初中數(shù)學(xué)動點問題專題講解(簡潔版)

1、 中考動點專題所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運動變化能力的考查從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點”探究題的基本

2、思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動點問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例分析. 例1(2005年·上海)如圖3(1),在ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3. 點O是邊AC上的一個動點,以點O為圓心作半圓,與邊AB相切于點D,交線段OC于點E.作EPED,交射線AB于點P,交射線CB于點F.OFPDEACB3(1)(1)求證:

3、 ADEAEP.PDEACB3(2)OF(2)設(shè)OA=,AP=,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域. (3)當(dāng)BF=1時,求線段AP的長.（二）線動問題在矩形ABCD中，AB3，點O在對角線AC上，直線l過點O，且與AC垂直交AD于點E.(1)若直線l過點B，把ABE沿直線l翻折，點A與矩形ABCD的對稱中心A重合，求BC的長；ABCDEOlA(2)若直線l與AB相交于點F，且AOAC，設(shè)AD的長為，五邊形BCDEF的面積為S.求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長為半徑的圓與直線l相切，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由(2)， ()若圓A與直

4、線l相切，則，(舍去)，不存在這樣的，使圓A與直線l相切類題09虹口25題（三）面動問題 如圖，在中，、分別是邊、上的兩個動點（不與、重合），且保持，以為邊，在點的異側(cè)作正方形.（1）試求的面積；（2）當(dāng)邊與重合時，求正方形的邊長；（3）設(shè)，與正方形重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（4）當(dāng)是等腰三角形時，請直接寫出的長 題型背景和區(qū)分度測量點本題改編自新教材九上相似形24.5(4)例七,典型的共角相似三角形問題,試題為了形成坡度，在原題的基礎(chǔ)上改編出求等腰三角形面積的第一小題,當(dāng)D點在AB邊上運動時，正方形整體動起來，GF邊落在BC邊上時，恰好和教材中的例題對應(yīng)，可以說是

5、相似三角形對應(yīng)的小高比大高=對應(yīng)的小邊比大邊，探尋正方形和三角形的重疊部分的面積與線段AD的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小題，仍然屬于面積類習(xí)題來設(shè)置區(qū)分測量點一，用等腰三角形的存在性來設(shè)置區(qū)分測量點二 區(qū)分度性小題處理手法1找到三角形與正方形的重疊部分是解決本題的關(guān)鍵，如上圖3-1、3-2重疊部分分別為正方形和矩形包括兩種情況2正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3-3、3-4、3-5用方程思想解決3解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解解：（1）.（2）令此時正方形的邊長為，則，解得.（3）當(dāng)時， ，當(dāng)時， . （4）.類題 改編自09奉賢3月考25題，將條件（2）“當(dāng)點M、

6、N分別在邊BA、CA上時”,去掉，同時加到第（3）題中.ABFDEMNC已知：在ABC中，AB=AC，B=30º，BC=6，點D在邊BC上，點E在線段DC上，DE=3，DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BA、CA分別相交于點M、N （1）求證：BDMCEN； （2）設(shè)BD=，ABC與DEF重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域（3）當(dāng)點M、N分別在邊BA、CA上時,是否存在點D，使以M為圓心, BM為半徑的圓與直線EF相切, 如果存在，請求出x的值；如不存在，請說明理由例1：已知O的弦AB的長等于O的半徑，點C在O上變化（不與A、B）重合，求ACB的大小 .分析：點C的

7、變化是否影響ACB的大小的變化呢?我們不妨將點C改變一下,如何變化呢？可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當(dāng)點C在優(yōu)弧AB上變化時，ACB所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圓心角，連結(jié)AO、BO，則由于AB=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，則AOB=600，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：ACB=AOB=300，當(dāng)點C在劣弧AB上變化時，ACB所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=600得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-600=3000，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：ACB=1500，因

