導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用極值與最值教學(xué)設(shè)計(jì)

1、專(zhuān)題 020：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (極值與最值 )（教學(xué)設(shè)計(jì)）（師）考點(diǎn)要求：1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值3利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題4復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)注重導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值與最值中的工具性作用，會(huì)將一些實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，從而用導(dǎo)數(shù)去解決復(fù)習(xí)中要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.知識(shí)結(jié)構(gòu)：1函數(shù)的極值(1)判斷 f(x0)是極值的方法列表法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn) x0 處連續(xù)時(shí)，如果在 x0 附近的左側(cè) f (x) 0，右側(cè) f (x) 0，那么 f(x0)是極大值；如果在 x0 附近的左側(cè) f (x) 0，右側(cè) f (x) 0，那么 f(x0)是極小值(2)求可導(dǎo)函數(shù)

2、極值的步驟列表法求 f (x)；求方程 f (x)0 的根；檢查 f (x)在方程f (x) 0 的根左右值的符號(hào)如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么 f(x)在這個(gè)根處取得極小值，如果左右兩側(cè)符號(hào)一樣，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn)2 函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間 a， b 上連續(xù)的函數(shù)f(x)在 a， b 上必有最大值與最小值(2)若函數(shù) f(x)在 a， b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x) 在a， b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值(3)設(shè)函數(shù) f(x)在 a， b上連續(xù)，在 (a， b)內(nèi)可導(dǎo)，求f

3、(x) 在a，b上的最大值和最小值的步驟如下：求 f(x)在 (a， b)內(nèi)的極值；將 f(x)的各極值與f(a)， f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值3 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x)，解方程f (x) 0；（一般情況下為單峰函數(shù)）(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f (x) 0 的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小 )者為最大 (小 )值；(4)回歸實(shí)際問(wèn)題作答4 兩個(gè)注意(1)注意實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)定義域的確定（定義域優(yōu)先原則）(2) 在實(shí)際問(wèn)

4、題中（一般情況下為單峰函數(shù)），如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較5三個(gè)防范(1) 求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)認(rèn)真比較才能下結(jié)論；另外注意函數(shù)最值是個(gè)“ 整體 ” 概念，而極值是個(gè) “局部 ” 概念(2)f (x0) 0 是 yf(x)在 x x0 取極值的既不充分也不必要條件如 y|x|在 x 0 處取得極小值，但在 x0處不可導(dǎo)； f(x)x3， f (0) 0，但 x 0 不是 f(x) x3 的極值點(diǎn)(3)若 y f( x)可導(dǎo)，則 f (x0) 0 是 f( x)在 x x0 處取極值的必要

5、條件基礎(chǔ)自測(cè)：1 (2011 福·建 )若 a 0，b 0，且函數(shù) f(x) 4x3 ax2 2bx 2 在 x 1處有極值，則 ab 的最大值等于 ()A 2 B3 C6D 9解析 f (x) 12x2 2ax 2b，由函數(shù) f( x)在 x1處有極值，可知函數(shù)f(x)在 x 1 處的導(dǎo)數(shù)值為零，12 2a 2b0，所以 a b6，由題意知 a， b 都是正實(shí)數(shù)，所以abab 2622 9，當(dāng)且僅當(dāng) a b 3 時(shí)取到等號(hào)2答案 D1 4432) 2已知函數(shù) f(x) x x 2x ，則 f(x)(43A 有極大值，無(wú)極小值B有極大值，有極小值C有極小值，無(wú)極大值D 無(wú)極小值，無(wú)極

6、大值解析f (x) x3 4x2 4x x(x 2)2f (x)，f(x)隨 x 變化情況如下x(，0)0(0,2)2(2， )f (x)00f(x)043因此有極小值無(wú)極大值答案 C3 (2010 山·東 )已知某生產(chǎn)廠(chǎng)家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元 )與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件 )的函數(shù)關(guān)系式為y1x3 81x3234，則使該生產(chǎn)廠(chǎng)家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A 13 萬(wàn)件B 11 萬(wàn)件C9 萬(wàn)件D7 萬(wàn)件解析y x2 81，令 y 0 解得 x9( 9 舍去 )當(dāng) 0 x 9 時(shí)， y 0；當(dāng) x 9 時(shí)， y 0，則當(dāng) x9 時(shí)，y 取得最大值，故選C.答案C4 (2011 廣

