等腰三角形難題

1、等腰三角形補充練習一.選擇題（共3小題）1 .在中，/ 30°,點D在邊上，點E在邊上，一若為等腰三角形，則/ C的 度數(shù)為（）A. 20° B. 20°或 30° C. 30°或 40° D. 20°或 40°2 .如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為 1, A B是格點，以A、B、C為等腰 三角形頂點的所有格點C的個數(shù)為（）A. 7 個 B. 8 個 C. 9 個 D. 10 個3 .如圖所示，在中，/ &且，則/ （A.士 a D. 4.填空題（共14小題）5 .在同一平面內(nèi)，已知點P在等邊外部，且與等

2、邊三個頂點中的任意兩個 頂點形成的三角形都是等腰三角形，則/的度數(shù)為.6 .等腰三角形的一腰上的高與另一腰的夾角為 45。，則這個三角形的底角為.7,有兩個等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的頂角，甲的底長等于乙的腰長,甲的腰長等于乙的底長，則甲的底角是度.8 .如圖，/ 9 （0 紜90 ）,現(xiàn)只用4根等長的小棒將/固定，從點 Ai開始依 次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A21,則角8的取值范圍是.9 .如圖，在中，點P為所在平面內(nèi)一點，且點 P與的任意兩個頂點 構成, , 均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點P的個數(shù)為個.10 .如圖所示，為等邊三角形，于R, ±于S

3、,則四個結(jié)論正確的 是.P在/A的平分線上； ；/;11 .如圖，在1中，/20°, iB,在AiB上取一點C,延長i到A2,使得A1A21C; 在A2c上取一點D,延長A1A2到A3,使得A2A32D;，按此做法進行下去，/的 度數(shù)為.-4 d 且/N岸12 .已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為 9和12兩部分，則腰長為，底邊長為.13 .如圖，等邊三角形中，D、E分別為、邊上的兩動點，且總使，與交于點 F,14 .如圖所示，在中，/80°, P在內(nèi)，/ 10°, /30°,則/.15 .線段和直線l在同一平面上.則下列判斷可能成立的有個直線l上

4、恰好只有個1點P,使為等腰三角形直線l上恰好只有個2點P,使為等腰三角形直線l上恰好只有個3點P,使為等腰三角形直線l上恰好只有個4點P,使為等腰三角形直線l上恰好只有個5點P,使為等腰三角形直線l上恰好只有個6點P,使為等腰三角形.16 .如圖，為正三角形，面積為 S. Di, Ei, Fi分別是三邊上的點，且ii4-,可得D1E1F1,則 D1E1F1的面積Si=;如，D2, E2, F2分別是三邊上的點，且 2221,則D2E2F2的面積&二;按照這樣的思路探索下去，分別是三邊上的 占 目 八、, J_L一,貝心 n+1B £r C B E2 cS國17 .已知等腰的周

5、長為10,若設腰長為x,則x的取值范圍是.18 .如圖，一個頂角為40。的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個四邊形,2017年08月23日139*2832 的初中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一.選擇題（共4小題）1. （2016秋？資中縣期末）在中，/ 30°,點D在邊上，點E在邊上，一若 為等腰三角形，則/ C的度數(shù)為（）A. 20° B. 20°或 30° C. 30°或 40° D. 20°或 40°【解答】解：如圖所示，/ 30°,可設/ a,貝U/60°- a, /2a,根據(jù)三角形內(nèi)角

6、和定理可得，/ 120 - a, 分三種情況：當時，有60 - a =2務解得a =20；當時，有120° - a =2斗 解得a =40;當時，有120°- a =60- a,方程無解， 綜上所述，/ C的度數(shù)為20°或40°, 故選：D.2. （2016春?乳山市期中）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為 1, A、B是格 點，以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點 C的個數(shù)為（）A. 7 個 B. 8 個 C. 9 個 D. 10 個【解答】解：如圖所示，以A為圓心，長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點 C3、C8、C7即為點C的位置；以B為圓心，長為半徑

