《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題答案

1、機(jī) 械 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 復(fù) 習(xí) 題 解 答一、填空題1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- XI)、選擇題的最優(yōu)解時(shí)，設(shè)X° =-0.5,0.5T,第一步迭 代的搜索方向?yàn)榇?,-50T。2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是 尋找搜索方向，二是計(jì)算最優(yōu)步長(zhǎng)。3、當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題是凸規(guī)劃的情況下、任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來(lái)確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)， 它們的函數(shù)值形成高低高 趨勢(shì)。5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問(wèn)題，稱(chēng)為 n 維優(yōu)化問(wèn)題。16、函數(shù)XTHX +BTX +C的梯度為Bo27、設(shè)G為nM對(duì)稱(chēng)正定

2、矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量d°, d,充分條件是 (正定。10、K-T 條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)f (x) =x2 - 10x+36的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間a,b =-10,10,經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為-2.36 10012、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有 設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù) 、約束條件。 13、牛頓法的搜索方向d憶一Hkgk ,其計(jì)算量工，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn) 附近位置。14、將函數(shù) f(X)=x i2+X22-xiX2-10xi-4x2+60 表示成；XT HX + BT X +

3、C 的形式To 15、存在矩陣H,向量d1，向量d2,當(dāng)滿足d1THd且，向量d1和向量d2是關(guān)于H共腕。16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)沸增特點(diǎn)。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求 最優(yōu)步 長(zhǎng)。,滿足(d'TGd1"。，則 d°、d1之間存在共腕關(guān)系。8、設(shè)計(jì)變量、 目標(biāo)函數(shù)、 約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對(duì)于無(wú)約束二元函數(shù)f (X1,X2),若在x0(X10,X20)點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是 1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法

4、B、共腕梯度法C、牛頓型法D、 DFP法2、對(duì)于約束問(wèn)題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷xCLi,iT為, x(2)=g，T為。DA.內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)B.外點(diǎn)；外點(diǎn)C.內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D.外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解 B_優(yōu)化問(wèn)題。A無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題B只含有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題C只含有等式的優(yōu)化問(wèn)題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問(wèn)題4、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為a, b,中間插入兩個(gè)點(diǎn)ai、bi, ai<bi,計(jì)算出f(ai)<f(bi), 則縮短后的搜索區(qū)間為DoA ai, biB bi, bC ai, bD a, bi5、D_不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計(jì)變量B約束條件C

5、目標(biāo)函數(shù)D最佳步長(zhǎng)6、變尺度法的迭代公式為xk+i=xk- okHkVf(xk),下列不屬于Hk必須滿足的條件的是C。A. Hk之間有簡(jiǎn)單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對(duì)稱(chēng)正定7、函數(shù)f(X)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的 A。A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無(wú)約束優(yōu)化方法中， D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒(méi)有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo) 數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標(biāo)輪換法9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上為凸函數(shù)的充分 必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處旦。A 正定B半正定C負(fù)定D半負(fù)定10、下列關(guān)于最

6、常用的一維搜索試探方法 黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是 D,假設(shè)要求在 區(qū)間a, b插入兩點(diǎn) a、02,且 g<02。A、其縮短率為0.618B、oi=b-入(b-a)C、ai=a+ 入(b-a)D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 A方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 _B方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值C方向。A、上升B、下降C、不變D、為零 12、二維目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極小點(diǎn)就是 _BA、等值線族的一個(gè)共同中心B、梯度為0的點(diǎn)C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點(diǎn)13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為B向量。A相切B 正交C成銳角D共腕14、下

7、列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是AoA可用來(lái)求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。D初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)三、問(wèn)答題(看講義)1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別？2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題的基本原理是什么？3、試述數(shù)值解法求最佳步長(zhǎng)因子的基本思路。4、試述求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。5、寫(xiě)出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)值迭代公式，并說(shuō)明公式中各變量的意義，并 說(shuō)明迭代公式的意義。6、什么是共腕方向？滿足什么關(guān)系？共腕與正交是什么關(guān)系？四、解答題1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.

