導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)公式與應(yīng)用

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的平均變化率（ 1）概念：函數(shù)中，如果自變量在處有增量，那么函數(shù)值y 也相應(yīng)的有增量y=f(x 0+ x)-f(x0) ，其比值叫做函數(shù)從到+ x 的平均變化率，即。若，則平均變化率可表示為，稱為函數(shù)從到的平均變化率。注意：事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值” 。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢(shì)，當(dāng)取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。是自變量在處的改變量，；而是函數(shù)值的改變量，可以是0。函數(shù)的平均變化率是0，并不一定說(shuō)明函數(shù)沒有變化，應(yīng)取更小考慮。（ 2）平均變化率的幾何意義函數(shù)的平

2、均變化率的幾何意義是表示連接函數(shù)圖像上兩點(diǎn)割線的斜率。如圖所示，函數(shù)的平均變化率的幾何意義是：直線AB的斜率。事實(shí)上，。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備作用：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率。知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念：1導(dǎo)數(shù)的定義：對(duì) 函 數(shù)， 在點(diǎn)處給 自變 量x 以 增量， 函數(shù)y相應(yīng) 有 增量。若極限存在，則此極限稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作或，此時(shí)也稱在點(diǎn)處可導(dǎo)。即：（或）注意：增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率。2導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)， 此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù),稱這個(gè)函

3、數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。3導(dǎo)數(shù)幾何意義：（1）曲線的切線曲線上一點(diǎn) P(x 0，y0) 及其附近一點(diǎn) Q(x0 + x,y 0+ y) ，經(jīng)過點(diǎn) P、 Q作曲線的割線 PQ，其傾斜角為當(dāng)點(diǎn) Q(x0+x,y 0+y) 沿曲線無(wú)限接近于點(diǎn)P(x 0，y0 ) ，即 x0 時(shí)，割線 PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點(diǎn) P 處的切線。若切線的傾斜角為，則當(dāng) x0 時(shí)，割線 PQ斜率的極限，就是切線的斜率。即：。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備(2) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)x0 的導(dǎo)數(shù)是曲線上點(diǎn)（

4、）處的切線的斜率。注意：若曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與軸垂直。，切線與軸正向夾角為銳角；，切線與軸正向夾角為鈍角；, 切線與 軸平行。(3) 曲線的切線方程如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為：。4瞬時(shí)速度：物體運(yùn)動(dòng)的速度等于位移與時(shí)間的比，而非勻速直線運(yùn)動(dòng)中這個(gè)比值是變化的，如何了解非勻速直線運(yùn)動(dòng)中每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)快慢程度，我們采用瞬時(shí)速度這一概念。如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足s=s(t)(位移公式 ) ，那么物體在時(shí)刻t 的瞬時(shí)速度 v，就是物體t到t+ t這 段 時(shí) 間 內(nèi) ， 當(dāng) t 0時(shí) 平 均 速 度 的 極 限 ， 即。如果把函數(shù)看作是物體的位移公式），導(dǎo)數(shù)表示運(yùn)動(dòng)物

5、體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。規(guī)律方法指導(dǎo)1如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：作差：求出和名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備作商：對(duì)所求得的差作商，即。注意：（1），式子中、的值可正、可負(fù)，但的值不能為零，的值可以為零。若函數(shù)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，。（2）在式子中，與是相對(duì)應(yīng)的“增量” ，即在時(shí)，。（3）在式子中，當(dāng)取定值，取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均變化率不同；當(dāng)取定值，取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均變化率也不一樣。2如何求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（1）利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，通常用“三步法”。計(jì)算函數(shù)的增量：；求平均變化率：；取極限得導(dǎo)數(shù)：。（2）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3導(dǎo)

6、數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是，則表示曲線在點(diǎn)（）處的切線的斜率。設(shè)是位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則表示物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度；設(shè)是速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則表示物體在時(shí)刻的加速度；4利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟求出在處的導(dǎo)數(shù)；利用直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程為。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備類型一：求函數(shù)的平均變化率1、求在到之間的平均變化率，并求，時(shí)平均變化率的值 .思路點(diǎn)撥： 求函數(shù)的平均變化率，要緊扣定義式進(jìn)行操作 .舉一反三：【變式 1】求函數(shù) y=5x2+6 在區(qū)間 2 ， 2+ 內(nèi)的平均變化率?！咀兪?2】已知函數(shù)，分別計(jì)算在下列區(qū)間上的平均變化率：（1）1 ，3 ；（2）1 ，2 ；（3

7、）1 ，1.1 ；（4）1 ，1.001.【變式 3】自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為，計(jì)算 t 從 3s 到 3.1s ，3.01s ，3.001s 各段內(nèi)的平均速度（位移s 的單位為 m）。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備【變式 4】過曲線上兩點(diǎn)和作曲線的割線， 求出當(dāng)時(shí)割線的斜率 .類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)2、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)。舉一反三：【變式 1】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在 x=4 處的導(dǎo)數(shù) .（2）求曲線上一點(diǎn)處的切線方程。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備【變式 2】利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）。3、求曲線 y=x3+2x 在 x=1 處的切線方程 .3數(shù)

8、的幾何意義，得所求切線的斜率，將x=1 代入函數(shù)可得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而建立切線方程.舉一反三：2【變式】在曲線y=x 上過哪一點(diǎn)的切線：（2）垂直于直線 2x 6y+5=0；（3）與 x 軸成 135°的傾斜角。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備知識(shí)點(diǎn)三：常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（ C為常數(shù)），（2）（n 為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），知識(shí)點(diǎn)四：函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)，均可導(dǎo)（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）知識(shí)點(diǎn)五：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則或即復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。

9、注意：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。規(guī)律方法指導(dǎo)1求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）；把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。整個(gè)過程可簡(jiǎn)記為分解求導(dǎo)回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。類型一：利用公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）（ 3）；（ 4）y=2x3 3x2+5x 4舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）（ 3） y=6x34x2 +9x 6名師推薦

10、精心整理學(xué)習(xí)必備2、求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）；（2）y=x2sinx;（ 3） y=；（4）y=舉一反三：【變式A11】函數(shù)B2C3在處的導(dǎo)數(shù)等于D 4( )【變式 2】下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備【變式 3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .（1）；（2）；（3）.類型四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)3、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù) .（1）；（2）；（3）；（4）.舉一反三：【變式 1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備（ 3） y=ln （ x）；（4）類型五：求曲線的切線方程4、求曲線 y=x3+2x 在 x=1 處的切線方程 .舉一反三：【變式 1】求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出切線方程.【變式 2】已知，是曲線上的兩點(diǎn)，則與直線平行的曲線的切線方程是 _.名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備【變式 3】已知曲線.（1）求曲線上橫坐標(biāo)為 1 的點(diǎn)處的切線的方程；（2）第（ 1）小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點(diǎn)？【變式4】如果曲線的某一切線與直線平