初中幾何常見輔助線作法口訣

1、初中幾何常見輔助線作法口訣人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比

2、例中項(xiàng)一大片。圓半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂

3、添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線?？己贸踔袛?shù)學(xué)的四大絕招!長(zhǎng)期參加中考數(shù)學(xué)閱卷工作， 感觸頗深。如何在中考有限的時(shí)間內(nèi)充分發(fā)揮自己的水平，對(duì)每個(gè)考生來(lái)說(shuō)是很重要的一件事，它對(duì)你數(shù)學(xué)成績(jī)的影響也許是幾分、十幾分、甚至更多。根據(jù)我的觀察與分析，以下四方面對(duì)考生解答中考數(shù)學(xué)題應(yīng)有幫助。一、審題與解題的關(guān)系有的考生對(duì)審題重視不夠，匆匆一看急于下筆，以致題目的條件與要求都沒有吃透，至于如何從題目中挖掘隱含條件、啟發(fā)解題思路就更無(wú)從談起，這樣解題出錯(cuò)自然多。 只有耐心仔細(xì)地審題， 準(zhǔn)確地把握題目中的關(guān)鍵詞與量 ( 如“至少”， “a0”，自變量的取值范圍

4、等等 ) ，從中獲取盡可能多的信息，才能迅速找準(zhǔn)解題方向。二、“會(huì)做”與“得分”的關(guān)系要將你的解題策略轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)，主要靠準(zhǔn)確完整的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，這一點(diǎn)往往被一些考生所忽視，因此卷面上大量出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)”“對(duì)而不全”的情況，考生自己的估分與實(shí)際得分差之甚遠(yuǎn)。如幾何論證中的“跳步”，使很多人丟失 13 以上得分， 代數(shù)論證中“以圖代證” ，盡管解題思路正確甚至很巧妙，但是由于不善于把“圖形語(yǔ)言”準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)譯為“文字語(yǔ)言”，得分少得可憐；許多考生“心中有數(shù)”卻說(shuō)不清楚，扣分者也不在少數(shù)。只有重視解題過程的語(yǔ)言表述，“會(huì)做”的題才能“得分”。三、快與準(zhǔn)的關(guān)系在目前題量大、時(shí)間緊的情況下，“準(zhǔn)”字則尤為

5、重要。只有“準(zhǔn)”才能得分，只有“準(zhǔn)”你才可不必考慮再花時(shí)間檢查，而“快”是平時(shí)訓(xùn)練的結(jié)果，不是考場(chǎng)上所能解決的問題，一味求快，只會(huì)落得錯(cuò)誤百出。相當(dāng)多的考生在匆忙中把簡(jiǎn)單題目都算錯(cuò)，盡管后繼部分較難的題目花時(shí)間去算，也幾乎得不到分，這與考生的實(shí)際水平是不相符的。適當(dāng)?shù)芈稽c(diǎn)、準(zhǔn)一點(diǎn)，可得多一點(diǎn)分；相反，快一點(diǎn)，錯(cuò)一片，花了時(shí)間還得不到分。四、難題與容易題的關(guān)系拿到試卷后，應(yīng)將全卷通覽一遍，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)按先易后難、先簡(jiǎn)后繁的順序作答。近年來(lái)考題的順序并不完全是難易的順序，如去年 19 題就比 20、 21 要難，因此在答題時(shí)要合理安排時(shí)間，不要在某個(gè)卡住的題上打“持久戰(zhàn)”，那樣既耗費(fèi)時(shí)間又拿不到分

6、， 會(huì)做的題又被耽誤了。 這幾年，數(shù)學(xué)試題已從 “一題把關(guān)”轉(zhuǎn)為“多題把關(guān)”，因此解答題都設(shè)置了層次分明的“臺(tái)階”，入口寬，入手易，但是深入難，解到底難，因此看似容易的題也會(huì)有“咬手”的關(guān)卡，看似難做的題也有可得分之處。 所以考試中看到“容易”題不可掉以輕心，看到新面孔的“難”題不要膽怯，冷靜思考、仔細(xì)分析，定能得到應(yīng)有的分初中二年級(jí)幾何輔導(dǎo)資料作輔助線的常用方法編輯：郭昌文2002 年 10 月作輔助線的常用方法一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知