8、5x12+0.5x22-X1X2-2X1的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=-2, 4T,選 代精度£ =0.02(迭代一步)。解：首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù)，計(jì)算當(dāng)前迭代點(diǎn)的 梯度向量值梯度法的搜索方向?yàn)?)，因此在迭代點(diǎn)x(0)的搜索方向?yàn)?2, -6T在此方向上新的迭代點(diǎn)為：把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量的函數(shù)=,可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)新的迭代點(diǎn)為()當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度,因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f( X )=(x i-2)2+(xi-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=2,1T。解1:(注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，

9、解2是修改題目后解法。)牛頓法的搜索方向?yàn)?，因此首先求出?dāng)前迭代點(diǎn)x(0)的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。解2:上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目 的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點(diǎn)x(0)=1,2T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算牛頓法的搜索方向?yàn)?，因此首先求出?dāng)前迭代點(diǎn)x的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：初始點(diǎn)梯度向量：()海色矩陣：海色矩陣逆矩陣：當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋盒碌牡c(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上 ：()=()()=()()=+ = +把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量的函數(shù)+ 令

10、=,可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng),因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。新的迭代點(diǎn)為當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度第二迭代步：因此不用繼續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。這正是牛頓法的二次收斂性。對(duì)正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。3、設(shè)有函數(shù)f(X)=x 12+2x22-2x1X2-4x1,試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。解： 首先利用極值必要條件找出可能的極值點(diǎn)：, 是可能的極值點(diǎn)。正定(或負(fù)定)確認(rèn)極值點(diǎn)。再利用充分條件正定 ,是極小點(diǎn)，極值為 f(X )=-84、求目標(biāo)函數(shù)f( X )=x 12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10 的極值和極值點(diǎn)。解法同上5、試證明函數(shù)f( X )=2x 1 2+5

11、x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3 在點(diǎn) 1 ， 1， -2T 處具有極小值。解： 必要條件：將點(diǎn) 1 ， 1， -2T 帶入上式，可得充分條件=40正定。因此函數(shù)在點(diǎn)1, 1, -2T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問(wèn)題min f(X)=(x i-3)2+(X2-2)2s.t. g1(X)= - X12-X22+ 5>0g2(X)=-xi-2x2 + 4>0g3(X)= X 1 >0g4(X)=X2> 0驗(yàn)證在點(diǎn)X =2, 1T Kuhn-Tucker條件成立。解：首先，找出在點(diǎn)X =2, 1起作用約束：g1(X) =0g2(X) =0g3(X) =2g

12、4(X) =1因此起作用約束為g1(X)、g2(X)0然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起 作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。求解線性組合系數(shù)得到一均大于0因此在點(diǎn)X=2, 1T Kuhn-Tucker條件成立7、設(shè)非線性規(guī)劃問(wèn)題用K-T條件驗(yàn)證X* = 1,0為其約束最優(yōu)點(diǎn)。解法同上8、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)= X1+X2,受約束于： 2、八g1(X)=-X1 +X2 >0g2(X)=X 1 冷寫(xiě)出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為其中：r少2) >r>r(k) >0是一個(gè)遞減的正值數(shù)列產(chǎn)= Cr(k-1),0<C<

13、1因此罰函數(shù)為：9、已知目標(biāo)甲為 f(X)=( xi-1)2+(x2+2)2受約束于：g1(X)=-X 2-X1-1 > 0g2(X)=2-X 1-X2>0g3(X)=X 1 >0g4(X)=X2 >0 試寫(xiě)出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上10、如圖，有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長(zhǎng)為 X的方塊并折轉(zhuǎn)，造一 個(gè)無(wú)蓋的箱子，問(wèn)如何截法(X取何值)才能獲得最大容器的箱子。試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的 數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm3的平底無(wú)蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最 少，試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用MATL

14、AB軟件求解的程序。12、一根長(zhǎng)l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問(wèn)應(yīng)以怎樣的比例截?cái)?鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB軟件求解的程序。13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及 用MATLAB軟件求解的程序。14、薄鐵板寬20cm,折成梯形槽，求梯形側(cè)邊多長(zhǎng)及底角多大，才會(huì)使槽的斷面積最大。寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解(寫(xiě)出 M文件和求解命令)。15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長(zhǎng)度為 c,高度為h,面積A=64516mm2,斜邊與底 邊的夾角為9,見(jiàn)圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長(zhǎng) s的倒數(shù)成比例關(guān)系（s只包括 底邊和兩側(cè)邊，不計(jì)頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模