7、畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點 G、C2、C6、C4、C5即為點C的 位置；作線段的垂直平分線，垂直平分線沒有經(jīng)過格點.故以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點 C的個數(shù)為8個.故選（B）3. （2015?天心區(qū)校級自主招生）如圖，已知等邊外有一點P, P落在/內(nèi)，設P到、的距離分別為hi, h2, h3,滿足h23-hi=6,那么等邊的面積為（：A. 4 :一； B. 8C. 9 二 D. 12 一；【解答】解：設等邊三角形的邊長為a,連接、，則一 ,(h23- hi)三"& h23- hi=6, 4后 sg ”12后，4故選(D).4. （1998淅州）如圖所示，在中，/ %且，

8、則/ （二 a D.4【解答】解：根據(jù)題意：在中,/ / C /,即/ a-/化簡可得：/ a=Z / a.2故選A.填空題（共14小題）5. （2016?工西模擬）在同一平面內(nèi)，已知點 P在等邊外部，且與等邊三個 頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，則/的度數(shù)為 15?；?0?；?60° 或 75°或 15。.【解答】解：根據(jù)點P在等邊外部，且與等邊三個頂點中的任意兩個頂點形 成的三角形都是等腰三角形，作出如下圖形：由圖可得：/ 115°, Z 230°, Z 360°, Z 475°, 7 5150°.故答案

9、為：15°或30°或60°或75°或150°45°,則6. (2016秋？東阿縣期中)等腰三角形的一腰上的高與另一腰的夾角為 這個三角形的底角為67.5或22.5 ° .【解答】解：有兩種情況；(1)如圖，當是銳角三角形時，于 D,則 / 90°,已知/ 45°,90° -45 =45°,ZZX ( 180 -45 ) =67.5 -(2)如圖，當是鈍角三角形時，于 H,則 / 90°,已知/ 45°, 90°-45 =45°, / 180 -

10、45 =135°, / -X ( 180 - 135 ) =22.5故答案為：67.5或22.5°.7. （2013?香坊區(qū)三模）有兩個等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的頂角，甲的底長等于乙的腰長，甲的腰長等于乙的底長，則甲的底角是36?；?0。度.【解答】解：假設等腰三角形甲為，等腰三角形乙為（如圖所示）.頂角為D根據(jù)題中的條件，甲的底長等于乙的腰長，甲的底角等于乙的頂角，我們可以將D挪到B點，使與重合，與重合，如果A為銳角，則F點在邊上，由于，由圖知是不可能的.如果A為鈍角，則F點在延長線上，由于，得知乙的底角=2倍的頂角=2倍甲的 底角,故可以解得甲的底角是36度；當

11、等腰三角形甲和乙都是等邊三角形時，/1=/ 2=/ 3=60°,即甲的底角是60。.故答案是：36°或60°.C8. （2013徐州一模）如圖，/ 9 （0 < 9<90 ）,現(xiàn)只用4根等長的小棒將/周 定，從點Ai開始依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A21,則角8的取01=/ A2A1A3=2 0,二色=/ A2A4A3=什2 9 =3,9二 電=/ A2A4A3+8 =4,9由題意得 18 V 0< 22.5 °.9. （2013?1興市一模）如圖，在中，,點 P為所在平面內(nèi)一點，且點 P 與的任意兩個頂點構成, 均是

12、等腰三角形，則滿足上述條件的所有點6個.【解答】解：如圖所示，作的垂直平分線，的外心 Pi為滿足條件的一個點,以點C為圓心，以長為半徑畫圓，P2、P3為滿足條件的點，分別以點A、B為圓心，以長為半徑畫圓，P4為滿足條件的點，分別以點A、B為圓心，以長為半徑畫圓，P5、P6為滿足條件的點，綜上所述，滿足條件的所有點 P的個數(shù)為6.故答案為：6.10. (2013?安徽模擬)如圖所示，為等邊三角形，于R,，于S,則四個結(jié)論正確的是.P在/ A的平分線上；/；【解答】解：.，±, ±,P在/ A的平分線上，在和中，.Kap=ap. f PR二PS '(), 為等邊三角形，