7、如圖 1-1：D、E 為 ABC 內(nèi)兩點(diǎn) , A 求證 :AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）MDEN將 DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB、AC于 M、N，B1C圖1在 AMN中， AM+AN > MD+DE+NE;（1）在 BDM中， MB+MD>BD；（2）在 CEN中， CN+NE>CE；（3）A由（ 1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE AB+AC>BD+DE+EC（法二：圖 1-2）GFDEB圖1C2延長(zhǎng) BD交 AC 于 F，廷長(zhǎng) CE交 BF于 G，在 ABF和 GFC和 GDE中有：AB+A

8、F> BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FC>GE+CE（同上） . （2）DG+GE>DE（同上） . （3）由（ 1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊， 構(gòu)造三角形， 使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上， 小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1：已知 D 為ABC 內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：BDC> BAC。分析：因?yàn)?BDC 與 BAC

9、 不在同個(gè)三角形中，AGEDBFC圖21沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置， BAC 處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng) BD交 AC于點(diǎn) E，這時(shí) BDC是 EDC的外角， BDC>DEC，同理 DEC>BAC， BDC>BAC證法二：連接 AD，并廷長(zhǎng)交 BC于 F，這時(shí) BDF是 ABD的外角， BDF>BAD，同理， CDF>CAD， BDF+ CDF>BAD+CAD，即： BDC>BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)， 通常將大角放在某三角形的外角位置上， 小角放在這個(gè)三 角 形的內(nèi)角位置上， 再利

10、用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相 A 等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖 3-1：已知 AD 為ABC 的中線，N且1= 2,3=4,求證：BE+CF>EF 。EF分析：要證 BE+CF>EF ，可利用三角形三邊12 34關(guān)系定理證明，須把 BE，CF， EF 移到同一BDC個(gè)三角形中，而由已知 1=2，圖 313=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把 EN，F(xiàn)N，EF 移到同個(gè)三角形中。證明：在 DN上截取 DN=DB，連接 NE，NF，則 DN=DC，在 DBE和 NDE中：DN=DB（輔助線作法）1=2（已知）ED=ED（

11、公共邊） DBE NDE （SAS） BE=NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得： CF=NF在 EFN中 EN+FN>EF（三角 形兩邊之和大于第三邊） BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)， ?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形， 然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)， 常延長(zhǎng)加倍此線段， 構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 4-1：AD 為ABC 的中線，且A1= 2，3=4，求證： BE+CF>EF證明：廷長(zhǎng) ED至 M，使 DM=DE，連接CM，MF。在 BDE和 CDM中，EFBD=CD（中點(diǎn)定義）234C1=51（對(duì)

12、頂角相等）BDED=MD（輔助線作法）BDE CDM （SAS）圖41M又 1=2， 3=4 （已知）1+2+3+4=180°（ 平角的定義 ）3+2=90°即：EDF=90°FDM=EDF =90°在 EDF和 MDF中ED= MD （輔助線作法） EDF=FDM （已證）DF=DF（公共邊）EDF MDF （SAS）EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 CMF中， CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF上題也可加倍 FD ，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)， 可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使

13、題中分散的條件集中。五、在三角形中線時(shí)，常廷長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 5-1：AD 為 ABC 的中線，求證： AB+AC>2AD 。分析：要證 AB+AC>2AD ，由圖想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD ，所以有 AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD ，左邊比要證結(jié)論多 BD+CD ，故不能直接證出此題，而由 2AD 想到要構(gòu)造 2AD ，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長(zhǎng) AD至 E，使 DE=AD，連接 BE，CE AD為 ABC的中線 （已知）ADBCE圖51BD=CD （中線定義）在 ACD和

14、 EBD中BD=CD（已證）1=2（對(duì)頂角相等）AD=ED（輔助線作法） ACD EBD （SAS）BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 ABE中有： AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊） AB+AC>2AD。（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）E練習(xí)：FA已知 ABC，AD 是 BC 邊上的中線，分別以AB 邊、 AC 邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖 5-2 ， 求證 EF=2AD。六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。BDC圖52例如：已知如圖 6-1 ：在 ABC中，AB>AC，1=2，P 為 AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC。分析： 要證： AB-AC&

15、gt;PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在 AB上截取 AN等于 AC，得 AB-AC=BN， 再連接 PN，則 PC=PN，又在 PNB中，PB-PN<BN，即： AB-AC>PB-PC。證明：（截長(zhǎng)法）在 AB 上截取 AN=AC 連接 PN ,在APN 和APC 中AN=AC （輔助線作法）1=2 （已知）AP=AP （公共邊）APN APC （SAS ）, PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在BPN 中，有 PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PC<AB-AC

