經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策論文

1、基于馬爾科夫鏈的企業(yè)經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策2009 級MPM班 魏錕 2009211053063摘要：討論了我國企業(yè)的發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢，針對企業(yè)中常見的經(jīng)濟(jì)問題，建立相應(yīng)的馬爾科夫鏈模型，并運(yùn)用馬爾科夫鏈的相關(guān)理論為企業(yè)的經(jīng)濟(jì)活動進(jìn)行了定量的研究，同時(shí)也闡述了馬爾科夫鏈在經(jīng)濟(jì)預(yù)測中的基本思想、應(yīng)用、模型預(yù)測的結(jié)果說明。實(shí)例表明，馬爾科夫鏈模型及方法在企業(yè)經(jīng)濟(jì)活動分析中是可行和適用的，可廣泛應(yīng)用于解決企業(yè)中常見的預(yù)測及決策問題。 關(guān)鍵詞：馬爾科夫鏈；市場預(yù)測；平均利潤預(yù)測；轉(zhuǎn)移概率矩陣 1 引言 馬爾科夫鏈最初由俄國數(shù)學(xué)家Markov 于1906年的研究而得名,Kolmogorov， Feller 和Do

2、ob 等數(shù)學(xué)家繼續(xù)發(fā)展了這一理論，它是隨機(jī)過程的重要組成部分，同時(shí)它在自然科學(xué)、工程技術(shù)、金融及經(jīng)濟(jì)管理等各領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用 1 。隨著我過社會主義市場經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，經(jīng)濟(jì)管理體制改革的深入和企業(yè)經(jīng)營機(jī)制的轉(zhuǎn)變，企業(yè)不僅要利用經(jīng)濟(jì)活動分析這一管理經(jīng)濟(jì)的重要方法，分析企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營活動，而且還要分析企業(yè)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境，了解國內(nèi)外市場情況和社會需求的變化，以便隨著其不斷變化，及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)經(jīng)營活動，增強(qiáng)競爭力，從而使企業(yè)能夠適應(yīng)商品經(jīng)濟(jì)的要求而健康發(fā)展。因此，企業(yè)的經(jīng)濟(jì)活動分析在企業(yè)的經(jīng)營管理中發(fā)揮著日益重要的作用，它對事后實(shí)事求是地分析、總結(jié)企業(yè)完成的經(jīng)濟(jì)活動和事前科學(xué)地預(yù)測、判

3、斷企業(yè)未來的經(jīng)濟(jì)活動都是必不可少的 2 。一般情況下，經(jīng)濟(jì)預(yù)測的定量方法要用到數(shù)學(xué)模型，而定性方法則不需要。馬爾可夫鏈為經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中運(yùn)用數(shù)學(xué)模型對定性問題進(jìn)行預(yù)測提供了一種思路，豐富了經(jīng)濟(jì)預(yù)測方法的內(nèi)容。企業(yè)是一個(gè)動態(tài)變化的系統(tǒng)，在這一系統(tǒng)中，有一些變量和因素會隨時(shí)間的推移而不斷的隨機(jī)變化。而馬爾科夫鏈預(yù)測法又是一種適用于隨機(jī)過程的科學(xué)、有效的動態(tài)預(yù)測方法，它立足于當(dāng)前通過市場調(diào)查等途徑所獲現(xiàn)實(shí)資料的基礎(chǔ)上，運(yùn)用馬爾科夫鏈的基本原理和方法對數(shù)據(jù)資料進(jìn)行運(yùn)算得出預(yù)測結(jié)果，因此很適用于企業(yè)的經(jīng)濟(jì)預(yù)測。本文就是運(yùn)用馬爾科夫鏈理論建立了一系列預(yù)測模型，使之能夠給企業(yè)提供更大的幫助。2 馬爾科夫鏈預(yù)測的基

