對兩個(gè)重要極限重要性認(rèn)識

1、對兩個(gè)重要極限的重要性的認(rèn)識摘要 ：通過對兩個(gè)重要極限重要性的理解和認(rèn)識,總結(jié)有關(guān)兩個(gè)重要極限的論文成果，指出兩個(gè)重要極限在微積分的計(jì)算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，主張學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識不僅局限于課本，要培養(yǎng)提高探究問題的能力，系統(tǒng)全面的看待問題，深刻細(xì)致的體會微積分思想的嚴(yán)謹(jǐn)性。關(guān)鍵詞： 重要極限；重要性；證明；應(yīng)用1. 緒論兩個(gè)重要極限在微積分的計(jì)算和整個(gè)微積分思想中起著舉足輕重的作用，目前，關(guān)于這方面的分析已經(jīng)很成熟，有關(guān)于它們的來源，證明，應(yīng)用和深入擴(kuò)展，本文系統(tǒng)的總結(jié)了部分具有代表性的成果，從而可以直觀全面的認(rèn)識和體會兩個(gè)重要極限的重要性，對剛接觸極限理論，沒有深入認(rèn)識兩個(gè)重要極限的學(xué)

2、生來說，具有指導(dǎo)意義。數(shù)學(xué)分析課程在講述關(guān)于兩個(gè)重要極限和時(shí)，著重強(qiáng)調(diào)了它在整個(gè)極限計(jì)算中有重要地lim sin x1lim (11 ) xex 0xxx位。它能將許多復(fù)雜的極限計(jì)算迅速簡化,應(yīng)用非常靈活。因此，這兩個(gè)重要的極限可以說是全部微積分學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ),其重要性就不難理解了。試想 ,若沒有它們 , 那么只要遇見微積分相關(guān)的計(jì)算題, 必須用最基本的方法，有些還不一定求得出來，更不用說由它們推廣出的更復(fù)雜的應(yīng)用了。2. 兩個(gè)重要極限的證明兩個(gè)重要極限是極限理論的重要內(nèi)容 , 也是解決極限問題的一種有效方法 , 在學(xué)生的學(xué)習(xí)中 , 起著重要作用，了解它們的證明方法對充分理解和認(rèn)識它們是十分必要

3、的，它的證明過程也是對兩邊夾定理及單調(diào)有界數(shù)列必有極限這一準(zhǔn)則的恰當(dāng)應(yīng)用。2. 1 第一個(gè)重要極限 ： lim sin x1x 0x1：證明：作單位圓，如圖圖 1設(shè) x 為 圓 心 角AOB， 并 設(shè)0 x見圖不難發(fā)現(xiàn)：2S AOB S扇形 AOB S AOD ，即： 1 sin x1 x1 tan x ，即sin xxtan x ，2221x1cos xsin xcos x1sin xx（因?yàn)?0x，所以上不等式不改變方向）x2當(dāng) x 改變符號時(shí)， cos x,及 1 的值均不變，故對滿足0x的一切sin xsin x2x ，有 cos x1。x又因?yàn)?cos x1(1cos x)12sin

4、 2 ( x ) 1 2x21x2，242x21lim cos x 1所以 1cos x2x0而 lim cos xlim 11lim sin x1，證畢。x 0x 0x 0x2.2 第二個(gè)重要極限 ： lim (11 ) x ex x先考慮 x 取正整數(shù)時(shí)的情形： lim (11 ) nnn對于 ba0 ，有不等式： bn 1a n1(n 1)bn ，ba即：bn 1an 1(n1)bn (b) ，a即：n 1bn (n1)aanb（ i） 現(xiàn) 令 a1n1 ,b 11， 顯 然 ba 0 ， 因 為1n(n 1)anbn11( n1) 1將其代入，所以(11) n 1(11) n，所以li