8、此，本題的答案有兩個，分別為300或1500.反思：本題通過點C在圓上運動的不確定性而引起結(jié)果的不唯一性。從而需要分類討論。這樣由點C的運動變化性而引起的分類討論在解題中經(jīng)常出現(xiàn)。變式1：已知ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若，求C的大小.本題與例1的區(qū)別只是AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化,其解題方法與上面一致,在三角形AOB中,則,即,從而當(dāng)點C在優(yōu)弧AB上變化時，C所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，即,當(dāng)點C在劣弧AB上變化時，C所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-1200=2400，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)

9、系得出：C=1200，因此或C=1200.變式2: 如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個動點A、B，若AB=1，判斷AOB的大小是否會隨點A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則AOB=600，即AOB的大小不會隨點A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個三角形組成，其中三角形AOB的面積為，而三角形AOD與三角形BOC的面積之和為，又由梯形的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和，要四邊形ABCD的面積最大，只需EH最大，顯然EHOE=，當(dāng)ABCD時，EH=O

10、E，因此四邊形ABCD的面積最大值為+=.對于本題同學(xué)們還可以繼續(xù)思考:四邊形ABCD的周長的變化范圍.變式3: 如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個頂點分別為A、B，另一個頂點C在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明理由（廣州市2000年考題） 分析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過點C作CDAB于點D，連結(jié)CO，由于CDCO，當(dāng)O與D重合，CD=CO，因此，當(dāng)CO與AB垂直時，即C為半圓弧的中點時，其三角形ABC的面積最大。本題也可以先猜想，點C為半圓弧的中點時，三角形ABC的面

11、積最大，故只需另選一個位置C1（不與C重合），證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖顯然三角形 ABC1的面積=AB×C1D，而C1D< C1O=CO,則三角形 ABC1的面積=AB×C1D<AB×C1O=三角形 ABC的面積,因此,對于除點C外的任意點C1,都有三角形 ABC1的面積小于三角形三角形 ABC的面積,故點C為半圓中點時,三角形ABC面積最大.本題還可研究三角形ABC的周長何時最大的問題。提示：利用周長與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長最大，AB為常數(shù)，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC&

12、#215;BC=AB2+4×ABC的面積，因此ABC的面積最大時，AC+BC最大，從而ABC的周長最大。從以上一道題及其三個變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:一、 特殊探路，一般推證例2：（2004年廣州市中考題第11題）如圖，O1和O2內(nèi)切于A，O1的半徑為3，O2的半徑為2，點P為O1上的任一點（與點A不重合），直線PA交O2于點C，PB切O2于點B，則的值為（A） （B） （C） （D）分析：本題是一道選擇題，給出四個答案有且只有一個是正確的，因此可以取一個特殊位置進(jìn)行研究，當(dāng)點P滿足PBAB時，可以通過計算得出PB=BC×AP=BP×A

13、B，因此 BC=， 在三角形BPC中，PC=，所以，=選（B）當(dāng)然，本題還可以根據(jù)三角形相似得，即可計算出結(jié)論。作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個特殊情況，還要進(jìn)一步證明對一般情況也成立。例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。判斷OEF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值. AEF的面積是否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。分析

14、：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特殊情況入手。最特殊情況為E、F分別為AB、AC中點，顯然有EOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點E與A無限接近時，點F與點C無限接近，此時EOF無限接近AOC，而AOC為等腰直角三角形，幾種特殊情況都可以得出EOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？EOF為直角嗎？能否證明。如果它們成立，便可以推出三角形OFC與三角形OEA全等，一般情況下這兩個三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：OA=OC，OCF=OAE，而AE=CF，則OEAOFC，則OE=OF，且FOC=EOA，所以EOF=EOA+AOF=FOC+FOA=900，則EOF為直角，故EOF為等腰直