4、本思想 人們常把是事物的隨機(jī)變化稱作馬爾科夫過程。它具有無后效性，即事物的將來呈什么狀態(tài)、取什么值，僅與它現(xiàn)在的狀態(tài)和取值有關(guān)，與它以前的狀態(tài)和取值無關(guān)。馬爾科夫鏈則是事物在連續(xù)一段時(shí)期內(nèi)若干馬爾可夫過程的總稱，表明事物狀態(tài)由過去到現(xiàn)在、由現(xiàn)在到將來，一環(huán)接一環(huán)，像一根鏈條。在預(yù)測領(lǐng)域，人們用其對預(yù)測對象各個(gè)狀態(tài)的初始分布和各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行研究，描述狀態(tài)的變化趨勢，并由此來預(yù)測未來 3 。2.1 把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)看作一個(gè)完整的系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)進(jìn)行科學(xué)的狀態(tài)劃分，至少劃分出兩個(gè)狀態(tài)，根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際和需要也可以劃分出多個(gè)狀態(tài)。狀態(tài)可以是連續(xù)的，也可以是離散的，而系統(tǒng)所劃分出的各個(gè)狀態(tài)就是要預(yù)測的內(nèi)

5、容。 2.2 對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象各種狀態(tài)的當(dāng)前狀態(tài)概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)測定，即判定出系統(tǒng)當(dāng)前處于什么狀態(tài)。 2.3 對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)未來發(fā)展的每次轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行測定，即確定出系統(tǒng)是如何進(jìn)行轉(zhuǎn)移的。若在未來較長時(shí)間內(nèi)是平穩(wěn)發(fā)展轉(zhuǎn)移的，則系統(tǒng)狀態(tài)的每次轉(zhuǎn)移會保持相同的轉(zhuǎn)移概率；若在未來較長時(shí)間內(nèi)是起伏震蕩的，則狀態(tài)每轉(zhuǎn)移一次就需要對轉(zhuǎn)移概率測定一次。狀態(tài)每次轉(zhuǎn)移的時(shí)間間隔可以按月、季、年劃分，時(shí)間可以連續(xù)也可以離散。2.4 根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的各狀態(tài)概率和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率運(yùn)用矩陣的方法，推演出系統(tǒng)經(jīng)過若干次轉(zhuǎn)移后，仍可保持在各狀態(tài)的概率是多大。決策者可以根據(jù)對系統(tǒng)未來的狀態(tài)可能性放的預(yù)測做出當(dāng)前的決策，從而為搞好經(jīng)濟(jì)管理提

6、供服務(wù) 4 。3 馬爾科夫鏈的數(shù)學(xué)原理和基本特性 3.1 馬爾科夫鏈 3.1.1 所謂馬爾科夫鏈(簡稱馬氏鏈)是指一類時(shí)間參數(shù)離散、狀態(tài)空間為可列集或有限集且具有馬氏性（也稱無后效性）的隨機(jī)過程 5 。通俗地講，設(shè)E=0，1， 2，為隨機(jī)變量的狀態(tài)空間，Xn ，n=0，1，2，是時(shí)間參數(shù)為n 的隨機(jī)過程。若對任意時(shí)間參數(shù)n 及任意i0 ，i1 ，in-1 ，i，jE，條件概率滿足(1) 式則稱Xn為馬爾科夫鏈。PXn+1=jX0=i0 ，X1=i1 ，Xn-1=in-1 ，Xn=i=PXn+1=jXn=i=pij(n) (1) 式中：pij(n)為時(shí)刻 n 的一步轉(zhuǎn)移概率，簡稱為轉(zhuǎn)移概率。若

7、pij(n)與 n 無關(guān)，則稱該馬爾科夫鏈?zhǔn)驱R次的，并記pij(n)為pij , =(pij)為轉(zhuǎn)移概率矩陣。令時(shí)刻 n 系統(tǒng)在各狀態(tài)的概率分布為 n=( n(0)， n(1)，)，則有 6 k= 0 Pk (k=1，2，n) (2) 3.1.2 設(shè)Xn ，n0為齊次馬爾科夫鏈，其狀態(tài)空間為 E。對于任意 iE，如果該集合n： pii (n) 0，n1非空，則稱該集合的最大公約數(shù) d=d(i)為狀態(tài) i 的周期。若d1 就稱狀態(tài) i 為有周期的，且周期為d；若d=1 就稱狀態(tài)i 為非周期的。如果馬氏鏈的狀態(tài)空間不可約，則該馬氏鏈稱為不可約的。3.1.3 設(shè)馬爾科夫鏈Xn有轉(zhuǎn)移概率矩陣 =(pi

