)幅頻特性（用漸近線近似）：TtgTA122)(1)(，221lg20)(TL5.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖一階微分環(huán)節(jié)的波德圖一階微分環(huán)節(jié)的波德圖慣性環(huán)節(jié)的波德圖慣性環(huán)節(jié)的波德圖DecdB/20DecdB/205.2.2 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖 二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：221222212)()2()1 ()(TTtgTTA，12)(22TssTsG低頻漸近線：0)(1LT時，高頻漸近線：TTTLTlog40)2()1 (lg20)(1222