用配方法求解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程

1、第二章 一元二次方程2 .配方法（一）西安市第十九中學(xué)趙蕊一、學(xué)情分析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了一元二次方程的概念，并經(jīng)歷了用估算法求一元二次方程的根的過程，初步理解了一元二次方程解的意義之后的內(nèi)容，經(jīng)過初一，初二的學(xué)習(xí)， 學(xué)生已具備了平方根的知識(shí)，學(xué)習(xí)了完全平方式的知識(shí)，并能夠靈活的運(yùn)用這些知識(shí)來解決問題的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步探索一元二次方程的解的求法。在學(xué)習(xí)了估算法求解一元二次方程的基礎(chǔ)上，學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生用簡單方法求其解的欲望； 學(xué)生在理解一元二次方程的解的三種情況上有一定的難度，特別是沒有解。因?yàn)槌跻粚W(xué)習(xí)的一元一次方程都有解，在學(xué)生的認(rèn)知中只要是方程都有解，而現(xiàn)在出現(xiàn)沒有解的情況，不容易接受。理解降次

2、的過程有障礙，需要老師適時(shí)引導(dǎo)。在學(xué)生理解了整個(gè)解法的基礎(chǔ)上，老師要對(duì)新知識(shí)進(jìn)行練習(xí)鞏固，這樣才能有好的效果。二、教學(xué)目標(biāo)（ 一 ） 知識(shí)目標(biāo)1 .會(huì)用開平方法解形如（x+m）2=n（n>0）的方程.2 理解一元二次方程的解法配方法（ 二 ） 能力訓(xùn)練要求1 .會(huì)用開平方法解形如（x+m）2=n（n>0）的方程；理解配方法.2 體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法3 能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性（ 三 ） 情感與價(jià)值觀要求通過師生的共同活動(dòng)，學(xué)生的進(jìn)一步操作來增強(qiáng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情景，引入新課；第二環(huán)節(jié)：探究新知；第三環(huán)節(jié)：

3、練習(xí)提高；第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)I.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了用估算法求一元二次方程的根，大家有什么體會(huì)？(很麻煩，而且不能求出準(zhǔn)確值)。這節(jié)課我們就來探究一種解一元二次方程的簡單方法前面我們學(xué)過平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)？如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a,則x叫做a的平方根.那你能求出適合等式x2=4的x的值嗎？由x2 = 4可知，x就是4的平方根.因此x的值為2和-2.誰能寫出完全平方式？ a2±2ab+t2 = (a ± b)2( 以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生逐步

4、深入地思考，通過問題，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)開平方和完全平方公式。)n探究新知我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義及有關(guān)概念，現(xiàn)在同學(xué)們來討論一下：你會(huì)解下列一元二次方程嗎？你是怎么做的？(1)x2= 5;(2)3x2=0;(3)x 2-4 = 0;(4)2x2-50 = 0;等式 x2=4 就是一元二次方程，像這樣類型的方程我們就能解. 那么，下列一元二次方程，你會(huì)解嗎？試一下(5)(x+2) 2=16;(6)2(x-3) 2=6;(7)3(x+3) 2-9 = 0(8) 2x2+50= 0.同學(xué)們思考分析，小組討論，老師請(qǐng)同學(xué)回答。方程(x+2)2= 16呢？我們也可以解，即是要求(x+2),使它的平方

5、等于16, 而16的平方根是4和-4 ,所以(x+2)就等于4或-4 ,因此x = 2或x = -6 .老師總結(jié)：大家利用平方根的定義求解了一類一元二次方程，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法其中適合方程(8) 的實(shí)數(shù) x 不存在，所以原方程無實(shí)數(shù)解從剛才的解題過程中，我們知道了一元二次方程如果有解，則它有兩個(gè)根，這兩個(gè)根可以是相等的，如方程 (2) ； 也可以是不相等的，如方程 (1) 、 (3) 、 (4) 、(5)、(6),所以我們在書寫時(shí)，通常用 玄、x2表示未知數(shù)為x的一元二次方程的 兩個(gè)根.注意：(1)方程3x2= 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即xi=0, X2=0.這與一元一次