13、./ / 60°, / 30°,7 60°,在和中， fZPQS=ZB, ZPRB=ZPSQ, fS二PR（）, 項四個結(jié)論都正確, 故答案為.11. （2012項陽）如圖，在4 1中，/20°, iB,在A1B上取一點C,延長1至1JA2, 使得A1A21C;在A2c上取一點D,延長A1A2到A3,使得A2A32D;，按此做法進 行下去，/的度數(shù)為叱.【解答】解：二.在1中，/20°, 1B,./1皿*1a3二80。， 22V A1A21C, / 1A 是4 A1A2c 的外角，同理可得，/3A2=20°, /4A3=10°

14、;,/J12. （2012?棗陽市校級模擬）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和12兩部分，則腰長為 8或6 ,底邊長為 5或9 .【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，設等腰三角形的腰長2x,是腰上的中線，若的長為12,則212,則9,即49,若的長為9,則29, 解得3,則 12,即 312,解得9;所以等腰三角形的底邊為5時，腰長為8;等腰三角形的底邊為9時，腰長為6;故答案為：8或6; 5或95 y C13. （2011*寧）如圖，等邊三角形中,D、E分別為、邊上的兩動點，且總使,與交于點F, ±于點G,則景二等邊三角形, / / ,/ / 60°,30&

15、#176;,2故答案為:14. （2011?鄂州校級模擬）如圖所示，在中，7 80°, P在內(nèi),710°, 730°, 則 /700 .【解答】解：在下方取一點D,使得三角形為等邊三角形，連接、/ / - / 20°, / 80°,:，/ 80°, / 50°, 140 =/,又/ 30°=/-又/ 60°, 是等邊三角形，. 20=10°,2 2 ./ / 10 +60 =70°.或由 / /又/ / 40° / ( 180 - 40) /2=70故答案為：70°

16、.15. （2011TW曙區(qū)模擬）線段和直線l在同一平面上.則下列判斷可能成立的有5個直線l上恰好只有個1點P,使為等腰三角形直線l上恰好只有個2點P,使為等腰三角形直線l上恰好只有個3點P,使為等腰三角形直線l上恰好只有個4點P,使為等腰三角形直線l上恰好只有個5點P,使為等腰三角形直線l上恰好只有個6點P,使為等腰三角形.【解答】解：要使是等腰三角形，分為三種情況：（即作的垂直平分線于直 線的交點，即有一個點）.直線l上恰好只有個1點P,使為等腰三角形正確; （以A為圓心，以為半徑畫弧，交直線于兩點），即直線l上恰好只有個2點P,使為等腰三角形正確；直線l上恰好只有個3點P,使為等腰三角形

17、正確；（以B為圓心，以為半徑畫弧，交直線于兩點）即直線l上恰好只有個4點P,使為等腰三角形正確；直線l上恰好只有個5點P,使為等腰三角形正確；. 1+2+2=5,直線l上恰好只有個6點P,使為等腰三角形錯誤；故答案為：5.PP甲 I16. （2011鍬墅區(qū)校級模擬）如圖，為正三角形，面積為S. Di, Ei, Fi分別是三邊上的點，且iii二，可得DiEiFi,則DiEiFi的面積Si=S ;如，02, 2£區(qū)F2分別是三邊上的點，且22A，則D2E2F2的面積S2±S一 ；按照這樣的3三一思路探索下去，一分別是三邊上的點，且1 iii2.iFiAiEiAiFi,設等邊的邊長為a,則輸0。, iFi的面積 蔣*看?60:.DiEiFi 的面積 S 3X號；同理，222時,2222y,“ 一一一 11 J9l 9 2F2 的面積 S=±x 官a*a?60 V D2E2F2 的面積 S? - 3Xy j時,n n+l的面積=Lxa?!a?602 / 1n+l Cn+1)2的面積-3X 始產(chǎn)f+1(n+l) 2 tn-+l)