7、83;東 )函數(shù) f(x) x33x2 1 在 x _處取得極小值解析f (x) 3x2 6x 3x(x 2)當(dāng) x0 時(shí)， f (x) 0，當(dāng) 0 x 2 時(shí)， f (x)0，當(dāng) x 2 時(shí)， f (x)0，故當(dāng) x 2 時(shí)取得極小值 答案2x2 aa _.5若函數(shù) f( x) x在 x 1 處取極值，則1 f(x)在 x12x x 1 x2 a2× 1× 1 1 1a0，解析處取極值， f (1) 0，又 f( x)， f(1) x 1 211 2即 2×1× (1 1) (1 a) 0，故 a 3.答案 3例題選講：例 1： (2011 ·

8、;重慶 )設(shè) f(x) 2x3 ax2 bx1 的導(dǎo)數(shù)為 f (x)，若函數(shù) y f (x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x 1對(duì)稱(chēng)，且 f (1)2 0.(1)求實(shí)數(shù) a，b 的值；(2)求函數(shù) f(x)的極值分析： 由條件 x 1f (1) 0 求得 a，b 的值，再由 f (x)的符號(hào)求其極值，列表法2為 y f (x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸及解 (1)因 f(x) 2x3 ax2 bx 1，故 f (x) 6x2 2ax b.a 22a從而 f (x) 6 x6 b6 ，即 y f (x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x a對(duì)稱(chēng)，6從而由題設(shè)條件知a 1，解得 a 3.62又由于 f (1) 0，即 62a b 0，解得 b

9、12.(2)由 (1) 知 f(x) 2x3 3x212x 1，f (x)6x26x 12 6(x1)( x 2)令 f (x) 0，即 6(x1)(x 2)0，解得 x1 2， x2 1.當(dāng) x (， 2)時(shí)， f (x) 0，故 f(x) 在(， 2)上為增函數(shù)；當(dāng) x ( 2,1)時(shí)， f (x)0，故 f(x) 在(2,1)上為減函數(shù)；當(dāng) x (1， )時(shí)， f (x) 0，故 f(x) 在(1 ， )上為增函數(shù)從而函數(shù) f(x)在 x1 2 處取得極大值f( 2) 21，在 x2 1 處取得極小值 f(1) 6.小結(jié)：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y f(x)的極值的步驟列表法：(1)先求函數(shù)的

10、定義域，再求函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)； (2) 求方程f (x) 0的根；(3)檢查f( x)在方程根的左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f( x)在這個(gè)根處取得極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值例 2：已知a 為實(shí)數(shù)，且函數(shù)f(x) (x2 4)(x a)(1)求導(dǎo)函數(shù)f (x)；(2)若 f (1) 0，求函數(shù)f(x)在 2,2 上的最大值、最小值分析： 先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，求極值、端點(diǎn)值，進(jìn)行比較得最值解 (1)f( x) x3 ax2 4x 4a，得 f(x) 3x2 2ax 4.1(2)因?yàn)?f ( 1) 0，所以 a ，3122有 f(x) x x 4x 2，所

11、以 f (x) 3x x 4.2令 f (x) 0，所以 x 43或 x 1.又 f 4 50， f(1) 9， f( 2) 0， f(2) 0，3272所以 f(x)在 2,2 上的最大值、最小值分別為9、50227.小結(jié)： 一般地，在閉區(qū)間a， b上的連續(xù)函數(shù)f(x)必有最大值與最小值，在開(kāi)區(qū)間(a， b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值，若函數(shù)y f(x)在閉區(qū)間 a， b上單調(diào)遞增，則f(a)是最小值， f(b)是最大值；反之，則f(a) 是最大值，是最小值例 3： (2011 ·江蘇 )請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD 是邊長(zhǎng)為60 cm 的正方形硬紙片，切去陰影部分

12、所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線(xiàn)折起，使得A，B， C， D 四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒 E、 F 在 AB 上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)AE FB x(cm)f(b)(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2 )最大，試問(wèn)x 應(yīng)取何值？(2)某廠(chǎng)商要求包裝盒的容積V(cm 3)最大，試問(wèn)x 應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值分析：由實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最優(yōu)解，注意變量的實(shí)際意義解設(shè)包裝盒的高為 h(cm)，底面邊長(zhǎng)為 a(cm)由已知得 a 2x， h60 2x 2(30 x)， 0 x 30. 2(1)