8、j)，若存在一個(gè)概率分布 j ，j 0，其滿足 j= i pij ， i，j=0，1，2， 則稱 j ，j0為該馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布。 由該定義，若 = 0 ， 1 ， 為平穩(wěn)分布，則 =p3.1.4 若Xn為齊次馬爾科夫鏈，則稱P（Xn+k=xjXn=xi）為Xn從狀態(tài)xi 到狀態(tài) xj 的 k 步轉(zhuǎn)移概率，記作 pij(k)；稱以 pij(k)（xi，xjE）為元素的矩陣為Xn 的k 步轉(zhuǎn)移矩陣，記作P（k），特別地，將一步轉(zhuǎn)移概率和一步轉(zhuǎn)移矩陣分別記為pij 和P。 3.2 馬爾科夫鏈的基本特性3.2.1 通過(1)式可以看出具有馬爾科夫性的隨機(jī)變量 X n 所處的狀態(tài)僅與隨機(jī)變量所處狀

9、態(tài)有關(guān)，而與前期隨機(jī)變量X n+1 所處狀態(tài)無關(guān)。 3.2.2 平穩(wěn)分布性即具有馬氏性的概率分布 i ，i I ，一定滿足 (i)= i pij ， i，j=0，1，2， 其中Pij 為該隨機(jī)過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，I 為狀態(tài)空間的集合。 3.2.3 遍歷性。若對于一切 i，jE，極限 lim pij (n) =pj0(n)存在，則稱該馬爾科夫鏈具有遍歷性。馬爾可夫鏈的遍歷性說明，不論從哪個(gè)狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過充分大的轉(zhuǎn)移步數(shù)后，到達(dá)狀態(tài)j 的概率接近于正常數(shù)pj。 3.2.4 狀態(tài)相通性。即具有馬爾可夫性的隨機(jī)過程無論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何，通過有限的轉(zhuǎn)移步數(shù)后，一定可以到達(dá)同一個(gè)狀態(tài)。用數(shù)學(xué)表示就是隨機(jī)過

10、程 X(t)，tT，無論其初始狀態(tài)是i 或者j，經(jīng)過一定步數(shù)后一定可以到達(dá)k 狀態(tài)，只是轉(zhuǎn)移的方向和步數(shù)不同。 3.4 馬爾科夫鏈模型的矩陣表示G(n)=G(o)p n (1)G(n):經(jīng)過n 次轉(zhuǎn)移后，系統(tǒng)的狀態(tài)概率矩陣 G(o):系統(tǒng)的狀態(tài)概率矩陣p:系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 n:系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移次數(shù) 若把現(xiàn)象的各個(gè)狀態(tài)也表示在模型之中，則模型(1)可表示為如下的(2)式： 設(shè) G(n)=(ai)n ，i=1，2，mG(o)=(bi)n , i=1，2，mpn=pijn則(ai)n=(bi)n* pij n (2) 公式(2)與(1)表示的含義完全相同，只是更直觀一些，其中：i=1，2， m

11、表示系統(tǒng)有m 個(gè)狀態(tài)。 ai 表示各狀態(tài)概率(ai)n 表示系統(tǒng)經(jīng)過n 次轉(zhuǎn)移后各狀態(tài)的狀態(tài)概率矩陣(bi)n 系統(tǒng)的初始概率矩陣 Ij 表示系統(tǒng)由狀態(tài)i 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j。4 馬爾科夫鏈在經(jīng)濟(jì)預(yù)測中的應(yīng)用 一個(gè)龐大而復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)一般總會受到多方面的不確定因素的影響，因此可將它看作一個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)，而且這種系統(tǒng)的演變過程往往具有無后效性，這樣就可視之為一個(gè)馬爾科夫鏈，從而可用有關(guān)馬爾科夫鏈的理論來分析企業(yè)的各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動 7 。4.1 市場占有率 設(shè)某地有 1600 戶居民，某產(chǎn)品只有甲、乙、丙三個(gè)廠家在該地銷售。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，8 月份買甲、乙、丙三廠的戶數(shù)分別為 480、320、800。9 月份，原買甲的