15、角三角形。二、 動手實踐，操作確認(rèn)例4（2003年廣州市中考試題）在O中，C為弧AB的中點，D為弧AC上任一點（與A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB (C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定分析:本題可以通過動手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的長度，可以嘗試換幾個位置量一量，得出結(jié)論（C）例5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD，延長CA和CD與大圓分別交于點B、E，則下列結(jié)論中正確的是（ * ） （A） （B） （C）（D）的大小不確定分析：本題可以通過度量的

16、方法進(jìn)行，選（B）本題也可以可以證明得出結(jié)論，連結(jié)DO、EO，則在三角形OED中，由于兩邊之差小于第三邊，則OEOD<DE,即OBOA<DE,因此,即三、 建立聯(lián)系，計算說明例6：如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，且DM=1，N為對角線AC上任意一點，則DN+MN的最小值為 .分析：能否將DN和NM進(jìn)行轉(zhuǎn)化，與建立三角形兩邊之和大于第三邊等問題，很自然地想到軸對稱問題，由于ABCD為正方形，因此連結(jié)BN，顯然有ND=NB，則問題就轉(zhuǎn)化為BN+NM的最小值問題了，一般情況下：BN+NMBM,只有在B、N、M三點共線時，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值為BM=本題

17、通過建立平面上三個點中構(gòu)成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時的兩邊之和等于第三邊的特殊情況求最小值，最后通過勾股定理計算得出結(jié)論。例7：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值. AEF的面積是否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。（即例3的第2、第3問）分析：(2)本題的方法很多，其一，可以建立四邊形AEOF與AE長的函數(shù)關(guān)系式，如設(shè)AE=x，則AF=，

18、而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比=，而三角形AOB的面積=，則三角形AOE的面積=，同理三角形AOF的面積=，因此四邊形AEOF的面積=；即AEOF的面積不會隨點E、F的變化而變化，是一個定值，且為2. 當(dāng)然，本題也可以這樣思考，由于三角形AOE與三角形COF全等，則四邊形AEOF的面積與三角形AOC的面積相等，而AOC的面積為2，因此AEOF的面積不會隨點E、F的變化而變化，是一個定值，且為2. 本題通過建立函數(shù)關(guān)系或有關(guān)圖形之間的關(guān)系,然后通過簡單的計算得出結(jié)論的方法應(yīng)用比較廣泛. 第(3)問,也可以通過建立函數(shù)關(guān)系求得, AEF的面積=,又的變化范圍為,由二次函數(shù)知識得AEF

19、的面積的范圍為:AEF的面積.本題也可以根據(jù)三角形AEF與三角形OEF的面積關(guān)系確定AEF的面積范圍:不難證明AEF的面積OEF的面積，它們公用邊EF，取EF的中點H，顯然由于OEF為等腰直角三角形，則OHEF，作AGEF，顯然AGAH=AG（=），所以AEF的面積OEF的面積，而它們的和為2，因此AEF的面積.本題包容的內(nèi)涵十分豐富，還可以提出很多問題研究：比如，比較線段EF與AO長度大小等（可以通過A、E、O、F四點在以EF為直徑的圓上得出很多結(jié)論）例8：如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2厘米/秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以

20、1厘米/秒的速度移動。如果、同時出發(fā)，用t秒表示移動的時間（0 t 6），那么：（1）當(dāng)t為何值時，三角形QAP為等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（3）當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似？分析：（1）當(dāng)三角形QAP為等腰三角形時，由于A為直角，只能是AQ=AP，建立等量關(guān)系，即時，三角形QAP為等腰三角形；（2）四邊形QAPC的面積=ABCD的面積三角形QDC的面積三角形PBC的面積=36，即當(dāng)P、Q運動時，四邊形QAPC的面積不變。（3）顯然有兩種情況：PAQABC，QAPABC，由相似關(guān)系得或，解之得或建立關(guān)系求解，包含的內(nèi)容多，