5、m sin x1n1n1n為單調(diào)數(shù)列，記作 xn 。x0x( 11xn)lim (1ex)（ii）又令a1，xb 11,(n 1)a nb n 1 (n1)12n221 ) n 11 ) n1 ) 2n ，所以1 (12 (14 (12n22n2n即對 ,x2 n4， 又對(11)2 n 1(11)2 n 24n2n2n1 ) n 是有界的。12所以 (1n1 ) n 存在，并使用 e 來表示，由單調(diào)有界定理知lim (1xn1 ) n即 lim (1e2.7182818284 59045xn3. 兩個(gè)重要極限在微分學(xué)中的重要性在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們熟悉的基本初等函數(shù)有以下五類：1冪函數(shù)yx (

6、R ),2指數(shù)函數(shù)yx(a0,a1)，a3對數(shù)函數(shù)ylog ax( a0, a1)，4 三角函數(shù) y=sin x, y=cos x，y=tan x, y=cot x,5 反三角函數(shù) y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則混合運(yùn)算與符合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)，微積分中我們經(jīng)常需要計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，微分學(xué)的基本概念導(dǎo)數(shù)是建立在極限概念基礎(chǔ)上的。即求一個(gè)函數(shù)f(x)在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)'( x)，就f是計(jì)算極限f ( x x)f (x)limx0x（ 3.1）當(dāng)這一極限存在時(shí)，其值就是' 。

7、但這僅僅是停留在導(dǎo)數(shù)定義上的，如果f ( x)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都要計(jì)算極限3.1 的話，顯然是非常復(fù)雜和繁瑣的，勢必限制導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用。事實(shí)上，在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，并不都需要計(jì)算極限 3.1，而只需根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則就可以很方便地求得任何一個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，兩個(gè)重要極限對于以上六類基本初等函數(shù)的求導(dǎo)起到了至關(guān)重要的作用。關(guān)于基本初等函數(shù)的求導(dǎo)，我們可以大致分為三類函數(shù)：第一類是冪函數(shù)，第二類是三角函數(shù)和反三角函數(shù)，第三類是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)。對于第一類函數(shù)的求導(dǎo)，要利用二項(xiàng)式定理和導(dǎo)數(shù)定義便求得。對于第二類函數(shù)的求導(dǎo)，lim sin x1需要利用到 x 0x這個(gè)重要極限。對于

8、第三類函數(shù)的求導(dǎo)，需要利用到lim (11 ) x exx這個(gè)極限。下面來看一看基本求導(dǎo)公式是如何得來的。3.1 重要極限在三角函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用以正弦函數(shù) sin x 的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)為例.由導(dǎo)數(shù)的定義sin(xx)sin( x)2cos(xx )sinx(sin x)' limlim22x 0xx 0xxlim cos(xx) sin 2cosx 1cosxx 02x2lim sin xsinxlim sin t其中應(yīng)用了第一個(gè)重要極限1 ，即 lim21 （令x 0xx 0xt 0t2tx ）。2求得 (sin x)= cosx 后，其余的三角函數(shù)和反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式就可以利

9、用多個(gè)求導(dǎo)法則得到了。3.2 重要極限在指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用其次，再看看對數(shù)函數(shù)log a x 的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程。由導(dǎo)數(shù)定義(log ax)'lim log a ( xx) log a xlim log a (1x )x0xx0x1x 1xlim log a(1x ) x xx0xlim 1 log a (1x )x 0 xxx11xxlog a ex ln a其中應(yīng)用了第二個(gè)重要極限 lim(11 )xe ，即 lim log a (1x )xxx0xx1)uxlim(1euu（令 x /xu ）。求得了 (log a x)' 以后，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的求導(dǎo)公式