12、有48 戶轉(zhuǎn)買乙產(chǎn)品，有96 戶轉(zhuǎn)買丙產(chǎn)品；原買乙的有32 戶轉(zhuǎn)買甲產(chǎn)品，有64 戶轉(zhuǎn)買丙產(chǎn)品；原買丙的有64 戶轉(zhuǎn)買甲產(chǎn)品，有32 戶轉(zhuǎn)買乙產(chǎn)品。于是得到狀態(tài)空間E=1、2、3(狀態(tài)1、2、3 分別代表甲、乙、丙)，其頻數(shù)轉(zhuǎn)移矩陣為 N=用頻率估計(jì)概率，以上矩陣N中各行元素之和除N中相應(yīng)行的元素，得轉(zhuǎn)移概率矩陣為 P= 此模型的初始概率分布(即初始市場占有率)為 (p1，p2，p3)=(480/1600，320/1600，800/1600)=(0.3，0.2，0.5) 由初始概率分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣P，可以計(jì)算出9 月份市場占有率為 (0.3，0.2，0.5) =(0.27，0.19，0.54

13、)類似地，可以計(jì)算出12 月份市場占有率為 (0.3，0.2，0.5) P(4) =(0.2319，0.1698，0.5983) 從轉(zhuǎn)移概率矩陣可以看出，該鏈?zhǔn)遣豢杉s、非周期的有限(狀態(tài))馬氏鏈，故必存在平穩(wěn)分布，且 1=0.7 1+0.1 2+0.08 3 2=0.1 1+0.7 2+0.04 3 3=0.2 1+0.2 2+0.88 3 1+ 2+ 3=1則可解得當(dāng)顧客流如此長期穩(wěn)定下去時(shí)，市場的占有率(即其平穩(wěn)分布)為( 1 ， 2 ， 3)=(0.219，0.156，0.625)4.2 商品銷售情況預(yù)測 用馬爾可夫鏈預(yù)測的最簡單類型是預(yù)測下一期最可能出現(xiàn)的狀態(tài)。 設(shè)某商品在市場上銷售情

14、況共有 24 個(gè)季度的數(shù)據(jù)(“1”表示暢銷、“2”表示滯銷) 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 并假設(shè)該商品的銷售狀態(tài)滿足齊次馬爾科夫性。 試確定銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣；如果現(xiàn)在是暢銷，試預(yù)測這以后第四個(gè)季度的銷售狀況；如果影響銷售的所有因素不變，試預(yù)測長期的銷售狀況。在上面的24 個(gè)銷售數(shù)據(jù)中，1(暢銷)出現(xiàn)15 次，2(滯銷)出現(xiàn)9 次，而且11 有7 次，12 有7 次。又因?yàn)樽詈蠹竟?jié)是狀態(tài)1，所以 p11 =7/(15-1)=1/2 ，p12=7/(15-1)=1/2 而21 有7 次，12 有2 次，所以 p21=7/9

15、,p22=2/9 于是得轉(zhuǎn)移概率矩陣 P= 如果現(xiàn)在是暢銷，預(yù)測這以后第四個(gè)季度的銷售狀況實(shí)際上就是求 4 步轉(zhuǎn)移概率。因?yàn)镻（4）=（4） =所以由4 步轉(zhuǎn)移概率矩陣有p11 (4) =0.611p12 (4) =0.389，即如果現(xiàn)在為暢銷，這以后第四個(gè)季度(以概率0.611)仍為暢銷。 從轉(zhuǎn)移概率矩陣可以看出，該鏈?zhǔn)遣豢杉s、非周期的有限(狀態(tài))馬氏鏈，故必存在平穩(wěn)分布。由平穩(wěn)方程 =p可得 1=1/2 1+7/9 2 2=1/2 1+2/9 2 1 + 2=1 解得 1=14/23 ， 2=9/23。其平穩(wěn)分布 ( 1 ， 2)=(14/23 ，9/23) 因?yàn)?1 2 ，故長此下去，該