21、可以是函數(shù)關(guān)系，可以是方程組或不等式等，通過解方程、或函數(shù)的最大值最小值，自變量的取值范圍等方面來解決問題；也可以是通過一些幾何上的關(guān)系，描述圖形的特征，如全等、相似、共圓等方面的知識求解。作為訓(xùn)練同學(xué)們可以綜合上述方法求解：練習(xí)1：2003年廣州市中考壓軸題（全卷得分最低的一道）已知ABC為直角三角形，AC=5，BC=12，ACB為直角，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上動點（與點B、C不重合）（1） 如圖，當(dāng)PQAC，且Q為BC的中點，求線段CP的長。當(dāng)PQ與AC不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由。第1問很易得出

22、P為AB中點，則CP=第2問：如果CPQ為直角三角形，由于PQ與AC不平行，則Q不可能為直角又點P不與A重合，則PCQ也不可能為直角，只能是CPQ為直角，即以CQ為直徑的圓與AB有交點，設(shè)CQ=2x，CQ的中點D到AB的距離DM不大于CD，即，所以，由，即，而，故，亦即時，CPQ可能為直角三角形。當(dāng)然還有其它方法。同學(xué)們可以繼續(xù)研究。練習(xí)2：（廣東省2003年中考試題最后一題）在RtABC中，ABAC，BAC90°，O為BC的中點，（1）寫出點O到ABC的三個頂點 A、B、C距離的大小關(guān)系。（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，移動中保持ANBM，請判斷OMN的形狀，并證明你

23、的結(jié)論。該題與例3類似，同學(xué)們可以仿本大類習(xí)題的共性：1代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查;四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)2以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特殊情況下的函數(shù)值專題三：雙動點問題點動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為今年中考試題的熱點，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1

24、以雙動點為載體，探求函數(shù)圖象問題 例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，C=90°，高CD=6cm(如圖1). 動點P，Q同時從點B出發(fā)，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，兩點運動時的速度都是1cm/s. 而當(dāng)點P到達(dá)點A時，點Q正好到達(dá)點C. 設(shè)P，Q同時從點B出發(fā)，經(jīng)過的時間為t(s)時，BPQ的面積為y(cm)2(如圖2). 分別以t，y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點P在AD邊上從A到D運動時，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN. (1)分別求出梯形中BA，AD的長度； (2)寫出圖3中M，N兩點的坐標(biāo)； (3)分別寫出點P在BA邊上

25、和DC邊上運動時，y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補全整個運動中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象. 評析 本題將點的運動過程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖象有機(jī)的結(jié)合在一起，二者相輔相成，給人以清新、淡雅之感. 本題彰顯數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)建模與參數(shù)思想在解題過程中的靈活運用. 解決本題的關(guān)鍵是從函數(shù)圖象中確定線段AB、梯形的高與t的函數(shù)關(guān)系式，建立起y與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)關(guān)系式補充函數(shù)圖象. 2 以雙動點為載體，探求結(jié)論開放性問題 例2 (2007年泰州市)如圖5，RtABC中，B=90°，CAB=30°.它的頂點A的坐標(biāo)為(10，0)

26、，頂點B的坐標(biāo)為(5，53)，AB=10，點P從點A出發(fā)，沿ABC的方向勻速運動，同時點Q從點D(0，2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運動，當(dāng)點P到達(dá)點C時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒. (1)求BAO的度數(shù). (2)當(dāng)點P在AB上運動時，OPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點P的運動速度. (3)求(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時點P的坐標(biāo). (4)如果點P，Q保持(2)中的速度不變，那么點P沿AB邊運動時，OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時，OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當(dāng)點P沿這兩

27、邊運動時，使OPQ=90°的點P有幾個?請說明理由. 解 (1)BAO=60°. (2)點P的運動速度為2個單位/秒. 評析 本題是以雙點運動構(gòu)建的集函數(shù)、開放、最值問題于一體的綜合題. 試題有難度、有梯度也有區(qū)分度，是一道具有很好的選拔功能的好題. 解決本題的關(guān)鍵是從圖象中獲取P的速度為2，然后建立S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)解得問題(3).本題的難點是題(4)，考生要從題目的信息中確定建立以B為直角頂點的三角形，以B為臨界點進(jìn)行分類討論，進(jìn)而確定點的個數(shù)問題. 3 以雙動點為載體，探求存在性問題 例3 (2007年揚州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB

