初中數(shù)學(xué)分類思想的認識

1、初中數(shù)學(xué)分類思想的認識與實踐初中數(shù)學(xué)分類思想的認識與實踐程建軍從一道中考題談起：如右圖， 在四個正方形拼接成的圖形中，以 A1，A2,A10這十個點中任意三個點為頂點，共能組成_個等腰直角三角形。 你愿意把得到上述結(jié)論的探究方法與他人交流嗎？若愿意， 請在下方簡要寫出你的探究過程。 （結(jié)論正確且所寫的過程簡捷合理可另加 2 分，但全卷總分不超過 150 分）簡析簡析 本題中以這 10 個點的任意 3 點為頂點能構(gòu)成多個等腰直角三角形。為了防止重復(fù)和遺漏，我們對不同的等腰三角形進行分類討論。以直角邊長為 1 的等腰三角形有 18 個，以直角邊長為 2 的等腰直角三角形有 2 個，以直角邊長為的等

2、腰三角形有 10 個，以直角邊長為的等腰直角三角形有 2 個（A2A9A6和A1A8A5） ，因此共有 32 個等腰直角三角形。本題是一道交流式的探究題，立意新穎，是考查分類思想的一道好題。解題是要正確運用分類思想，做到既不重復(fù)、也不遺漏?？墒?，去年某市晉升高級教師專業(yè)考試，19 人參加考試，對這道題的解答五花八門，而得出正確答案只有 2 人。更令人遺憾的是，筆者也曾發(fā)現(xiàn)有一本數(shù)學(xué)專業(yè)刊物對其解答作了多次校正。究其原因是由于不關(guān)于分類討論，或分類方法不當，或分類不夠徹底造成的。這從一個側(cè)面說明，我們對初中數(shù)學(xué)25分類討論思想有待進一步加深認識。值得指出的是，近年來不論高考還是中考，關(guān)于考查分類

3、討論思想的試題，不但題量增多，而且問題更為隱蔽，難度也更大，本題的第四種情況就是如此。觀察圖形時要有整體視角，既要考慮形內(nèi)的，也要注意形外的，還要注意圖形內(nèi)外交叉的，更要注意觀察非標準位置的圖形，防止思維定勢。下面就分類討論思想的認識與教學(xué)這兩個問題，談一點膚淺的體會。1 1、什么是數(shù)學(xué)分類思想、什么是數(shù)學(xué)分類思想在研究與解決數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的異同點，將對象分為不同種類，然后逐類進行研究與解決，從而達到研究與解決問題的目的。這一思想方法，我們稱它為“分類思想” 。分類思想的掌握對研究和解決問題十分有益。因此是科學(xué)研究中最常用、最基本的思想之一。人們常以“物以類聚”來認識自然界

4、中成千上萬的事物，又以“分門別類”來研究紛繁復(fù)雜的事物對象，這是分類思想在認識事物時的具體運用。分類思想實質(zhì)上是一種邏輯劃分，在研究與解決數(shù)學(xué)問題時，按照某一確定的標準在比較的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)對象劃分為若干既有聯(lián)系、又有區(qū)別的部分，做到既不重復(fù)又為遺漏也不能為空。在這里比較是分類的前提，分類是比較的結(jié)果。它的表達式：其中 P=P1P2P3Pn， 且 Pi， PiPj=(ij， i， j=1， 2， ，n)。分類思想有三個明顯特點：一是對什么東西分類，即確定分類的對象；二是按什么標準分類，即選擇分類的標準；三是分成哪幾類，即確定分類的結(jié)果。如本題分類的對象較為明確，即對等腰直角三角形進行分類，而分

5、類標準的選擇則較為靈活。本文的解法是按等腰直角三角形的直角邊的長進行分類。當然，也可以按等腰三角形的的斜邊長進行分類，還可以按照等腰三角形直角的直角頂點進行分類，我認為在這里按本文的分類標準比較符合我們觀察圖形的視角，達到正確分類的目的。因此，確定分類的對象 是分類 的前提，選擇分類的標準是分類的關(guān)鍵，確定分類的結(jié)果是分類的終結(jié)。但對于研究和解決問題來說，則是起步，還需要對分分類的結(jié)果進行逐類的研究與討論，最后達到研究和解決問題的目的。2 2、如何加強分類討論思想的教學(xué)、如何加強分類討論思想的教學(xué)增強分類討論意識，主動做好“滲透”工作近些年來，不少數(shù)學(xué)教師對分類討論思想方法比較重視，中考命題也

6、把分類討論問題作為重要的數(shù)學(xué)思想方法來考查。但從我們對中考試卷分析來看，不少同學(xué)對這一數(shù)學(xué)思想方法的掌握、運用得不理想，甚至根本未意識到分類的必要性，說明學(xué)生的分類意識十分欠缺！初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的教學(xué)亟待加強。分類思想的學(xué)習(xí)不只是在備考，而應(yīng)滲透在平時的教學(xué)過程中。在確定教學(xué)目標、設(shè)計教學(xué)過程、設(shè)計板書、解題訓(xùn)練時，都要考慮到分類討論思想的滲透。數(shù)學(xué)中的不少定義、公式、法則、性質(zhì)、定理等本身就是分類定義的，如絕對值的定義、有理數(shù)加法法則、兩圓位置等、都蘊含著分類思想。這種分類思想還體現(xiàn)在定理的證明、法則的推導(dǎo)等方面。如圓周角定理的證明、一元二次方程根的情形的討論等，許多教師常常匆匆?guī)?/p>

7、過，或者不給學(xué)生自主學(xué)習(xí)（甚至經(jīng)歷挫折）的機會，認為只有在練習(xí)中才能 學(xué)習(xí)分類思想，這就錯過了面對新問題時如何運用分類思想的機會，更可惜的是，這對分類意識的形成 極為不利。根據(jù)新課標的要求，我們要把掌握分類思想作為一項教學(xué)目標納入教學(xué)過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。在教學(xué)中要遵循循序漸進、適時滲透、逐步深化的原則。初始階段，可從學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)分類入手，逐步提高要求。當學(xué)生初步理解一些數(shù)學(xué)分類方法后，適時做好深化、歸納工作，可設(shè)計一些含有分類思想的習(xí)題，通過專項訓(xùn)練，幫助學(xué)生總結(jié)一些常見的分類方法，逐步強化分類意識，養(yǎng)成善于分類討論的思維習(xí)慣。學(xué)會分類方法，逐步提高運用能力在解決數(shù)學(xué)問題時，找出問題中的不確定因素是把握分類思想的切入點和突破口。代數(shù)問題中的不確定因素，如有些含有參數(shù)的式子、方程或不等式，其中參數(shù)的取值范圍是引起分類討論的直接原因。例例 1解關(guān)于 x 方程a2x+a = x+1(a 為實數(shù)） 。簡解簡解原方程可化為(a+1)(a-1)x= - (a-1)。當 a1 時，x=-;當 a =1 時，x 可取任何實數(shù)，即方程有無數(shù)解;當 a= -1 時，方程無解。評注評注解含參數(shù)的一元一次方程時，要對含字母的系數(shù)分別等于 0，不等于 0 兩種情況討論。幾何圖形中的形狀和位置關(guān)系的不確定性，是缺少分類意識的學(xué)生最易出錯的地方，要特別引起注意。例例 2在半徑