10、就容易得出了。可見，兩個(gè)重要極限在導(dǎo)出基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式的過程中，特別是涉及三角函數(shù)的過程中起到了關(guān)鍵性的作用，沒有這兩個(gè)重要極限，兩類函數(shù)的求導(dǎo)公式就不可能得出。兩個(gè)重要極限在初等函數(shù)求導(dǎo)過程中起到了重要的紐帶作用，因?yàn)橥频拐液瘮?shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的過程中要用到這兩個(gè)極限，而所有的初等函數(shù)都可以從這兩類函數(shù)以及它們的反函數(shù)出發(fā)，經(jīng)過有限的四則運(yùn)算復(fù)合得到。因此，從這兩類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)出發(fā)，利用函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合和反函數(shù)求導(dǎo)法則，就能求得全部初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。再由于積分是微分的逆運(yùn)算，可以得到基本積分表，依靠他們能算出大量初等函數(shù)的積分。可以說，兩個(gè)重要極限可以說是全部微分積分學(xué)的基礎(chǔ)，在

11、微積分的計(jì)算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，所以這兩個(gè)重要極限極其重要。4. 兩個(gè)重要極限在計(jì)算中的應(yīng)用4.1兩個(gè)重要極限在一元極限中的應(yīng)用00第一個(gè)重要極限實(shí)際上是兩個(gè)無窮小之比的極限。若分子分母分別求極限便 00得這一不定的結(jié)果，因此稱這一類型的極限為型未定0式。類似地，第二個(gè)重要極限是屬于 1 型未定式。0綜上所述，可以得出這樣的結(jié)論，凡是含有三角函數(shù)的型未定式和 1型未定式，我們都可不妨用兩個(gè)重要極限來試試，看能否求出它的結(jié)果，以下舉例來說明如何應(yīng)用這兩個(gè)重要極限于極限運(yùn)算中的。例1 求 lim1cosxx2x01cos x2sin2xsin 2 xlim 1sin xsin x1 解

12、 := lim2lim222limx2x 2xx 0x 0x 0)2x 0 2xx22(222例 2求 limtan xsin x x 0x3tan xsinxsin xsin xsin x 1cosx= lim cosxlimcosx解: lim33x0xx0xx0x3= lim sin x lim1lim 1cosx1 x0xx 0 cosxx 0x 22例3求 lim (12 ) x xx解:2=t ，則 x= 2 令 xt當(dāng) x時(shí) t0，21于是lim (12 ) x = lim (1 t ) t lim (1 t ) t 2 =e2xxt 0t 0例43x x求 lim ()x 2

13、x解: 令 3 x =1+u ，則 x=2 1 2xu當(dāng) x時(shí) u0，3x11x= lim (122u) u lim (1u ) u于是 lim ()(1 u )x2xu0u 01lim (1 u ) 2 =e -1= lim(1u ) u 1u0u 0例5求 lim (1tan x) cot x x0解:設(shè) t=tanx，則1 cotxt當(dāng) x0 時(shí) t0，1于是 lim (1tan x ) cot x = lim (1t ) t =ex0t04.2 兩個(gè)重要極限在二元函數(shù)極限中的應(yīng)用4.2.1 重要極限 lim sin x1 的應(yīng)用x0x極限 limsin u( x, y)是一元函數(shù)第一個(gè)

14、重要極限的推廣，其中，u( x, y)1u( x, y )0（） （）0 ，把 u(x, y) 看作新變量 t ，考慮極限過程x, yx0 , y0時(shí)， u(x, y)t0 。limsin( x3x2例 1 求極限 ( x, y)(0,0 )sin( x3y3 )limx2y2解： ( x, y ) (0, 0)3y )limsin(x3y3 )x3y 3x3y3x2y2( x, y) (0 ,0)limsin(x3y3 )limx3y31 0 0( x3x3y3x2y2y3 ) 0( x, y) ( 0,0)極限運(yùn)算過程中第一個(gè)等號是一個(gè)恒等變形。我們設(shè) f ( x, y)sin( x3y3