28、=a厘米(a>3).動點M，N同時從B點出發(fā)，分別沿BA，BC運動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q.當(dāng)點N到達(dá)終點C時，點M也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒. (1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米； (2)若a=5厘米，求時間t，使PNBPAD，并求出它們的相似比； (3)若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍； (4)是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請說明理由. 評析 本題是以雙動點為載體，矩形為背景創(chuàng)設(shè)的存在

29、性問題.試題由淺入深、層層遞進(jìn)，將幾何與代數(shù)知識完美的綜合為一題，側(cè)重對相似和梯形面積等知識點的考查，本題的難點主要是題(3)，解決此題的關(guān)鍵是運用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示PM，進(jìn)而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關(guān)系式，再利用t的范圍確定的a取值范圍. 第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對問題的整體把握. 4 以雙動點為載體，探求函數(shù)最值問題 例4 (2007年吉林省)如圖9，在邊長為82cm的正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，它們分別從點A、C同時出發(fā)，沿對角線以1cm/s的相同速度運動，過E作EH垂直AC交RtACD

30、的直角邊于H；過F作FG垂直AC交RtACD的直角邊于G，連結(jié)HG、EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止.若E的運動時間為x(s)，解答下列問題： (1)當(dāng)0<X(2)若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (圖10為備用圖) 求y的最大值. 解 (1)以E、F、G、H為頂點的四邊形是矩形，因為正方形ABCD的邊長為82，所以AC=16，過B作BOAC于O，則OB=89，因為AE=x，所以S2=4x，因為HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 當(dāng)S1=

31、S2時， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當(dāng)x=6時， S1=S2. (2)當(dāng)0x<8時，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 當(dāng)8x16時，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 當(dāng)0x<8時，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當(dāng)x=5時，y的最大值為50. 當(dāng)8x16時，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以當(dāng)x=13時，y的最大值為82. 綜上可得，y的最大

32、值為82. 評析 本題是以雙動點為載體，正方形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問題.要求學(xué)生認(rèn)真讀題、領(lǐng)會題意、畫出不同情況下的圖形，根據(jù)圖形建立時間變量與其它相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)而構(gòu)建面積的函數(shù)表達(dá)式. 本題在知識點上側(cè)重對二次函數(shù)最值問題的考查，要求學(xué)生有扎實的基礎(chǔ)知識、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模等思想的靈活運用. 專題四：函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例題 如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B。求拋物線的解析式；（用頂點式求得拋物線的解析式為）若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O(shè)、C、

33、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標(biāo)；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個頂點時應(yīng)以兩個頂點的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形要分類討論:按OB為邊和對角線兩種情況 2. 函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對應(yīng)角

34、，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。 例1(2008福建福州)如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t2時，判斷BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR/BA交AC于點R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何

35、值時，APRPRQ？分析:由t2求出BP與BQ的長度,從而可得BPQ的形狀;作QEBP于點E,將PB,QE用t表示,由=×BP×QE可得S與t的函數(shù)關(guān)系式;先證得四邊形EPRQ為平行四邊形,得PR=QE,再由APRPRQ,對應(yīng)邊成比例列方程,從而t值可求.解:(1)BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因為B=600,所以BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QEAB,垂足為E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以=×B

36、P×QE=(6-t)×t=t2+3t；(3)因為QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因為C=600,所以QRC是等邊三角形,這時BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因為BE=BQ·cos600=×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP=QR,又EPQR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,由APRPRQ,得到,即,解得t=,所以當(dāng)t=時, APRPRQ.點評: 本題是雙動點問題.動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點題型.這類試題信息量大,對同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求較