16、產(chǎn)品將暢銷。 4.3 利潤預(yù)測 在多數(shù)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，伴隨著它的狀態(tài)逐步轉(zhuǎn)移，常有一系列利潤的轉(zhuǎn)移。如當(dāng)系統(tǒng)由狀態(tài)i 進(jìn)一步轉(zhuǎn)移至狀態(tài)j 時(shí)，獲得的利潤記作rij ，則由全體rij(i， jE)構(gòu)成的矩陣稱為利潤矩陣。在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的演變過程中，因其狀態(tài)的轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的，故在每一階段獲取的利潤也是隨機(jī)的，而且利潤取值的概率可由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率來確定 8 ，我們所關(guān)心的問題往往就是如何預(yù)測系統(tǒng)經(jīng)n 步轉(zhuǎn)移后獲取的利潤，實(shí)際上也就是它的期望(平均)利潤。 設(shè)某公司每月至多接受兩份訂單，Xn 表示第 n 個(gè)月接受的訂單數(shù)，并設(shè) Xn 是齊次馬爾科夫鏈。根據(jù)過去經(jīng)營的資料分析，接受訂單的轉(zhuǎn)移概率矩陣P為 P=其中狀

17、態(tài)空間E=0，1，2表示的訂單數(shù)。相應(yīng)于P，報(bào)酬矩陣為 R=這里 r00=-20 表示第一個(gè)月無訂單的條件下第二個(gè)月仍無訂單，則公司的利潤為 -20(單位：萬元)?？深A(yù)測該公司 n 個(gè)月后的期望利潤。設(shè) Vi(n)表示開始接到Vi(iE)份訂單，經(jīng)n 個(gè)月后公司的期望利潤，則有遞推公式 Vi(n)=pijrij+Vj(n-1)，jEn=1，2， (3) 假定初始利潤為零，即Vi(0)=0(iE)。由上式得知 V0(1)=0.1×(-20)+0.3×10+0.6×20=13 V1(1)=0.3×(-10)+0.3×20+0.4×40=1

18、9V2(1)=0.3×10+0.1×40+0.6×60=43 這表示一個(gè)月后公司的期望利潤。同理，由(3)式可以計(jì)算公司數(shù)個(gè)月后經(jīng)營的期望利潤。 公司的決策者可以根據(jù)該利潤預(yù)測模型，對生產(chǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)卣{(diào)整，為獲取最大利潤而采取若干行動方案，使總期望報(bào)酬達(dá)到最大。 5 對馬爾可夫鏈模型預(yù)測及其結(jié)果的說明 5.1 經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的各狀態(tài)經(jīng)過多次轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)概率如何，主要取決于狀態(tài)如何轉(zhuǎn)移（即狀態(tài)概率分布），而不是取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)（即初始狀態(tài)概率分布）。所以，為了準(zhǔn)確預(yù)測現(xiàn)象的未來狀態(tài)，在對現(xiàn)象當(dāng)前狀態(tài)作出判斷的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)還是對系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的測定。 5.2 對無序起伏發(fā)展的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率不斷進(jìn)行測繪會增加工作量。為了減輕這一負(fù)荷，測定時(shí)可以只關(guān)注引起起伏的要素，不變要素可以不考慮，但要注意因素組合效應(yīng)。5.3 影響經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移的因素很多，如政治更替、政策變化、戰(zhàn)爭、突發(fā)事件等，這些因素或單個(gè)的或組合的影響系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移。進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率測定時(shí)要恰當(dāng)?shù)倪x擇考慮這些因素，但考慮過多過細(xì)會影響測定效率，考慮過少會影響測定的準(zhǔn)確性 9 。6 結(jié)論 基于經(jīng)濟(jì)活動的復(fù)雜、多變以及帶有許多隨機(jī)性因素的特點(diǎn)，為了能夠更加科學(xué)的預(yù)測企業(yè)所關(guān)心的各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，以便為企業(yè)的未來做出正確的決