15、 )，定義域是 D (x, y) (x, y) (0,0) 。x2y2再設(shè) f1( x, y)sin( x3y3 ) x3y3x3y3x 2y2定義域 D1,y(,) (0,0)且yx,顯然有D 1 D。xx y可以看到，從函數(shù)f ( x, y) 到f1( x, y) 定義域變小了，但 f (x, y) ， f1 (x, y) 分別在各自的定義域 D 與D1內(nèi)，當(dāng)(0,0)時(shí)，可以證明極限都是存在的，證明（ x, y）如下：（ 1）以下是對 f ( x, y)sin( x3y3 ) 在定義域 D( x, y) ( x, y) (0,0) 內(nèi)極限x2y2的證明。因?yàn)楫?dāng)（ x, y） (0,0)

16、時(shí)，有：sin( x3y3 )x3y 3xx2yy 2xy00y2x2y 2y2yx2x2x22limsin( x3y3 )所以由夾逼準(zhǔn)則得x2y2=0( x, y)(0,0 )(2)對 f1( x, y)sin(x3y3 ) x3y3x, y (x, y)(0,0)且 yx , 內(nèi)x3y3x2y2 在定義域 D1極限的存在性，由極限的四則運(yùn)算法則容易知道，并且其值易算得為0.既然 f ( x, y)sin( x3y3 )在定義域 D ( x, y) ( x, y)(0,0) 內(nèi)極限存在，那么極x2y 2限必唯一。我們可以在D 內(nèi)任找(0,0)的方式來計(jì)算出極限值。由D 與（ x, y）D1

17、的關(guān)系（ D1D ），知道在D1DD1 中兩函數(shù)相等，所以在求極限找（ x, y）(0,0) 的方式時(shí)，我們可以在D1（ D1D ）中找，顯然，兩函數(shù)的極限是相等的。f ( x, y)sin( x3y3 )f1 (x, y)sin( x3y 3 ) x3y3x2y2x3y3x2y2 ，limsin( x3y3 )limsin( x3y3 ) x3y3但是，x2y2x3y3x2y2( x, y )(0,0)( x, y) (0, 0)limf1 (x, y)是成立的。= ( x, y)（）0, 0所以在（ x, y）(0,0) 時(shí)，兩函數(shù)的極限是相等的。同理可以計(jì)算下面例子。sin xylim例

18、 2 求極限 ( x, y)(0, 0)ysin u (x, y ) u ( x, y );1cos u ( x, y) 1 u 2 ( x, y );2ln 1u ( x, y) u ( x, y ); tan u (x, y ) u ( x, y );eu ( x , y )1 u ( x, y)解： limsin xylimsin xy xlimsin xylim x 1 0 0 。( x, y ) (0, 0)y( x, y)(0,0)xyxy 0xy( x, y ) ( 0, 0)在一元函數(shù)中由第一個(gè)重要極限可以得到幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小，推廣到二元函數(shù)中得到：u x, y0同一元函數(shù)

19、一樣，等價(jià)無窮小代換只能在乘法和除法中應(yīng)用。例 3求極限limsin xytan(xy)( x, y )(0,0)解：limsin xyy)= lim）xxy=0( x, y ) (0 , 0) tan( x( x, y)（0 ，0y例4求極限1cos(x2y2 )limy 2 ) x2 y2( x, y)(0,0 ) (x21 cos(x2y2 )1(x2y2)21解：=lim2lim(x2y 2 ) x2y22y2) x2y22( x, y ) (0, 0)( x , y)( 0,0 ) ( x重要極限 lim (11 ) x ex x極限 lim(11)u (x , y)e 是一元函數(shù)中第二個(gè)重要極限的推廣。下面舉u( x, y)u( x, y)例說明它的應(yīng)用。x2例5求極限lim(11 ) x y( x, y) (,1)x1x2(1 1 ) xx 21解：lim(1) x y =limxy x( x, y) (,1)x( x, y )(,1)xlimx,1) xy=( x, y)(lim(