37、高;解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,并特別關(guān)注運動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動中取靜,靜中求動.例2(2008浙江溫州)如圖，在中，分別是邊的中點，點從點出發(fā)沿方向運動，過點作于，過點作交于，當(dāng)點與點重合時，點停止運動設(shè)，（1）求點到的距離的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由 分析:由BHDBAC,可得DH;由RQCABC,可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;由腰相等列方程可得的值;注意需分類討論.解：（1），點為中點，（2），即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式

38、為：（3）存在.按腰相等分三種情況：ABCDERPHQM21當(dāng)時，過點作于，則，ABCDERPHQ，當(dāng)時，當(dāng)時，則為中垂線上的點，于是點為的中點，綜上所述，當(dāng)為或6或時，為等腰三角形點評:建立函數(shù)關(guān)系式,實質(zhì)就是把函數(shù)y用含自變量x的代數(shù)式表示;要求使為等腰三角形的的值,可假設(shè)為等腰三角形,找到等量關(guān)系,列出方程求解,由于題設(shè)中沒有指明等腰三角形的腰,故還須分類討論.五、以圓為載體的動點問題 動點問題是初中數(shù)學(xué)的一個難點，中考經(jīng)常考察，有一類動點問題，題中未說到圓，卻與圓有關(guān)，只要巧妙地構(gòu)造圓，以圓為載體，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，問題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋味。 例1. 在中，AC5，

39、BC12，ACB90°，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合），當(dāng)PQ與AC不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由。（03年廣州市中考） 分析：不論P、Q如何運動，PCQ都小于ACB即小于90°，又因為PQ與AC不平行，所以PQC不等于90°，所以只有CPQ為直角，CPQ才可能是直角三角形，而要判斷CPQ是否為直角三角形，只需構(gòu)造以CQ為直徑的圓，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，若AB邊上的動點P在圓上，CPQ就為直角，否則CPQ就不可能為直角。 以CQ為直徑做半圓D。

40、當(dāng)半圓D與AB相切時，設(shè)切點為M，連結(jié)DM，則 DMAB，且ACAM5 所以 設(shè)，則 在中，即 解得：，所以 即當(dāng)且點P運動到切點M的位置時，CPQ為直角三角形。 當(dāng)時，半圓D與直線AB有兩個交點，當(dāng)點P運動到這兩個交點的位置時，CPQ為直角三角形。 當(dāng)時，半圓D與直線AB相離，即點P在半圓D之外，0CPQ90°，此時，CPQ不可能為直角三角形。 所以，當(dāng)時，CPQ可能為直角三角形。 例2. 如圖2，直角梯形ABCD中，ADBC，B90°，ADBCDC，若腰DC上有動點P，使APBP，則這樣的點有多少個？ 分析：由條件APBP，想到以AB為直徑作圓，若CD與圓相交，根據(jù)直徑

41、所對的圓周角是90°，兩個交點即為點P；若CD與圓相切，切點即是點P；若CD與圓相離，則DC上不存在動點P，使APBP。 解：如圖3，以AB為直徑做O，設(shè)O與CD切于點E 因為BA90° 所以AD、BC為O的切線 即ADDE，BCCE 所以ADBCCD 而條件中ADBCDC，我們把CD向左平移，如圖4，CD的長度不變，AD與BC的長度縮短，此時ADBCDC，點O到CD的距離OE小于O的半徑OE，CD與O相交，和是直徑AB所對的圓周角，都為90°，所以交點即為所求。因此，腰DC上使APBP的動點P有2個。 例3. 如圖5，ABC的外部有一動點P（在直線BC上方），分

