初中幾何變換——翻折

1、初中數(shù)學(xué)幾何變換之軸對稱一、知識梳理1、軸對稱基本要素： 對稱軸。2、基本性質(zhì)：（ 1）對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等（ 2）對應(yīng)點(diǎn)所連線段被對稱軸垂直平分（ 3）對稱軸上的點(diǎn)到對應(yīng)點(diǎn)的距離相等（ 4）對稱軸兩側(cè)的幾何圖形全等3、應(yīng)用翻折問題、最值問題等二、?？碱}型類型一：軸對稱性質(zhì)1、如圖，在平行四邊形 ABCD 中， AB13 ， AD 4 ，將平行四邊形ABCD 沿 AE 翻折后，點(diǎn) B 恰好與點(diǎn) C 重合，則折痕 AE 的長為 _.第 1 題第 2題第 3 題2、如圖， 矩形中，AB=8 ，=6，為AD上一點(diǎn)， 將沿BP翻折至EBP，BCPABPPE 與 CD 相交于點(diǎn) O，且 OE =OD，則

2、 AP 的長為 _.3、如圖，在 ABC 中， AB =AC ，BC =24 ， tanC=2 ，如果將 ABC 沿直線 l 翻折后，點(diǎn)B 落在邊 AC 的中點(diǎn) E 處，直線 l 與邊 BC 交于點(diǎn) D，那么 BD 的長為。4、如圖，菱形紙片ABCD 中，A=60 0，將紙片折疊，點(diǎn)A、 D 分別落在 A 、D 處，且A D經(jīng)過B， EF 為折痕，當(dāng)D FCD 時(shí)， CF 的值為。FD5、如圖，在 ABC 中，C 90 °，將ABC 沿直線 MN 翻折后，頂點(diǎn)C 恰好落在AB 邊上的點(diǎn) D 處，已知MN AB ， MC 6， NC 2 3 ，則四邊形MABN 的面積是。第 4 題第

3、5 題第 6題6、如圖，已知邊長為5 的等邊三角形ABC 紙片，點(diǎn)E 在 AC 邊上，點(diǎn) F 在 AB 邊上，沿著 EF 折疊，使點(diǎn) A 落在 BC 邊上的點(diǎn) D 的位置，且，則 CE 的長是。7、如圖 1，在矩形紙片 ABCD 中， AB 8 3， AD 10 ，點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn) .將這張紙片依次折疊兩次： 第一次折疊紙片使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，如圖 2 ，折痕為MN，連接、；ME NE第二次折疊紙片使點(diǎn)N 與點(diǎn) E 重合，如圖 3 ，點(diǎn) B 落在 B處，折痕為 HG ，連接 HE，則 tanEHG.圖2圖38、如圖，在邊長為6 的正方形ABCD 中，E 是邊 CD 的中點(diǎn)，將ADE 沿

4、AE 對折至AFE ，延長交 BC 于點(diǎn) G，連接 AG .（ 1 ）求證： ABG AFG ；（ 2）求 BG 的長 .類型二：軸對稱應(yīng)用1、菱形 ABCD 在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn)B（2 ， 0），DOB =60 °，點(diǎn)P是對角線 OC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， E（ 0 ，1），當(dāng) EP +BP 最短時(shí)，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為2、如圖， AOB =30 °，點(diǎn) M、N 分別是射線OA、OB 上的動(dòng)點(diǎn)， OP 平分AOB ，且 OP =6 ，當(dāng)PMN 的周長取最小值時(shí)，四邊形PMON 的面積為3、如圖 ,在銳角 ABC 中 ,AB=6, BAC=60 °,BAC 的

5、平分線交 BC于點(diǎn)D, 點(diǎn)M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),則BM+MN的最小值為。4、如圖，在等邊 ABC 中， AB=4 ，點(diǎn) P 是 BC 邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P 關(guān)于直線 AB ，AC 的對稱點(diǎn)分別為M， N，則線段 MN 長的取值范圍是.類型三：動(dòng)點(diǎn)與軸對稱1、如圖，在矩形 ABCD 中， AB= 23 ， 點(diǎn) E 是邊 BC 的一個(gè)三等分點(diǎn)（CE<BE ）， F 是AD 邊上一動(dòng)點(diǎn)，將圖形以EF 為折痕翻折后，當(dāng)、D、C 的對應(yīng)點(diǎn) D 、C 與 B 在一條直線上時(shí)，?EFG 的周長是。AFDGBECD'C'第 1題第 2 題2、如圖，在矩形 ABCD 中， AB=5

6、， AD=13 ， E、F 分別是 AB 、AD 邊上的動(dòng)點(diǎn)， 將?ABE向下翻折，點(diǎn)A落在BC邊上A、。處，則 A B 的最小值是3、如圖，正方形 ABCD 的邊長為6，EF 是正方形 ABCD 的一條對稱軸， G、H 分別在 AB 、CD 上，將圖形沿GH 對折后，點(diǎn) C 落在 E 處，求 tan ANE =。AEAEDDNHNMGBFCCB第 3 題第 4 題4、如圖，在 Rt ? ABC 中 AC=4 ， BC=3 ， D 是 AB 邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E 與點(diǎn) A 關(guān)于直線 CD對稱，當(dāng) DE/BC 時(shí)， AD=。5、如圖，在、Rt ? ABC 中， AB=4 ， BC=3 ， D 是 A