13、S 4ah 8x(30 x) 8(x 15)2 1 800，所以當(dāng) x 15 時(shí)， S 取得最大值(2)V a2h 22( x3 30x2)， V 62x(20 x)由 V 0 得 x 0(舍去 )或 x20.當(dāng) x (0,20)時(shí)， V 0；當(dāng) x (20,30)時(shí)， V 0.所以當(dāng) x 20 時(shí)， V 取得極大值，也是最大值h11此時(shí) .即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為.a22小結(jié)： 在求實(shí)際問(wèn)題中的最大值或最小值時(shí)，一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合，用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題中的最大(小 )值，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值

14、點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)鞏固作業(yè)：A 組：一、選擇題：yx48x2c 在 1,3 上的最小值是14 ，那么 c1如果函數(shù)（B）(B) 2(C) 1(D )2(A) 12下列函數(shù)中，x0 是極值點(diǎn)的函數(shù)是 (B ）（ A） yx3（ B） ycos2 x（ C） ytan xx（ D） y1x3下列說(shuō)法正確的是（D）（ A）函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值（ B）函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值（ C）函數(shù)的最值一定是極值（ D）在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值二、填空題：x3ax 2a 24 函數(shù) f (x)bx在 x1處有極值 10，則點(diǎn) ( a, b) 為4 5函數(shù) f (x)x3

15、px2qx的圖象與 x 軸切于點(diǎn)(1,0) ，則 f ( x) 的極大值為27 ，極小值為 0 f (x)x31 x22x5x 1,2 ，都有 f ( x)m ，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 (7, ) 6函數(shù)2，若對(duì)于任意7函數(shù) y2 x33x212 x5 在 0 ， 3 上的最大值、最小值分別是5， 15。f (x)sin x1x,( x0, 2 )2，最小值是 0 。8函數(shù)的最大值是33339函數(shù) f (x)sin x(1cos x) 的極大值是4，極小值是4。三、解答題：10. (2011安·徽 )設(shè) f(x)ex2，其中 a 為正實(shí)數(shù)1ax(1)當(dāng) a4時(shí)，求 f(x)的極值點(diǎn)

16、； (2)若 f(x)為 R 上的單調(diào)函數(shù)，求a 的取值范圍3x1 ax2 2ax解對(duì) f(x)求導(dǎo)得 f (x) e2 2.1 ax(1)當(dāng) a 43時(shí)，若 f (x)0，則 4x2 8x 3 0，3 1解得 x12， x2 2.綜合，可知x，111，333，222222f (x)00f( x)極大值極小值所以， x 3是極小值點(diǎn)，x 1是極大值點(diǎn)1222(2)若 f(x)為 R 上的單調(diào)函數(shù)，則f (x) 在 R 上不變號(hào)，結(jié)合與條件a 0，知 ax2 2ax 1 0 在 R 上恒成立因此 4a2 4a 4a(a 1) 0，由此并結(jié)合 a0，知 0a 1.11.函數(shù) f(x) x3 ax2

17、 b 的圖象在點(diǎn)P(1,0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)3x y 0 平行(1)求 a， b；(2)求函數(shù) f(x)在 0， t(t>0)內(nèi)的最大值和最小值解 (1)f (x) 3x2 2axf 1 0，由已知條件f 1 3，a b 1 0，解得a 3，即b 2.2a 3 3，32(2)由 (1) 知 f(x) x 3x 2，f (x)3x26x 3x(x 2)，f (x)與 f(x)隨 x 變化情況如下：x(， 0)0(0,2)2(2， )f (x)00f( x)22由 f(x) f(0)解得 x0，或 x3因此根據(jù) f(x)的圖象當(dāng) 0<t 2 時(shí)， f( x)的最大值為 f(0) 2最小值

18、為 f(t) t3 3t 2 2；當(dāng) 2<t 3 時(shí)， f( x)的最大值為 f(0) 2，最小值為 f(2) 2；當(dāng) t>3 時(shí)， f(x)的最大值為 f(t) t3 3t2 2，最小值為f(2) 2.12. 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中，每小時(shí)的耗油量y( 升 )關(guān)于行駛速度x(千米 /小時(shí) )的函數(shù)解析式可以表示為： y1x33x 8(0<x120)已知甲、乙兩地相距100 千米128 00080(1)當(dāng)汽車(chē)以40 千米 /小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解 (1)設(shè)汽車(chē)以 x 千米 /小時(shí)的速度行駛時(shí)，其耗油量為100133f(x) x128 000x80x 8x2 800 151 280x4 (0<x 120)f(40) 17.5(升 )因此從甲地到乙地要耗油17.5 升(2)f (x)x 800x3 512 000640 x264