42、別連結(jié)PB、PC，試確定BPC與BAC的大小關(guān)系。（02年廣州市中考） 分析：BPC與BAC之間沒有聯(lián)系，要確定BPC與BAC的大小關(guān)系，必須找恰當(dāng)?shù)妮d體，作為它們之間的橋梁，這道橋梁就是圓，通過構(gòu)造ABC的外接圓，問題就會迎刃而解。 （1）當(dāng)點P在ABC外接圓外時， 如圖5，連結(jié)BD，根據(jù)外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，BPCBDC 又因為BDCBAC， 所以BPCBAC； （2）當(dāng)點P在ABC外接圓上時，如圖6，根據(jù)同弧所對的圓周角相等， BPCBAC； （3）當(dāng)點P在ABC外接圓內(nèi)時，如圖7，延長BP交ABC外接圓于點D，連結(jié)CD，則BPCBDC， 又BDCBAC，故BPCBAC。 綜

43、上，知當(dāng)點P在ABC外接圓外時， BPCBAC； 當(dāng)點P在ABC外接圓上時， BPCBAC； 當(dāng)點P在ABC外接圓內(nèi)時，BPCBAC。專題七、2010中考數(shù)學(xué)熱點專題突破訓(xùn)練動點問題 動點試題是近幾年中考命題的熱點，與一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識綜合，構(gòu)成中考試題的壓軸題.動點試題大致分為點動、線動、圖形動三種類型.動點試題要以靜代動的解題思想解題.下面就中考動點試題進(jìn)行分析.例1（2006年福建晉州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，A=60°，BDAD.一動點P從A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿ABC的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PMAD.1當(dāng)點P運動2秒時，設(shè)直線PM與

44、AD相交于點E，求APE的面積；2當(dāng)點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿AB的路線運動，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運動，（當(dāng)P、Q中的某一點到達(dá)終點，則兩點都停止運動.）過Q作直線QN，使QNPM，設(shè)點Q運動的時間為t秒（0t8），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S（cm2）. （1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）求S的最大值.1.分析：此題為點動題，因此，1)搞清動點所走的路線及速度，這樣就能求出相應(yīng)線段的長；2）分析在運動中點的幾種特殊位置.由題意知，點P為動點，所走的路線為：ABC速度為1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，進(jìn)而求出APE的面積.略解：由AP

45、=2 ，A=60°得AE=1，EP= . 因此.2.分析：兩點同時運動，點P在前，點Q在后，速度相等，因此兩點距出發(fā)點A的距離相差總是2cm.P在AB邊上運動后，又到BC邊上運動.因此PM、QN截平行四邊形ABCD所得圖形不同.故分兩種情況：（1）當(dāng)P、Q都在AB上運動時，PM、QN截平行四邊形ABCD所得的圖形永遠(yuǎn)為直角梯形.此時0t6.當(dāng)P在BC上運動，而Q在AB邊上運動時，畫出相應(yīng)圖形，所成圖形為六邊形DFQBPG.不規(guī)則圖形面積用割補法.此時6t8.略解：當(dāng)P、Q同時在AB邊上運動時，0t6.AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函數(shù)PG=(

46、t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =·(QF+PG)·FG=t+(t+2)·1=t+.當(dāng)6t8時，S=S平行四邊形ABCD-SAQF-SGCP.易求S平行四邊形ABCD=16,SAQF=AF·QF=t2.而SCGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得PG=(10-t).SCGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.S=16-t2-(10-t)2=(6t8分析:求面積的最大值時,應(yīng)用函數(shù)的增減性求.若題中分多種情況,那么每一種情況都要分別求出最大值，然后

47、綜合起來得出一個結(jié)論.此題分兩種情況,那么就分別求出0t6和6t8時的最大值. 0t6時,是一次函數(shù),應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì),由于一次項系數(shù)是正數(shù),面積S隨t的增大而增大.當(dāng) 6t8時,是二次函數(shù),應(yīng)用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6時，S最大；由于S(6t8,所以t=8時，S最大=6.綜上所述, 當(dāng)t=8時，S最大=6.例2（2006年錦州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標(biāo)為(4,0)，AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N(點M在點N的上方).1.求A、