7、B 邊上一動(dòng)點(diǎn)， DE/BC ， A、 A 關(guān)于、。DE 對稱，當(dāng)? A EC 為直角三角形是 AD=ADEA'BC類型四：綜合應(yīng)用1、如圖，在矩形ABCD 中， E 是 AB 邊的中點(diǎn)，沿EC 對折矩形 ABCD ，使 B 點(diǎn)落在點(diǎn) P處，折痕為EC ，連結(jié) AP 并延長 AP 交 CD 于 F 點(diǎn)，（ 1 ）求證：四邊形 AECF 為平行四邊形；（ 2 ）若AEP 是等邊三角形，連結(jié) BP ，求證： APBEPC；（ 3 ）若矩形 ABCD 的邊 AB =6 ， BC =4 ，求CPF 的面積2 、如圖（ 1），在矩形ABCD 中，把B 、D 分別翻折，使點(diǎn)B 、 D 分別落在對角

8、線BC 上的點(diǎn) E、 F 處，折痕分別為CM 、 AN.（ 1）求證： AND CBM.（ 2）請連接 MF 、 NE ，證明四邊形 MFNE 是平行四邊形，四邊形 MFNE 是菱形嗎？請說明理由？（ 3）P、Q 是矩形的邊 CD 、AB 上的兩點(diǎn)， 連結(jié) PQ 、CQ 、MN ，如圖（ 2）所示， 若 PQ=CQ ， PQ MN 。且 AB=4 ，BC=3 ，求 PC 的長度 .3、已知一個(gè)矩形紙片OACB ，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A （ 11， 0 ），點(diǎn)B（ 0 ， 6），點(diǎn) P 為 BC 邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P 不與點(diǎn) B、 C 重合），經(jīng)過點(diǎn) O、P 折疊該紙片，得點(diǎn) B 和

9、折痕OP 設(shè) BP=t （）如圖，當(dāng)BOP=30 0 時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（）如圖，經(jīng)過點(diǎn) P 再次折疊紙片，使點(diǎn) C 落在直線 PB 上，得點(diǎn) C 和折痕PQ ，若AQ=m ，試用含有t 的式子表示m；（）在（）的條件下， 當(dāng)點(diǎn) C恰好落在邊 OA 上時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）4、如圖，在矩形紙片ABCD 中， AB=6 ，BC=8 把BCD 沿對角線 BD 折疊，使點(diǎn)C 落在C處，BC 交AD 于點(diǎn) G；E、F 分別是 CD 和 BD 上的點(diǎn)， 線段 EF 交 AD 于點(diǎn) H ，把FDE沿 EF 折疊，使點(diǎn) D 落在 D處，點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A 重合（1 ）求證： ABG C D

10、G ；（2 ）求 tan ABG 的值；（3）求 EF 的長5、問題提出（1 ）如圖，已知 ABC ，請畫出 ABC 關(guān)于直線AC 對稱的三角形 .問題探究（2 ）如圖，在矩形 ABCD 別存在點(diǎn) G、H，使得四邊形中， AB=4 ， AD=6 ， AE=4 ，AF=2 ，是否在邊BC 、 CD 上分EFGH 的周長最?。咳舸嬖?，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由.問題解決（3 ）如圖，有一矩形板材ABCD，AB=3米， AD=6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使 EFG=90°，EF=FG=米，EHG=45°，經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn)E、 F、

11、G 分別在邊AD 、 AB、 BC 上，且 AF BF ，并滿足點(diǎn)H 在矩形 ABCD 內(nèi)部或邊上時(shí)， 才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形 EFGH 部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH 部件的面積；若不能，請說明理由.三、課后作業(yè)1、如圖，等邊 ABC 的邊長為6,AD 是 BC 邊上的中線 ,M 是 AD 上的動(dòng)點(diǎn) ,E 是 AC 邊上一點(diǎn). 若 AE=2,EM+CM的最小值為.2、如圖1，在銳角三角形ABC中， AB=4, BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為第 1 題第 2 題第

12、 3題3、如圖，已知點(diǎn)C(1 ，0) ，直線 7 與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，D，E分別是yxAB ，OA 上的動(dòng)點(diǎn)，則 CDE 周長的最小值是 _.4、如圖 1，將正方形紙片ABCD 對折，使 AB 與 CD 重合，折痕為EF 如圖 2，展開后再折疊一次， 使點(diǎn) C 與點(diǎn) E 重合，折痕為 GH ，點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，EM 交 AB 于 N ，則 tanANE=_ 5、如圖，AOB=30 °，點(diǎn)M 、 N 分別在邊 OA、 OB 上，且 OM=1 ，ON=3 ，點(diǎn) P、Q分別在邊 OB 、OA 上，則 MP+PQ+QN的最小值是 _6 、 如 圖 ， Rt ABC中 ， C=

13、90 °，AB=5 ， AC=3 ， 在 邊 AB 上 取 一 點(diǎn) D ， 作 DE AB 交 BC 于點(diǎn) E，先將BDE沿 DE 折疊，使點(diǎn) B落在線段 DA 上，對應(yīng)點(diǎn)記為B1；BD 的中點(diǎn) F 的對應(yīng)點(diǎn)記為 F1若EFB AF 1E，則 B1D=7、如圖，AEF中，EAF=45°，AGEF 于點(diǎn) G，現(xiàn)將AEG沿 AE 折疊得到AEB ，將AFG沿 AF 折疊得到AFD ，延長 BE 和 DF 相交于點(diǎn) C探究一：猜想：四邊形 ABCD是何種特殊的四邊形？請證明自己的猜想探究二：連接 BD 分別交 AE、AF 于點(diǎn) M、N，將ABM 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使 AB 與 AD 重合，得到ADH ，試判斷線段 MN2、ND2、DH2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由探究三：若EG=4 ，GF=6 ，BM=3，你能求出 AG、MN 的長嗎？8 、 數(shù) 學(xué) 課 上 ， 老 師 出 了 一 道 題 ， 如 圖 ， Rt ABC中 ， C=90 °，AC=1AB ，2求證：B=30 °