6、方程3x=0有一個(gè)根x = 0是有區(qū)別的.(2)剛才我們解的一元二次方程，可用形式 ax2+c=0來表示.當(dāng)a、c異號(hào)時(shí)，方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a、c同號(hào)時(shí)，ax2+c=0沒有 實(shí)數(shù)根.好，接下來我們們來判斷下列方程能否用開平方法來求解？如何解？(1) x2-4x+4 = 2;(2) x 2+12x+36= 5.同學(xué)們思考分析，小組討論，老師請(qǐng)同學(xué)回答，說明思路。方程(1)能用開平方法求解.因?yàn)榉匠?1)的左邊正好是一個(gè)完全平方式，右 邊是一個(gè)正數(shù)，所以它可以化為(x-2) 2=2. 方程(2)也能用平方法來解，方 法同解方程(1)。很好，同學(xué)們基本了解了解一元二次方程的基

7、本思路，誰來給大家敘述一下呢？解一元二次方程的基本思路是：把原方程變?yōu)?(x+m)2=n,然后兩邊同時(shí)開 平方，這樣原方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程. 即：實(shí)際上解一元二次方程的關(guān) 鍵是要設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即將原方程“降次”，“降次”也是一種數(shù) 學(xué)方法.下面我們來看能否求出方程x2+12x-15=0的解？解方程x2+12x-15=0的困難在哪里？你能將方程x2+12x-15 = 0轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n 的形式嗎？同學(xué)們思考分析，小組討論，老師總結(jié)：怎么樣能把x2+12x-15=0的左邊變成一個(gè)完全平方形式，右邊變成一個(gè)非負(fù)數(shù).那想一想完全平方公式是：a2±2ab+t2=(a

8、±b)2)下面大家來做一做：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立.(1)x 2+12x+=(x+6) 2; (2)x 2-4x+ _=(x- ) 2; (3)x 2+8x+= (x+ )2.這三個(gè)等式的左邊填的常數(shù)是：一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；然后，根據(jù)完全平 方公式填右邊。下面同學(xué)們來看一例題：例題解方程x2+8x-9 = 0.解：可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得 x 2+8x=9.兩邊都加上 16,得 x 2+8x+16= 9+16,即（x+4）2=25.開平方，得 x+4 =±5, 即 x+4=5 或 x+4= -5 .所以 x=1, x2= -9 .我們通過配成完全平方式的方法得

9、到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法。由此我們可以知道：由配方法解一元二次方程的基本思路是將方程轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n的形式，它的一邊是一個(gè)完全平方式，另一邊是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)n0時(shí)，兩邊開平方便可求出它的根.用這種方法解一元二次方程的思路是什么？其關(guān)鍵又是什么？（小組合作交流）注；因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)任何非負(fù)數(shù)都有平方根，所以當(dāng) n0時(shí)，方程有解； 當(dāng)n<0時(shí)，左邊是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，因此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無 解田.課堂練習(xí)課本55頁隨堂練習(xí)1IV.課時(shí)小結(jié)1 師生互相交流、總結(jié)配方法解一元二次方程的基本思路和關(guān)鍵，以及在應(yīng)用配方法時(shí)應(yīng)注意的問題。2 鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談自己的收獲與感想（學(xué)生暢所欲言，教師給予鼓勵(lì)）。3 學(xué)生暢所欲言談自己的切身感受與實(shí)際收獲，掌握了配方法的基本思路和過程。V 布置作業(yè)四、教學(xué)反思;相信學(xué)生并為學(xué)生提供充分展示自己的機(jī)會(huì), 課堂上要把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和獲得學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位，通過運(yùn)用各種啟發(fā)、激勵(lì)的語言，以及組織小組合作學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生形成積極主動(dòng)的求知態(tài)度。本節(jié)課多次組織學(xué)生合作交流，通過小組合作，為學(xué)生提供展示自己聰明才智的機(jī)會(huì)，并且在此過程中教師發(fā)現(xiàn)了學(xué)生在分析問題和解決問題時(shí)出現(xiàn)的獨(dú)到見解，以及思維的