16、證明：（補(bǔ)短法）A延長(zhǎng) AC 至 M，使 AM=AB ，連1 2NPCDBM圖 6 1接 PM，在ABP 和AMP 中AB=AM（輔助線作法）1=2（已知）AP=AP（公共邊）ABP AMP （SAS ）PB=PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又在PCM 中有： CM>PM-PC( 三角形兩邊之差小于第三邊)AB-AC>PB-PC 。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 7-1：已知 AC=BD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B，求證：AD=BC分析：欲證 AD=BC ，先證分別含有 AD ，BC 的三角形全等，有幾種方案：ADC 與BCD ，AOD 與BOC ，ABD 與BAC ，

17、但根據(jù)現(xiàn)有條件， 均無(wú)法證全等，差角的相等， 因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng) DA，CB ，它們的延長(zhǎng)交于E 點(diǎn)，AD AC BCBD （已知）CAE= DBE =90 °（垂直的定義）E在DBE 與CAE 中DBE= CAE （已證）BD=AC（已知）E=E（公共角）DBE CAE（AAS ）ED=EC EB=EA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）ABDC圖71ED- EA= EC- EB即： AD=BC 。（當(dāng)條件不足時(shí)， 可通過添加輔助線得出新的條件， 為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖 8-

18、1：ABCD，ADBC求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形ADBC圖81的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。證明：連接 AC（或 BD ）ABCDADBC（已知）1=2，3=4在ABC 與CDA 中，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）1=2 （已證）OD=OD（公共邊）3=4 （已證）ABC CDA（ASA ）AB=CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖 9-1：在 RtABC 中，AB=AC ，BAC=90 °，1=2， CEBD 的延長(zhǎng)于 E 。求證： BD=2CEF分析：要證 BD=2CE ，想到要構(gòu)造線段 2CE

19、，AE同時(shí) CE 與ABC的平分線垂直，想到D要將其延長(zhǎng)。1證明：分別延長(zhǎng) BA，CE 交于 F。2CBECF （已知）B圖91BEF= BEC=90 °（垂直的定義）在BEF 與BEC 中，1=2 （已知）BE=BE（公共邊）BEF= BEC（已證）BEF BEC（ASA ）CE=FE= 1 CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）2BAC=90 ° BECF （已知）BAC= CAF=90 ° 1+BDA=90 °1+BFC=90 BDA= BFC在ABD 與ACF 中BAC= CAF（已證）BDA= BFC（已證）AB=AC（已知）ABD ACF（AAS ）B

20、D=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）BD=2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖 10-1 ；AC、BD 相交于 O 點(diǎn)，且 AB=DC ， AC=BD ，求證：A=D。分析：要證A=D，可證它們所在的三角形 ABD 和DCO 全等，而只有 AB=DC 和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件， ，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由 AB=DC ，AC=BD ，如連接 BC，則ABD 和DCO 全等，所以，證得A=D。證明：連接 BC在ABC 和DCB 中AB=DC（已知）AC=DB（已知）BC=CB（公共邊）ABC DCB(sss)A= D(全等本角形對(duì)應(yīng)邊相等)ADOBC圖101十

21、一、 取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 11-1 ：AB=DC ，A= D 求證：ABC= DCB 。分析：由 AB=DC ，A=D，想到如取 AD 的中點(diǎn) N，連接 NB ，NC，再由 SAS 公理有ABN ANDDCN ，故 BN=CN ，ABN= DCN 。下面只需證NBC= NCB ，再取 BC 的中點(diǎn) M ，連接 MN，BM則由 SSS 公理有NBM NCM ，所以NBC= 圖11 1NCB 。問題得證。證明：取 AD，BC 的中點(diǎn) N、M ，連接 NB，NM ，NC 。則 AN=DN BM=CM ，在ABN 和DCN 中AN=DN（輔助線作法）A= D（已知）AB=DC（已知）

22、ABN DCN（SAS ）C，ABN= DCN NB=NC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在NBM 與NCM 中NB=NC（已證）BM=CM（輔助線作法）NM=NM（公共邊）NMB NCM ，(sss)NBC= NCB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）NBC+ ABN = NCB+ DCN即ABC= DCB 。1圓中作輔助線的常用方法：（ 1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。（ 2）若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時(shí)，一般連接中點(diǎn)和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。（ 3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當(dāng)選取圓周上的點(diǎn)，連結(jié)此點(diǎn)與直徑端點(diǎn)得到 90 度的角或直角三角形。（ 4

