關(guān)于最短路徑思考

1、關(guān)于最短路徑思考我們已經(jīng)學(xué)過(guò)“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)數(shù)學(xué)公理了。這看似簡(jiǎn)單的八個(gè)字蘊(yùn)涵著許多奧妙，將它擴(kuò)展、延伸可得到一個(gè)最短路徑問(wèn)題、即求連接A、B兩點(diǎn)的線段中哪一條最短。當(dāng)A、B在同一平面內(nèi)時(shí)，即使是從北京到天津，我們也可以輕松地利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”得出線段AB是A、B兩點(diǎn)間的最短路徑（如圖1-1）。圖1-1有人會(huì)說(shuō)：“這也太簡(jiǎn)單了！”別著急，請(qǐng)看下面這道題（如圖2-1）： 圖2-1有一位將軍騎著馬要從A地走到B地，但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近。這道題乍一看似乎無(wú)從下手。但經(jīng)過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)此題依然可以利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決問(wèn)題，具體方法為：做B點(diǎn)

2、與河面的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB，可得到馬喝水的地方C（如圖2-2）。圖2-2再連接CB得到這道題的解ACB。這就是著名的“將軍飲馬”問(wèn)題。不信的話你可以在河邊任意取一點(diǎn)C連接AC和CB，比較一下就知道了。明白了剛才的平面問(wèn)題，接下來(lái)看看立體圖形問(wèn)題（如圖3-1）。圖3-1求點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑是那一條。此時(shí)已不在同一平面內(nèi)，不能直接利用公理解決問(wèn)題。此時(shí)，就要利用數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形來(lái)研究（如圖3-2）。圖3-2從而得到兩條最短路徑：ABCC和ACDC。同理，還可以得出6條最短路徑來(lái)(如圖3-345)。圖3-3     

3、60;    圖3-4       圖3-5分別為：ABCC、ACDC、ADDC、ABBC、AADC、AABC。那長(zhǎng)方體的最短路徑呢？我們來(lái)看一下這題（如圖4-1）圖4-1從A到C，不經(jīng)過(guò)ABCD和ABCD兩面，怎樣走最近？我們不如先不考慮第二個(gè)條件，從上題可知有六條最短路徑，但此題與上題略有不同長(zhǎng)方體各面不相等，因此我們需比較那條路徑最短。觀察發(fā)現(xiàn)這六條路徑，兩兩長(zhǎng)度相等，即只比較這三條路徑誰(shuí)更短就可以了（如圖4-23）。圖4-2 圖4-3解：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，依題意，得：= = = 2xy2x

4、z2yz 即走第三條路徑最短。得到從A到C的路徑中從ABBC和ADDC最短，與第二個(gè)已知條件無(wú)關(guān)。平面是這樣，那曲面呢？我們?cè)倏匆活}（如圖5-1），從A到B，怎樣走最近呢？與前兩題相同，把圓柱體展開(kāi)（如圖5-2），此時(shí)，只有A點(diǎn)位于與長(zhǎng)方形的交界處時(shí)，才是最短路徑，且只有一條最短路徑AB。圖5-1 圖5-2從上面幾題可以看出立體圖形中的最短路徑問(wèn)題，都可先把立題圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形再思考。而且得出正方體有6條最短路徑；長(zhǎng)方體有2條最短路徑；圓柱有1條最短路徑。這短短的八個(gè)字還真是奧妙無(wú)窮??！教師注：初一剛?cè)雽W(xué)不久的學(xué)生，能把問(wèn)題一個(gè)問(wèn)題表述得如此清晰，很是難能可貴。不足之處是在對(duì)圓柱體問(wèn)題的探究

5、中考慮不周，有其他可能未進(jìn)行探究。繼續(xù)努力，力爭(zhēng)把問(wèn)題研究的更清楚、更透徹。兩點(diǎn)之間線段最短的探究與再思考原靜雯 初一上學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)，并利用它作了一節(jié)課，相信大家對(duì)它還是記憶猶新的。自從那次課后，不知大家有沒(méi)有進(jìn)行更深的思考，小人不才，愿用這貧乏的文字，說(shuō)一說(shuō)我的想法。探究問(wèn)題一：已知，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小。（如圖所示）                解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的基本概念，只用連接A

6、B即可輕松的得到答案。如圖所示。線段AB與直線L的交點(diǎn)，就是題目要求的點(diǎn)P?？偨Y(jié)：本題雖然十分簡(jiǎn)單，但卻是所有有關(guān)本類題目難題的基礎(chǔ)，是必須要牢記與掌握的。下面一題，就是上一題的變形，你還會(huì)做嗎？探究問(wèn)題二：已知，A，B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小。（如圖所示）                          &#

7、160;  解：本題的難點(diǎn)不在于解題過(guò)程，而在于解題的思想，往往大家不能正確的找到解題的思路。那么，我就在此拋磚引玉，說(shuō)說(shuō)我的看法。首先，作點(diǎn)B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)B，（如圖所示），因?yàn)镺B=OB,BOP=B，OP=OP，所以O(shè)PBOPB。所以，PB=PB。因此，求AP+BP就相當(dāng)于求AP+PB。這樣，復(fù)雜的問(wèn)題便通過(guò)轉(zhuǎn)化變得簡(jiǎn)單，成了探究問(wèn)題一。因此只用連接AB即可，與直線L的交點(diǎn)，就是題目要求的點(diǎn)P。結(jié)論：我們完全也可以把以上的結(jié)論當(dāng)作一個(gè)模塊牢記下來(lái)，成為自己解題的方法之一。探究問(wèn)題三：A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小

8、。(如圖所示)                        解：利用探究問(wèn)題二的結(jié)論，作A與OM的對(duì)稱點(diǎn)D，再作A與ON的對(duì)稱點(diǎn)E。連接DE（如圖所示），據(jù)上題鋪墊，我們可得，AB=BD，AC=CE，又因?yàn)镈，B，C，E在一條直線上，所以，這時(shí)的周長(zhǎng)是最短的?？偨Y(jié)：本題可總結(jié)為“三角形的一點(diǎn)決定”。下面我們看一看四邊形一邊確定。探究問(wèn)題四：AB是銳角MON內(nèi)部一條線段，在角M

9、ON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)C，D組成四邊形，使四邊形周長(zhǎng)最小。（如圖所示）                       解：有了上一題的鋪墊，本題似乎簡(jiǎn)單了許多，作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E，再作B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF即可。如圖。ABCD便是周長(zhǎng)最小的。（2）下面我把上一題簡(jiǎn)單變形，把銳角變?yōu)橹苯?，大家再看，本圖有沒(méi)有似曾相識(shí)之感？對(duì)了，我們見(jiàn)過(guò)的，只用把兩條直角邊所在直線看作是一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，再把AB兩點(diǎn)固定位置，這樣，就變?yōu)榱嗽驴几郊宇}中的最后一題。原題：在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A（-8，3）、B（-4，5）、C（0， n）、D(m,o),當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，求m/n的值。解：依題意畫圖得：          由探究問(wèn)題四得知，作B關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B，A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A。連接AB，他們與X軸，Y軸的交點(diǎn)便為所求。如圖所示，過(guò)A與B兩