48、B兩點的坐標(biāo)；2.設(shè)OMN的面積為S，直線l運動時間為t秒(0t6)，試求S與t的函數(shù)表達(dá)式；3.在題(2)的條件下，t為何值時，S的面積最大？最大面積是多少？ 1.分析：由菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)易求A、B兩點的坐標(biāo).解：四邊形OABC為菱形，點C的坐標(biāo)為(4,0)，OA=AB=BC=CO=4.如圖，過點A作ADOC于D.AOC=60°，OD=2，AD=.A(2, )，B（6, ）.2.分析：直線l在運動過程中，隨時間t的變化，MON的形狀也不斷變化，因此，首先要把所有情況畫出相應(yīng)的圖形，每一種圖形都要相應(yīng)寫出自變量的取值范圍。這是解決動點題關(guān)鍵之一.直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運動

49、與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：0t2時，直線l與OA、OC兩邊相交(如圖). 2t4時，直線l與AB、OC兩邊相交(如圖).4t6時，直線l與AB、BC兩邊相交(如圖).略解：MNOC，ON=t. MN=ONtan60°=.S=ON·MN=t2.S=ON·MN=t·2=t. 方法一：設(shè)直線l與x軸交于點H.MN2-(t-4)=6-t,S=MN·OH=(6-t)t=-t2+3t.方法二：設(shè)直線l與x軸交于點H.S=SOMH-SONH，S=t·2-t·(t-4)=- t2+3t.方法三：設(shè)直線l與x軸交于點H.S=,=4&

50、#215;2=8,=·2·(t-2)= t-2,=·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.3.求最大面積的時候，求出每一種情況的最大面積值，然后再綜合每種情況，求出最大值.略解：由2知，當(dāng)0t2時，=×22=2；當(dāng)2t4時，=4； 當(dāng)4t6時，配方得S=-(t-3)2+，當(dāng)t=3時，函數(shù)S-t2+3t的最大值是.但t=3不在4t6內(nèi)，在4t6內(nèi)，函數(shù)S-t2+3t的最大值不是.而當(dāng)t3時，函數(shù)S-t2+3t隨t的增大而減小，當(dāng)4t6時，S4. 綜

51、上所述，當(dāng)t=4秒時，=4. 1、（09包頭）如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？AQCDBP（2）若點Q以中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？解：（1）秒，厘米，厘米，點為的中點，厘米又厘米，厘米，又，（4分）， ，又，則，點，點運動的時間秒，厘米/秒

52、（7分）（2）設(shè)經(jīng)過秒后點與點第一次相遇，由題意，得，解得秒點共運動了厘米，點、點在邊上相遇，經(jīng)過秒點與點第一次在邊上相遇（12分）2、（09齊齊哈爾）直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點，動點同時從點出發(fā)，同時到達(dá)點，運動停止點沿線段運動，速度為每秒1個單位長度，點沿路線運動（1）直接寫出兩點的坐標(biāo)；xAOQPBy（2）設(shè)點的運動時間為秒，的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)時，求出點的坐標(biāo)，并直接寫出以點為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標(biāo)解（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）點由到的時間是（秒）點的速度是（單位/秒）1分當(dāng)在線段上運動（或0）時，1分當(dāng)在線段上運動（或）時，,如圖，作于點，

53、由，得，1分1分（自變量取值范圍寫對給1分，否則不給分）（3）1分3分3（09深圳）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=2x8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點，點P（0，k）是y軸的負(fù)半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作P.（1）連結(jié)PA，若PA=PB，試判斷P與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)k為何值時，以P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？解：（1）P與x軸相切. 直線y=2x8與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，8），OA=4，OB=8.由題意，OP=k，PB=PA=8+k.在RtAOP中，k2+42=(8+k)2，k=3，OP等于P的半徑，P與x軸相切.（2）設(shè)P與直線l