23、）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（ 5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖 1，圓 O 中， BDOA于 D，經(jīng)常是：如圖 1（上）延長(zhǎng) BD交圓于 C，利用垂徑定理。如圖 1（下）延長(zhǎng) AO交圓于 E，連結(jié) BE， BA，得 RtABE。圖 1（上）圖 1（下）（ 6）若題目中有“切線”條件時(shí)，一般是：對(duì)切線引過切點(diǎn)的半徑，（ 7）若題目中有“兩圓相切” （內(nèi)切或外切），往往過切點(diǎn)作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過切點(diǎn)）以溝通兩圓中有關(guān)的角的相等關(guān)系。（ 8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形解決，有時(shí)還引兩連

24、心線以得到結(jié)果。（ 9）有些問題可以先證明四點(diǎn)共圓， 借助于輔助圓中角之間的等量關(guān)系去證明。（ 10）對(duì)于圓的內(nèi)接正多邊形的問題， 往往添作邊心距， 抓住一個(gè)直角三角形去解決。0例題 1：如圖 2，在圓 O中， B 為的中點(diǎn)， BD為 AB的延長(zhǎng)線， OAB=50，求 CBD的度數(shù)。0解：如圖，連結(jié) OB、OC的圓 O的半徑，已知 OAB=50 B 是弧 AC的中點(diǎn)弧 AB=弧 BC AB=BC又 OA=OB=OC AOB BOC（）0 OBC= ABO=500 ABO+ OBC+CBD=180000 CBD=180- 50- 500 CBD=80圖 20答: CBD的度數(shù)是 80 .例題 2

25、: 如圖 3, 在圓 O中, 弦 AB、CD相交于點(diǎn) P，求證： APD 的度數(shù) = 1 （弧 AD+弧 BC）的度數(shù)。2證明：連接 AC，則 DPA=C+A12A的度數(shù) = 1 弧 BC的度數(shù)21 APD= （弧 AD+弧 BC）的度數(shù)。2圖 3一、造直角三角形法1.構(gòu)成 Rt , 常連接半徑例 1.過 O 內(nèi)一點(diǎn)M , 最長(zhǎng)弦AB = 26cm, 最短弦CD = 10cm ,求AM長(zhǎng) ;2.遇有直徑 ,常作直徑上的圓周角例 2.AB 是O的直徑 ,AC 切 O于 A,CB 交O 于 D,過 D 作 O的切線 , 交 AC于 E.求證 :CE = AE;3.遇有切線 ,常作過切點(diǎn)的半徑例 3

26、 .割線 AB 交 O于 C、 D, 且 AC=BD,AE切 O于 E,BF 切 O于 F. 求證 : OAE = OBF;4. 遇有公切線 , 常構(gòu)造 Rt ( 斜邊長(zhǎng)為圓心距 , 一直角邊為兩半徑的差 , 另一直角邊為公切線長(zhǎng))例 4 . 小 O1 與大 O2 外切于點(diǎn) A, 外公切線 BC、 DE分別和 O1 、 O2 切于點(diǎn) B、 C和 D、 E，并相交于 P， P = 60 °。求證： O1 與 O2 的半徑之比為 1：3；5正多邊形相關(guān)計(jì)算常構(gòu)造Rt 例 5. O的半徑為6, 求其內(nèi)接正方形ABCD與內(nèi)接正六邊形二、欲用垂徑定理常作弦的垂線段AEFCGH的公共部分的面積.例 6. AB 是 O的直徑 ,CD 是弦 ,AE CD于 E,BF CD于 F.(1) 求證 :EC = DF;(2) 若 AE = 2,CD=BF=6, 求 O的面積 ;三、轉(zhuǎn)換割線與弦相交的角，常構(gòu)成圓的內(nèi)接四邊形例 7. AB 是 O直徑 , 弦 CD AB,M是 AC 上一點(diǎn) ,AM 延長(zhǎng)線交 DC延長(zhǎng)線于 F.求證 : F = ACM;四、切線的綜合運(yùn)用1已知過圓上的點(diǎn)，常 _例 8. 如圖， 已知： O1A與O2 外切于